作者：石川

摘要：Portfolio Sort 是實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)和因子投資中的常見方法。本文帶你了解 Portfolio Sort 的源起，中興和未來。

1 源起

資產(chǎn)定價(jià)的研究目標(biāo)是解釋不同資產(chǎn)的預(yù)期收益率在截面上的差異。為了構(gòu)造因子、或者為了檢驗(yàn)給定的定價(jià)模型，選擇適當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)（被稱為 test assets）十分關(guān)鍵。在這方面，一個(gè)自然的想法是使用 individual assets，比如個(gè)股。但是個(gè)股層面巨大的 idiosyncratic noise 使得估計(jì)得到的 beta 誤差很大，造成?errors-in-variables（EIV）等問題。

正因如此，在最早檢驗(yàn) CAPM 的時(shí)候，無論是 Black, Jensen, and Scholes (1972) 還是 Fama and MacBeth (1973) 都選擇使用投資組合代替?zhèn)€股。具體而言，他們將個(gè)股按照其歷史 beta 的大小排序，然后構(gòu)成不同的投資組合，并檢驗(yàn)這些投資組合的收益率和 beta 的關(guān)系。這背后隱含的邏輯是，個(gè)股 beta 的估計(jì)誤差相互抵消，因此投資組合的 beta 估計(jì)值更準(zhǔn)確。

這就是最早的 portfolio sort。

2 中興

然而，真正讓 portfolio sort 成為實(shí)證研究標(biāo)配的是?Fama?and French (1992, 1993)。Fama 和 French 利用 portfolio sort 分別研究了 size、value 等異象并提出了 Fama-French?三因子模型。頗為有意思的是，在研究異象的時(shí)候，股票被分為 10 組；然而在構(gòu)造因子的時(shí)候，股票則是依照市值和 BM 分別被分為了兩組和三組（下圖展示了 SMB 和 HML 兩個(gè)因子的構(gòu)造方法）。

構(gòu)造因子時(shí)的分組數(shù)通常小于研究異象時(shí)的分組數(shù)。這背后的邏輯并不難理解：為了控制市值的影響，構(gòu)造因子往往使用目標(biāo)變量和市值獨(dú)立雙重排序。如果每個(gè)變量下分的組太多，那么一些投資組合可能就沒有足夠數(shù)量的股票。

作為實(shí)證研究的典范，F(xiàn)ama 和 French 開創(chuàng)的傳統(tǒng)被自然而然地延續(xù)了下來。后續(xù)的一眾實(shí)證研究，在通過 portfolio sort 研究異象時(shí)，無不采用 10 組的劃分；而當(dāng)構(gòu)造因子時(shí)，使用的組數(shù)則要少得多。John Cochrane?在 AFA 主席演講時(shí)，關(guān)于 portfolio sort 曾評(píng)價(jià)道：

上述選擇組數(shù)的做法聽上去是如此的理所應(yīng)當(dāng)，以至于沒有誰會(huì)質(zhì)疑它的合理性。然而事實(shí)真的如此嗎？從數(shù)學(xué)上說，portfolio sort 其實(shí)就是 nonparametric cross-sectional regression estimator。Cochrane (2011) 里面的這張圖清晰地表明了這一點(diǎn)。

作為一個(gè) nonparametric/kernel estimator，portfolio sort 卻是一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)化的方法。比如，從 kernel estimator 的角度來理解，每個(gè)分組中的 asset 的收益率估計(jì)值就由其所在組的所有 assets 的收益率均值決定。然而，portfolio sort 的非標(biāo)準(zhǔn)之處在于臨界資產(chǎn)的分組。比如，以上圖中的 log(B/M) 為例，如果某個(gè)公司的數(shù)值稍稍小了一點(diǎn)，那么它就可能被劃分到第 1 組，如果它的數(shù)值稍稍高了一些，它就會(huì)被劃分到第 2 組。這種跳變和 kernel regression 中常見的 kernel 完全不同（比如 Gaussian kernel）。因此，盡管 portfolio sort 簡(jiǎn)單好用且在實(shí)證研究中發(fā)揮了重要的作用，但人們對(duì)它的統(tǒng)計(jì)特性卻知之甚少。

