作者：石川

摘要：資產(chǎn)配置是投資中最重要的問(wèn)題（之一）。本文帶你了解資產(chǎn)配置的源起，中興和未來(lái)。

1 源起

資產(chǎn)配置是投資中最重要的問(wèn)題（之一）。

1950 年的某個(gè)下午，當(dāng)?Markowitz?在草稿紙上畫出世界上第一個(gè) mean-variance 有效前沿的時(shí)候，也正式拉開(kāi)了使用定量化方法研究資產(chǎn)配置的篇章。MVO 的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

??

其中??和??分別為資產(chǎn)的預(yù)期收益率向量和協(xié)方差矩陣，??為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，??則表示資產(chǎn)的權(quán)重。當(dāng)不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，求解上述方程所得到的拋物線的上半部分就是有效前沿。

作為一個(gè)例子，考慮以下五個(gè)股票：C、GOOG、MSFT、PG 以及 TSLA。假設(shè)樣本內(nèi)的實(shí)證區(qū)間為 2020/9 到 2023/2。在這段區(qū)間內(nèi)，上述股票的周收益率均值以及標(biāo)準(zhǔn)差如下表所示。

由它們構(gòu)成的有效前沿為：

當(dāng)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，我們可以通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)向該拋物線做切線，得到的切點(diǎn)組合（tangency portfolio）具有最大的夏普比率。在上述例子中，假設(shè)我們使用同期 10-year T-note yield 的均值作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，則得到的最優(yōu)投資組合權(quán)重為：C：42.43%，GOOG：9.86%，MSFT：19.02%，PG：0%，以及 TSLA：28.69%。

上述結(jié)果不難理解。從這五個(gè)股票的風(fēng)險(xiǎn)收益特征來(lái)看，毫無(wú)疑問(wèn) PG 最沒(méi)有吸引力（至少在我們的樣本期內(nèi)），而其他幾支股票不分伯仲。另外，C 的相關(guān)性和其他股票最低，因此在最優(yōu)化中獲得了最高的權(quán)重。

那么，這個(gè) MVO 組合在樣本外如何呢？假設(shè)考慮 2023/3 到 2023/8 這半年作為樣本外實(shí)證區(qū)間。則該投資組合在樣本外的周平均收益率為 0.50%、標(biāo)準(zhǔn)差為 3.49%，因此年化夏普比率為 0.97 —— not too bad。然而，這樣一個(gè)組合和基準(zhǔn)組合（即等權(quán)配置五個(gè)股票）相比又如何呢？

不出意外的話，馬上就要出意外了?；鶞?zhǔn)組合在樣本外的周收益率均值為 0.79%，夏普比率則超過(guò) 2.0，遠(yuǎn)超上述 MVO 組合。如果考察股票在樣本外的表現(xiàn)，這樣的結(jié)果其實(shí)不難理解。在 2023/3 到 2023/8 這段時(shí)間，它們的周收益率均值分別為 C：-0.55%，GOOG：1.69%，MSFT：1.10%，PG：0.44% 以及 TSLA：1.25%。其中最令人大跌眼鏡的是 C 錄得了負(fù)收益。這就不難理解重倉(cāng) C 的 MVO 組合在樣本外跑輸基準(zhǔn)組合的結(jié)果。

究其原因，都是估計(jì)誤差（estimation error）惹的禍，即樣本均值和協(xié)方差矩陣并不是未來(lái)預(yù)期收益和協(xié)方差矩陣的準(zhǔn)確估計(jì)。因此，估計(jì)誤差的成本抵消了 MVO 的潛在優(yōu)勢(shì)。一般來(lái)說(shuō)，估計(jì)誤差可能非常大，以至于在樣本外作為基準(zhǔn)的等權(quán)配置往往難以被打?。?/span>DeMiguel, Garlappi and Uppal 2009）。

為了進(jìn)一步說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，以 BetaPlus 小組針對(duì) A 股市場(chǎng)構(gòu)造的 Fama-French 五因子為配置的標(biāo)的。假設(shè)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的??和??就是真實(shí)參數(shù)，而下圖中藍(lán)線是根據(jù)它們計(jì)算而來(lái)的有效前沿。接下來(lái)，假設(shè)這五個(gè)因子的收益率滿足 multivariate normal（參數(shù)為上述??和??），并生成模擬樣本。對(duì)于每次模擬，使用模擬樣本計(jì)算??和??，并使用它們計(jì)算投資組合的最優(yōu)權(quán)重??。得到最優(yōu)權(quán)重??之后，將其和真實(shí)參數(shù)??和??計(jì)算，便得到了圖中的綠線（一共考慮了 50 組模擬，因此一共有 50 條綠色曲線）。

