作者：石川

摘要：PCA 及其各種變化已成為估計隱性因子模型的利器。本文帶你了解實(shí)證資產(chǎn)定價領(lǐng)域中 PCA 的源起，中興和未來。

1 源起

APT (Ross 1976) 指出資產(chǎn)收益率和因子之間的線性結(jié)構(gòu)。根據(jù)定義，我們可以把資產(chǎn)協(xié)方差矩陣用因子暴露和因子溢價的協(xié)方差矩陣表示，即：

??

其中??、??以及??分別為資產(chǎn)協(xié)方差矩陣、因子協(xié)方差矩陣和隨機(jī)擾動的協(xié)方差矩陣；??是因子暴露。Ross (1976) 假設(shè)不同資產(chǎn)的隨機(jī)擾動不相關(guān)，因此??為對角陣。滿足該條件的因子模型被稱為嚴(yán)格的因子模型（exact factor model）。

上式意味著因子的協(xié)方差應(yīng)能解釋資產(chǎn)協(xié)方差的一大部分。因此，我們也可以從資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣出發(fā)來估計隱性（latent）因子和相應(yīng)的因子暴露。談到分析協(xié)方差矩陣，最直接的是因子分析（factor analysis）。Roll and Ross (1980) 通過這種方法分析了早年的美股收益率數(shù)據(jù)并發(fā)現(xiàn)了三到四個因子，它們在一定程度上成功的解釋了資產(chǎn)的預(yù)期收益率。

之后，Chamberlain and Rothschild (1983) 放松了 Ross 關(guān)于??的假設(shè)，允許隨機(jī)擾動之間弱相關(guān)，并由此得到了近似的因子模型（approximate factor model）。對于該模型，他們指出用 PCA 代替因子分析可以得到同樣的結(jié)果。另外，Connor and Korajczyk (1986,1988) 提出了當(dāng)截面（cross-section）上資產(chǎn)個數(shù)增大時的漸近主成分分析（asymptotic principal components）。這些研究一舉奠定用 PCA 研究隱性因子或統(tǒng)計因子（statistical factor）的基礎(chǔ)。

然而在實(shí)證方面，應(yīng)用 PCA 卻并沒有那么順利。Connor and Korajczyk (1988) 最早使用大約 1500 支股票研究了隱性因子模型的表現(xiàn)。結(jié)果顯示，盡管基于 PCA 的因子模型比起?CAPM 模型更能解釋樣本中的風(fēng)險和收益率，但定價誤差依然非常顯著。這是因?yàn)榛?PCA 估計的時無條件（或靜態(tài)）因子模型（即 beta 不隨時間變化），而這類模型很難描述個股級別的數(shù)據(jù)。從那之后，PCA 便淡出了人們的視線。

2 中興

近年來，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)在實(shí)證資產(chǎn)定價中的廣泛應(yīng)用，PCA 再次回到了人們的視線。這一現(xiàn)象在一定程度上得益于三方面的原因。

首先最重要的原因是，盡管基于個股協(xié)方差矩陣的 PCA 所構(gòu)造的隱性因子模型在描述個股面板數(shù)據(jù)時效果不理想，但如果把 assets 換成基于公司特征構(gòu)造的投資組合，然后使用投資組合的協(xié)方差矩陣作為 PCA 的輸入，則得到的隱性多因子模型能夠很好的為這些資產(chǎn)定價。這方面的代表包括?Kozak, Nagel and Santosh (2018, 2020)。

第二個原因是從無條件（靜態(tài)）因子模型向條件（動態(tài)）因子模型的轉(zhuǎn)變，這背后的代表是 Kelly et al. (2019) 的工具變量 PCA（IPCA）模型。該模型和前述研究最大的區(qū)別是將因子暴露 beta 視為公司特征的函數(shù)，從而對 beta 直接建模。由于公司特征是隨時間變化的，因此 beta 也自然就是時變的。以此得到的隱性因子模型能夠更好的捕捉資產(chǎn)收益率在時序的變化以及在截面上的差異。后續(xù)一些比較基于不同機(jī)器學(xué)習(xí)方法所構(gòu)造的因子模型的實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，IPCA 方法不輸于（甚至是優(yōu)于）一些更復(fù)雜的非線性模型（例如深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。