除了上面提到的問題之外，另一個(gè)問題是股票數(shù)據(jù)是 unbalanced data，意味著截面上的股票個(gè)數(shù)會(huì)隨時(shí)間會(huì)發(fā)生巨大的變化。以下圖為例，它展示了 CRSP 中所有股票以及 NYSE 上市的股票的數(shù)量隨時(shí)間的變化。就全部股票而言，在 1960 年之前截面上不足 2000 支股票；然后在 70 年代發(fā)生了跳變，并在 90 年代上升至將近 8000 支；最近 20 年又逐漸下降至 4000 支。面對(duì)如此巨變的截面股票數(shù)量，我們不禁要問，忽視股票數(shù)量的變化而一直采用 10 分組是否合理？如果不甚合理，那么應(yīng)該如何確定最優(yōu)的分組數(shù)？這個(gè)最優(yōu)的分組數(shù)又是否和截面上的股票數(shù)量有關(guān)？

毫無疑問，繼承自 Fama and French 的 portfolio sort 承載和見證了實(shí)證研究的過去。但展望未來，通過將 portfolio sort 視為 nonparametric estimator，了解其性質(zhì)，并回答上面提到的那些問題，才代表著實(shí)證研究方法的進(jìn)步。

3 未來

Cattaneo et al. (2020) 對(duì)上述問題進(jìn)行了系統(tǒng)的回答。該文通過將 portfolio sort 視為一個(gè) nonparametric estimator，提出了一個(gè)關(guān)于它的估計(jì)和推斷的通用框架，并介紹了有效的漸近推斷方法。它通過最小化估計(jì)量的均方誤差，為挑選最優(yōu)分組數(shù)提供了理論依據(jù)。他們的研究發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)的分組數(shù)和總的期數(shù)以及截面上的資產(chǎn)個(gè)數(shù)二者皆密切相關(guān)。我們借用該文的圖 1 從直覺上理解一下背后的原因。

為了簡(jiǎn)化討論，假設(shè)截面上資產(chǎn)個(gè)數(shù)不隨時(shí)間變化。先看圖中的第一行，顯示了? ?（即分 4 組）的情況。首先最左邊? ?是只有一期數(shù)據(jù)得到的分組結(jié)果。當(dāng)? ?時(shí)，由于每個(gè)截面的投資組合是分別形成的，因此 estimator 變得更為復(fù)雜（是兩個(gè)截面分組的平均）。第一行最右側(cè)展示了當(dāng)? ?（典型的實(shí)證研究往往有數(shù)百期月頻數(shù)據(jù)）時(shí)的結(jié)果。從這三張圖可以看到，整個(gè)過程中我們保持分組數(shù)? ?不變，然而? ?的增加使得 estimator 更加平滑。實(shí)證研究對(duì)于? ?增加導(dǎo)致的平滑如何影響 estimator 并沒有充分的認(rèn)識(shí)，而這個(gè)結(jié)果也暗示著? ?的選擇與? ?有關(guān)。

另一方面，圖中第二行考察了? ?的情況，從左到右仍然依次是? ?以及? ?。將這兩行的結(jié)果放在一起比較，可以看到偏差和方差之間的權(quán)衡。當(dāng)? ?很小時(shí)，每組內(nèi)的資產(chǎn)很多，因此 estimator 的方差較低，但是由于可能包含了很多無關(guān)的資產(chǎn)，因此偏差會(huì)很大。另一方面，當(dāng)? ?很大時(shí)，偏差會(huì)降低，而方差則會(huì)增大。因此，最優(yōu)的J應(yīng)該由具體研究的數(shù)據(jù)特征來決定。為了保持估計(jì)量的一致性，隨著總的期數(shù)以及截面上資產(chǎn)個(gè)數(shù)的增大，? ?應(yīng)快速增大以減少偏差，但同時(shí)又不能變化太快以避免方差的激增。

最終，Cattaneo et al. (2020) 給出了如下結(jié)果：? ?期最優(yōu)的分組數(shù)? ?和總的期數(shù)T以及截面上的資產(chǎn)個(gè)數(shù)? ?的關(guān)系為

? ?