由于真實(shí)的參數(shù)是??和??，而我們計(jì)算最優(yōu)權(quán)重使用的是??和??，因此每個(gè)模擬中的綠色有效前沿都要比藍(lán)色曲線差。它們的差異表明了參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)實(shí)際投資組合的影響。此外，另一個(gè)更重要的因素是，資產(chǎn)的預(yù)期收益率以及協(xié)方差不滿足平穩(wěn)性。因此，使用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的均值和協(xié)方差，很難在樣本外構(gòu)造有效的 MVO 組合。

人們亟需更好的方法。

2 中興

我們可以至少?gòu)膬煞矫嬷?，降低估?jì)誤差的影響，進(jìn)而在樣本外構(gòu)造更好的投資組合。

第一個(gè)方面是在合理的假設(shè)下減少需要估計(jì)的參數(shù)。這意味著考慮 MVO 之外的資產(chǎn)配置目標(biāo)，即 minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity 等。《淺析資產(chǎn)配置的幾種方法》一文曾經(jīng)討論過(guò)在何種假設(shè)下，上述方法和 MVO 等價(jià)。感興趣的小伙伴請(qǐng)自行查閱，此處將結(jié)果匯總于下表。

從上述配置目標(biāo)來(lái)看，它們和?MVO?最大的差異是沒(méi)有使用預(yù)期收益率，而聚焦在協(xié)方差矩陣上。由于事前難以準(zhǔn)確估計(jì)預(yù)期收益率，且預(yù)期收益率的估計(jì)誤差對(duì)配置結(jié)果影響重大，這些“退而求其次”的做法往往能夠比 MVO 獲得更穩(wěn)健的配置結(jié)果。

當(dāng)然，這些配置目標(biāo)依然需要在事前估計(jì)協(xié)方差矩陣，而當(dāng)標(biāo)的個(gè)數(shù)??很大時(shí)，準(zhǔn)確估計(jì)協(xié)方差矩陣也絕非易事。下面假設(shè)?DGP?已知并通過(guò)模擬說(shuō)明期數(shù)??和??的關(guān)系如何影響估計(jì)誤差。首先，令??，并且收益率滿足均值為零的多元正態(tài)分布，并隨機(jī)生成一個(gè)正定的協(xié)方差矩陣作為真實(shí)的協(xié)方差矩陣。之后，令??的取值從 100 到 5000，且對(duì)每個(gè)??進(jìn)行 1000 次模擬。在每次模擬中，計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣和真實(shí)協(xié)方差矩陣的 Frobenius 范數(shù)，并取均值作為該??下的誤差。結(jié)果如下圖所示：區(qū)區(qū)??個(gè)標(biāo)的也需要??期的數(shù)據(jù)（對(duì)于日頻就是差不多 20 年）才能比較放心的使用樣本協(xié)方差矩陣。

但顯然，這種數(shù)據(jù)量的需求是奢侈的；而且實(shí)際資產(chǎn)配置中，標(biāo)的個(gè)數(shù)也可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò) 50。因此，為了有效地估計(jì)協(xié)方差矩陣，更常見(jiàn)的做法是使用多因子模型?—— 比如 Barra 的一系列風(fēng)險(xiǎn)多因子模型。通過(guò)它，能夠大大減少需要估計(jì)的參數(shù)，降低參數(shù)估計(jì)的統(tǒng)計(jì)成本。需要 Barra 多因子模型背景知識(shí)的小伙伴，可參考《正確理解 Barra 的純因子模型》以及《Barra 因子模型截面回歸求解》。

第二個(gè)方面是通過(guò)貝葉斯框架融合先驗(yàn)以及人對(duì)于資產(chǎn)預(yù)期收益率的展望。這方面的代表自然要數(shù)?Black-Litterman 模型。需要說(shuō)明的是，該模型的核心是通過(guò)納入人對(duì)資產(chǎn)預(yù)期收益率的觀點(diǎn)（成為 views）得到后驗(yàn)預(yù)期收益率估計(jì)以及后驗(yàn)協(xié)方差矩陣，而求解最優(yōu)投資組合權(quán)重時(shí)依然遵循 MVO 框架。