第三個原因是從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度對傳統(tǒng) PCA 目標(biāo)函數(shù)的擴(kuò)展，使通過它得到的隱性模型有更好的定價能力。關(guān)于這點(diǎn)，我們可以通過 Lettau and Pelger (2020a, b) 提出的?Risk-Premium PCA（PR-PCA）為例來理解。令??表示資產(chǎn)的超額收益率矩陣、??表示資產(chǎn)超額收益率時序均值向量。則傳統(tǒng) PCA 是對資產(chǎn)的（樣本）協(xié)方差矩陣，即：

??

來進(jìn)行。不難看出，傳統(tǒng) PCA 方法只考慮了收益率的二階矩信息，而忽視了和定價可能更為相關(guān)的一階矩信息。基于這個動機(jī)，Lettau and Pelger (2020a, b) 對協(xié)方差矩陣進(jìn)行了變形，加入了一階矩信息：

??

并通過參數(shù)??控制一階矩信息的強(qiáng)弱（當(dāng)??時，上述表達(dá)式退化為樣本協(xié)方差矩陣）。以該目標(biāo)得到的隱性因子模型被證明在樣本外有更好的定價能力以及更高的夏普比率。

3 未來

Lettau and Pelger (2020a, b) 的研究事實(shí)上為進(jìn)一步發(fā)揮 PCA 在實(shí)證資產(chǎn)定價中的作用提供了一個可行的思路，即人們能否通過經(jīng)濟(jì)學(xué)指引對樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行其他變形，從而更好的估計隱性因子模型。Bryzgalova et al. (2023) 一文從時序和截面角度精彩地回答了這個問題。（BTW，去年我沒在知乎上回答 202X 年優(yōu)秀的金融學(xué)論文這個問題。如果要我來回答，那么它就是 Bryzgalova et al. 2023）。

這篇文章最大的價值，是提出了如何在樣本協(xié)方差矩陣中納入截面或時序或 both 信息的一個框架。在數(shù)學(xué)上，它們均可以被表達(dá)為在樣本協(xié)方差矩陣中加入相關(guān)信息的形式，并通過罰參數(shù)來控制信息的強(qiáng)弱。以截面信息為例，我們可以對如下矩陣進(jìn)行 PCA：

??

其中??表示含有截面信息的截面投影矩陣，??可以理解為截面信息的維數(shù)。那么，從經(jīng)濟(jì)學(xué)先驗(yàn)出發(fā)，可以考慮哪些截面和時序信息呢？

先來說截面方面。大量實(shí)證結(jié)果表明通過公司特征進(jìn)行組合排序而構(gòu)造的分位數(shù)投資組合的收益率往往十分單調(diào)。因此我們自然希望這些投資組合對于 PCA 得到的隱性因子的暴露也是單調(diào)的。我們可以以此為目標(biāo)對樣本協(xié)方差矩陣進(jìn)行相應(yīng)的變形。再說時序方面。上一節(jié)介紹的 PR-PCA 已經(jīng)是這方面的一個特例，即它在樣本協(xié)方差矩陣的基礎(chǔ)上加入了不同資產(chǎn)收益率時序均值的信息??。除此之外，我們還可以考慮其他的時序信息，比如資產(chǎn)相對給定定價模型（例如?FF5）的定價誤差 alpha。這背后的動機(jī)是，我們希望隱性因子模型所估計出的因子，能夠有效地對該定價模型無法解釋的收益率部分定價。