其中? ?是一個(gè)依賴于數(shù)據(jù)生成過程的常數(shù)。對(duì)應(yīng)到實(shí)證，最優(yōu)的分組數(shù)遠(yuǎn)大于常見的 10 組這個(gè)選擇，隨截面上 assets 個(gè)數(shù)不同，最優(yōu)的分組數(shù)的變化范圍從數(shù)十到上百。值得一提的是，上述公式是對(duì)于構(gòu)造異象而言。對(duì)于構(gòu)造因子，Cattaneo et al. (2020) 給出了一個(gè)類似的關(guān)系。

在實(shí)證方面，該文以 size 和 momentum 為例，對(duì)比了他們的方法和傳統(tǒng)的分 10 組方法（下圖展示了動(dòng)量的結(jié)果，左側(cè)為該文的方法，右側(cè)為常規(guī)的 portfolio sort 結(jié)果）。從結(jié)果可知，1980 到 2015 這個(gè)實(shí)證區(qū)間中，投資于過去的輸家所導(dǎo)致的損失在增大：在整個(gè)實(shí)證區(qū)間內(nèi)，輸家組的平均收益率約為? ?，而在 1980-2015 的區(qū)間內(nèi)這個(gè)數(shù)值下降到? ?。因此，動(dòng)量因子的空頭部分使該因子在這個(gè)區(qū)間更加有利可圖，且這一結(jié)論在排除金融危機(jī)等情況下依然穩(wěn)健。反觀傳統(tǒng)的 portfolio sort 方法，它并不能提供同樣的發(fā)現(xiàn)。

除單變量排序外，Cattaneo et al. (2020) 還對(duì)他們的 estimator 進(jìn)行了擴(kuò)展，使其可以同時(shí)考慮多個(gè)變量，進(jìn)行多變量排序。鑒于雙重排序在構(gòu)造因子時(shí)十分常見，這種擴(kuò)展顯得尤為必要。但另一方面，和傳統(tǒng)的多變量排序一樣，他們的 estimator 也受到維數(shù)災(zāi)難的影響，即隨著用于排序的變量的數(shù)量的增加，其性能會(huì)下降。為了解決這個(gè)問題，他們進(jìn)一步允許其他條件變量以參數(shù)的形式進(jìn)入模型。這種拓展在 portfolio sort 和 cross-sectional regression 之間實(shí)現(xiàn)了一定程度的融合，但又不像純粹的 regression 那樣施加了參數(shù)化的假設(shè)，因此更加靈活。

無論是構(gòu)造定價(jià)因子，還是構(gòu)造 test assets 來檢驗(yàn)多因子模型，portfolio sort 都至關(guān)重要。優(yōu)秀的 test assets 應(yīng)該能體現(xiàn)出資產(chǎn)收益率在 cross-section 的差異。從這個(gè)角度上說，忽視數(shù)據(jù)的特征而對(duì)所有變量都一視同仁、分成 10 組的做法確實(shí)略顯粗糙。Cattaneo et al. (2020) 為 portfolio sort 確定最優(yōu)分組數(shù)量提供了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法，并表明最優(yōu)分組數(shù)量隨期數(shù)以及截面上資產(chǎn)的個(gè)數(shù)而變化，為今后關(guān)于異象和因子的研究提供了新的啟發(fā)。

參考文獻(xiàn)

Black, F., M. C. Jensen, and M. Scholes (1972). The capital asset pricing model: Some empirical tests. In M. C. Jensen (Ed.),?Studies in the Theory of Capital Markets. New York, NY: Praeger.

Cattaneo, M. D., R. K. Crump, M. H. Farrell, and E. Schaumburg (2020). Characteristic-sorted portfolios: Estimation and inference.?Review of Economics and Statistics 102(3), 531 – 551.

Cochrane, J. H. (2011). Presidential address: Discount rates.?Journal of Finance 66(4), 1047 – 1108.

Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests.?Journal of Political Economy 81(3), 607 – 636.

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