仍然回到本文第一節(jié)的例子。假設(shè)在 2023/2 的時(shí)點(diǎn)，我們?yōu)檫@五個(gè)股票提供以下 views：

（1）首先，對(duì)于 GOOG 和 MSFT，考慮到 2023 年 2 月 1 日 ChatGPT Pro 的推出會(huì)極大推動(dòng) AI 投資熱潮，因此會(huì)利好科技巨頭。對(duì)于這兩個(gè)公司而言，GOOG 憑借其龐大的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)庫(kù)和在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的開(kāi)拓性工作（例如 DeepMind），處于 AI 的領(lǐng)先位置。另一方面，MSFT 也擁有強(qiáng)大的人工智能框架。比較這兩家公司，GOOG 或許稍占優(yōu)勢(shì)。因此，我們認(rèn)為 GOOG 的周收益率會(huì)比 MSFT 高出 0.1％。然而，由于監(jiān)管和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)，因此上述觀點(diǎn)存在巨大的不確定性，我們假設(shè)這個(gè) view 的標(biāo)準(zhǔn)差為 1％。

（2）再來(lái)看 TSLA。它彼時(shí)的最新財(cái)報(bào)顯示，無(wú)論是 earnings 還是 revenue 都打敗了分析師一致預(yù)期。然而，我們也注意到了毛利率的明顯下降（過(guò)去五個(gè)季度中最低）。因此，我們對(duì)其表現(xiàn)持謹(jǐn)慎樂(lè)觀態(tài)度，預(yù)計(jì)每周平均收益率 0.3％，標(biāo)準(zhǔn)差為 1％。

（3）對(duì)于 PG，該公司的未來(lái)取決于應(yīng)對(duì)通貨膨脹壓力和成本挑戰(zhàn)。盡管它以 dividend king 而聞名，但在當(dāng)時(shí)的時(shí)點(diǎn)其估值已然很高。因此，我們假設(shè)保持中立，預(yù)計(jì)未來(lái)周收益率均值為 0％，標(biāo)準(zhǔn)差 1％。

（4）對(duì)于 C，根據(jù)最新財(cái)報(bào)，盡管其收入增長(zhǎng)，但凈收入出現(xiàn)了顯著下降，原因是增加的信貸成本和宏觀經(jīng)濟(jì)衰退等因素。鑒于這些挑戰(zhàn)，我們持有負(fù)面觀點(diǎn)，預(yù)測(cè)其周收益率為?-0.05％，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.5％。

將上述 views 代入 Black-Litterman 模型中的??、??以及??:

??

??

??

根據(jù)貝葉斯框架，可得預(yù)期收益率的后驗(yàn)估計(jì)：

??

以及協(xié)方差矩陣的后驗(yàn)估計(jì)：

??

值得一提的是，盡管在原始 Black-Litterman 模型的論文中，兩位作者使用市場(chǎng)均衡狀態(tài)下的隱含預(yù)期收益率作為先驗(yàn)，但在實(shí)際應(yīng)用中，我們也可以使用其他方法構(gòu)造先驗(yàn)，例如使用樣本均值或者因子模型（比如 CAPM）所隱含的預(yù)期收益率。在本例中，這三種方法計(jì)算的預(yù)期收益率先驗(yàn)如下圖所示。定性上說(shuō)，三者的差異并不大。

假設(shè)我們遵循 Black-Litterman 模型原文，采用市場(chǎng)均衡狀態(tài)下隱含的預(yù)期收益率作為先驗(yàn)，則代入 views 之后就可計(jì)算出其后驗(yàn)。下圖對(duì)先驗(yàn)和后驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比。

后驗(yàn)預(yù)期收益率完美地反映了我們的 views。首先，對(duì) C 的負(fù)面展望使其后驗(yàn)預(yù)期收益率顯著低于其先驗(yàn)。其次，GOOG 和 MSFT 的預(yù)期收益率差異被放大，體現(xiàn)了我們更加看好前者的觀點(diǎn)。最后，TSLA 和 PG 的后驗(yàn)預(yù)期收益率均低于它們的先驗(yàn)。

將后驗(yàn)預(yù)期收益率和協(xié)方差矩陣代入 MVO，得到的最優(yōu)權(quán)重是 C：0％，GOOG：75.07％，MSFT：10.59％，PG：0％，以及 TSLA：14.33％。該投資組合在樣本外的周收益率均值為 1.56％，夏普比率為2.80。不僅遠(yuǎn)超原始的 MVO 組合，也輕松的戰(zhàn)勝了基準(zhǔn)組合。