從 Bryzgalova et al. (2023) 的實(shí)證結(jié)果來看，加入截面或者時序信息的 PCA 在樣本內(nèi)、外均能獲得更好的結(jié)果，體現(xiàn)為更小的定價誤差以及更高的夏普比率。那么，為什么加入這些信息有助于估計出更好的因子呢？對于估計隱性因子而言，能否發(fā)現(xiàn)一個因子的關(guān)鍵因素在于因子的強(qiáng)度，即它能解釋資產(chǎn)收益率共同運(yùn)動的比例。這一點(diǎn)從 PCA 的結(jié)果不難理解：找到的因子對應(yīng)著特征值最大的特征向量。然而，如果一個因子僅能解釋很少的波動，它就是一個弱因子（week factor），哪怕它帶有關(guān)于截面預(yù)期收益率差異的重要信息，也無法被 PCA 發(fā)現(xiàn)。在樣本協(xié)方差矩陣中加入截面和/或時序信息的作用就是為了提高弱因子的強(qiáng)度。因此，盡管一個因子就解釋資產(chǎn)波動而言可能很弱，但是它在新加入的信息方面可能很強(qiáng)。通過對協(xié)方差矩陣的變形能夠提升這些因子的強(qiáng)度，從而讓它們可以被發(fā)現(xiàn)和估計。

對于不同類型的因子，加入新信息都是有益的。那些原本無法僅通過協(xié)方差矩陣檢測到的弱因子，現(xiàn)在可以被估計出來。那些強(qiáng)度一般的因子（semi-weak factors），能夠以更高的收斂率被估計出來。而對于本來就能夠解釋大部分波動的強(qiáng)因子而言，加入上述信息也能提升它們的估計效率。這是因?yàn)榧尤氲慕孛婧蜁r序信息包含了收益率的一階矩信息，而如此得到的 PCA 可以被視為一個矩估計量，其中通過優(yōu)化罰參數(shù)來權(quán)衡不同的矩信息。

Bryzgalova et al. (2023) 所提出的框架的意義在于，它能夠讓人們根據(jù)自己的目標(biāo)，通過適當(dāng)?shù)慕?jīng)濟(jì)學(xué)依據(jù)來引入關(guān)于隱性因子的先驗(yàn)信息，并得到更好的隱性因子模型。它代表了 PCA 的未來。最后，讓我以 Bryzgalova et al. (2023) 自己的話總結(jié)并結(jié)束本文：

Our framework can be used to study a broad class of various asset-pricing restrictions related to different spanning properties of the risk factors as well as shape restrictions on their loadings. Importantly, we do not aim to provide a single most efficient way to recover the underlying SDF by choosing “optimal” priors. Instead, we allow the researcher to specify different types of restrictions consistent with both structural and reduced-form insights about the cross-section of asset returns and risk factors that drive it.

參考文獻(xiàn)

Bryzgalova, S., V. DeMiguel, S. Li, and M. Pelger (2023). Asset-pricing factors with economic targets. Working paper.

Chamberlain, G. and M. Rothschild (1983). Arbitrage, factor structure, and mean-variance analysis on large asset markets.?Econometrica 51(5), 1281–1304.

Connor, G. and R. A. Korajczyk (1986). Performance measurement with the arbitrage pricing theory.?Journal of Financial Economics 15(3), 373–394.

Connor, G. and R. A. Korajczyk (1988). Risk and return in an equilibrium APT application of a new test methodology.?Journal of Financial Economics 21(2), 255–289.

Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su (2019). Characteristics are covariances: A unified model of risk and return.?Journal of Financial Economics 134(3), 501–524.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models.?Journal of Finance 73(3), 1183–1223.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section.?Journal of Financial Economics 135(2), 271–292.

Lettau, M. and M. Pelger (2020a). Estimating latent asset-pricing factors.?Journal of Econometrics 218, 1–31.

Lettau, M. and M. Pelger (2020b). Factors that fit the time series and cross-section of stock returns.?Review of Financial Studies 33(5), 2274–2325.

Roll, R. and S. A. Ross (1980). An empirical investigation of the arbitrage pricing theory.?Journal of Finance 35(5), 1073–1103.

Ross, S. A. (1976). The arbitrage theory of capital asset pricing.?Journal of Economic Theory 13(3), 341–360.

免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。