（當(dāng)然，我們的 views 只是為了說(shuō)明 Black-Litterman 框架的有效性。在實(shí)際投資中，提供正確的 views 十分困難。）

3 未來(lái)

除了這些技術(shù)，降噪和聚類也是常見(jiàn)的手段。下面仍然通過(guò)之前五個(gè)股票的例子展開(kāi)討論。

關(guān)于降噪，最直觀的方法自然是利用隨機(jī)矩陣?yán)碚摚≧MT），其目標(biāo)是消除協(xié)方差矩陣中的噪聲。根據(jù)該理論，噪聲數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的特征值滿足 Marchenko-Pastur 分布。下圖展示了噪聲數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的特征值經(jīng)驗(yàn)分布以及和它對(duì)應(yīng)的 Marchenko-Pastur 分布。因此，降噪的目標(biāo)是識(shí)別樣本協(xié)方差矩陣中位于該分布之外的特征值（信號(hào)），然后利用它們重構(gòu)協(xié)方差矩陣，并用于投資組合優(yōu)化。

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除了 RMT，協(xié)方差矩陣的收縮方法（例如?Ledoit-Wolf?的很多研究），也在某種程度上可以被視為是一種降噪。這是因?yàn)槭湛s的目標(biāo)往往是一個(gè)更具結(jié)構(gòu)化的矩陣，代表著金融理論的先驗(yàn)知識(shí)。通過(guò)將樣本協(xié)方差向該矩陣收縮，可以有效地減少了原始樣本協(xié)方差矩陣中存在的噪聲。

不過(guò)需要說(shuō)明的是，在降低估計(jì)方差的同時(shí)，收縮也會(huì)引入偏差，類似于正則化在模型擬合中權(quán)衡偏差和方差以防止過(guò)擬合。最優(yōu)的收縮強(qiáng)度可以被視為在樣本協(xié)方差矩陣的復(fù)雜性和目標(biāo)矩陣的簡(jiǎn)約性之間找到平衡，最終降低樣本外的估計(jì)誤差。在資產(chǎn)配置中，RMT 和收縮方法可以互補(bǔ)，從而得到更穩(wěn)健和可靠的優(yōu)化結(jié)果。

另一方面，聚類也是改善樣本外資產(chǎn)配置結(jié)果的重要工具。通過(guò)揭示資產(chǎn)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，它可以將具有相似特征的資產(chǎn)分組，從而實(shí)現(xiàn)分散風(fēng)險(xiǎn)的目的。對(duì)于聚類，最近幾年一個(gè)很火的配置方法是層級(jí)風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)（Hierarchical Risk Parity）。該方法通過(guò)層級(jí)聚類對(duì)資產(chǎn)分類，并按風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)來(lái)確定資產(chǎn)權(quán)重，優(yōu)化投資組合。

回到我們的例子，下面試圖將降噪以及聚類融入到 Black-Litterman 模型之中。在實(shí)證中我們將通過(guò)對(duì)樣本協(xié)方差矩陣（以及樣本平均收益率）收縮實(shí)現(xiàn)降噪，收縮的最優(yōu)系數(shù)通過(guò) 5-fold CV 確定。因此，作為比較基準(zhǔn)，在非降噪的版本中，直接使用樣本收益率均值作為 Black-Litterman 的先驗(yàn)，而非像上一節(jié)中使用市場(chǎng)均衡狀態(tài)下的隱含預(yù)期收益率。在收縮時(shí)，對(duì)于預(yù)期收益率，五個(gè)股票的樣本平均收益率均值作為收縮的目標(biāo)；而對(duì)于協(xié)方差矩陣，則直接使用 Ledoit-Wolf Shrinkage 估計(jì)量。最后，實(shí)證的目標(biāo)是檢驗(yàn)收縮能否改善先驗(yàn)，因此在 Black-Litterman 框架中，views 的取值和上節(jié)一樣。

樣本外（2023/3 到 2023/8）的實(shí)證結(jié)果顯示，加入降噪之后，投資組合的年化夏普比率為 2.78，而基準(zhǔn)版本為 2.48。此外，我們也考察了兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，即最大回撤和 Expected Shortfall。降噪后，最大回測(cè)從 -9.25% 提升至 -6.39%；ES 從 -5.86% 提升至 -3.68%。下圖繪制了兩個(gè)組合的累積收益曲線。

接下來(lái)，將聚類融入到上述過(guò)程，看看它能否進(jìn)一步改善資產(chǎn)配置表現(xiàn)。為此，我們會(huì)將聚類結(jié)果作為約束條件放到最終的 MVO 最優(yōu)化問(wèn)題中。對(duì)于本文考慮的這個(gè) toy example 而言，由于 GOOG 和 MSFT 都是科技巨頭且相關(guān)度最高，因此它們被自然的分為一類；其他三支股票各自為一類。MVO 中要求每一類股票的權(quán)重在 0.2 到 0.3 之間。

接下來(lái)，比較降噪 + 聚類和僅僅降噪兩個(gè)版本。結(jié)果顯示，考慮額外的聚類約束后，投資組合的夏普比率從 2.78 下降到 1.93，且最大回撤以及 ES 也有不同程度的變差，表明至少在這個(gè)例子中，聚類約束并沒(méi)有帶來(lái)額外的好處。下圖給出了兩種版本下的最優(yōu)投資組合權(quán)重。

通過(guò)比較兩個(gè)投資組合的最優(yōu)權(quán)重，可以看到附加額外約束的版本在各個(gè)股票所在的群組上確實(shí)更加平衡，達(dá)到了預(yù)設(shè)的目標(biāo)。這導(dǎo)致投資組合在不同行業(yè)之間大致均勻暴露，實(shí)現(xiàn)了更多樣化的配置。然而，作為代價(jià)，上述均衡配置犧牲了某些行業(yè)更高的預(yù)期收益率。在樣本外期間，由于多樣化配置的好處未能抵消預(yù)期收益率方面的損失，因而導(dǎo)致夏普比率的下降。不過(guò)需要強(qiáng)調(diào)的是，在不同的資產(chǎn)范圍或市場(chǎng)條件下，多樣化能夠發(fā)揮更重要的作用。因此，我們不應(yīng)僅僅基于這個(gè) toy example 就否定聚類的作用。

除了降噪和聚類之外，將高階矩信息 —— 例如 coskewness 和 cokurtosis —— 納入資產(chǎn)配置模型也是趨勢(shì)之一（一個(gè)例子在此）。此時(shí)，配置模型變?yōu)椋?/span>

??

其中??表示收益率的第??階中心矩，??表示不同階矩的重要程度。在求解最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，我們也可以從金融學(xué)理論出發(fā)對(duì)??的符號(hào)做如下約束：（1）??代表預(yù)期收益率的系數(shù)，因此??；（2）??代表波動(dòng)率的系數(shù)，因此??；（3）??表示偏度的系數(shù)，而投資者往往喜歡 positive skewness，因此???；最后（4）??表示峰度的系數(shù)而高峰度往往意味著更高的尾部風(fēng)險(xiǎn)，因此??。

最后，機(jī)器學(xué)習(xí)也在近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于資產(chǎn)配置當(dāng)中。例如，de Prado 提倡使用 combinatorial purged cross-validation（CPCV）方法進(jìn)行回測(cè)，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的 k-fold CV 以及 walk forward 方法。CPCV 是一種金融機(jī)器學(xué)習(xí)算法，能夠生成訓(xùn)練/測(cè)試集合組合來(lái)構(gòu)建回測(cè)路徑，并剔除可能包含泄露信息的樣本。較傳統(tǒng)方法，CPCV 通過(guò)生成多個(gè)訓(xùn)練/測(cè)試拆分來(lái)實(shí)現(xiàn)多個(gè)路徑，從而降低過(guò)擬合風(fēng)險(xiǎn)、更客觀地評(píng)估資產(chǎn)配置結(jié)果的表現(xiàn)。

此外，強(qiáng)化學(xué)習(xí)也被用到了資產(chǎn)配置中（雖然我個(gè)人持謹(jǐn)慎態(tài)度）。其主要作用是通過(guò)與環(huán)境的交互學(xué)習(xí)來(lái)優(yōu)化配置結(jié)果。例如，強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法嘗試預(yù)測(cè)市場(chǎng)動(dòng)態(tài)，并在此基礎(chǔ)上做出決策，以最大化投資回報(bào)。由于該方法不需要先驗(yàn)知識(shí)，且能夠處理復(fù)雜的非線性的投資決策問(wèn)題，因此成為了探索資產(chǎn)配置新方法的有力工具。

參考文獻(xiàn)

DeMiguel, V., L. Garlappi, and R. Uppal (2009). Optimal versus naive diversification: How inefficient is the 1/N portfolio strategy??Review of Financial Studies 22(5), 1915-1953.

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