作者：石川
1 三要素
主動(dòng)投資管理的先驅(qū)之一?Richard Grinold?寫過一篇著名的文章，題為《α = Volatility?×?IC?×?Score》。這篇文章標(biāo)題直白醒目，簡明扼要的說明了在主動(dòng)管理中尋求股票?α?收益率的三要素。
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Grinold 對(duì) α 的定義為個(gè)股收益率中無法被與市場收益率相關(guān)的 β 部分解釋的殘余部分。假設(shè) r 為個(gè)股相對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)收益率的超額收益，r_m?為市場相對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)收益率的超額收益，那么有
如果個(gè)股的 α 都是零（就像 CAPM 假設(shè)的那樣），那么我們買個(gè)指數(shù)就萬事大吉，所有主動(dòng)型基金經(jīng)理都會(huì)失業(yè)。但現(xiàn)實(shí)并不是這樣，一些股票的確存在正的 α，而另一些存在負(fù)的 α。主動(dòng)投資管理就是從所有的股票中選出擁有超額 α 收益的那些優(yōu)秀股票。
讓我們假設(shè)為了挖掘有真正 α 的優(yōu)秀股票，某主動(dòng)型基金經(jīng)理有一個(gè)模型（咱們先甭管這個(gè)模型是怎么得到的，也許是靠著手底下眾多研究員的深度研究，也許是靠著科學(xué)的量化分析，也許是靠打聽內(nèi)部消息，也許是靠猴子扔飛鏢，whatever，you name it）。每當(dāng)這個(gè)基金經(jīng)理要預(yù)測個(gè)股下一期的 α 收益時(shí)，這個(gè)模型便給出一個(gè)預(yù)測，記為 f。
這樣 α 的三要素為 IC、Volatility 以及 Score：
IC：它是對(duì) α 的預(yù)測（即 f）和實(shí)際 α 的相關(guān)系數(shù)，在這里被稱為信息系數(shù) Information Coefficient。顯然，這個(gè)相關(guān)度越高越好，它最直接的反映基金經(jīng)理在主動(dòng)管理中的預(yù)測能力。
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Volatility：代表的是個(gè)股 α 本身的波動(dòng)。α 本身的波動(dòng)越大，說明越有機(jī)會(huì)可圖。舉個(gè)極端的例子，如果 α = 0 或者一個(gè)恒定的常數(shù)，那么這支個(gè)股對(duì)所有人來說都是一樣的，根本沒有 α 可以挖掘。
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Score：這是一個(gè)把當(dāng)期對(duì) α 的預(yù)測值 f 按照過去的預(yù)測進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化分?jǐn)?shù)。它代表了在此時(shí)此刻，該基金經(jīng)理對(duì)這支股票的看好的程度。這么說也許不夠直白。舉個(gè)例子來說，假設(shè)這個(gè)基金經(jīng)理有一個(gè)非常厲害的模型，每次都能預(yù)測個(gè)八九不離十，這次的預(yù)測值 f 為 -1%，假設(shè)它標(biāo)準(zhǔn)化后的分?jǐn)?shù)為 -2。因此score就等于 -2，說明該模型在當(dāng)期對(duì)這支股票相當(dāng)不看好。
2 數(shù)學(xué)含義
在這篇文章中，Grinold 雖然使用了大量的例子來闡述這三要素在解釋 α 時(shí)發(fā)揮的作用，但它并沒有具體給出公式 α = Volatility × IC × Score 的推導(dǎo)。下面我們就來從數(shù)學(xué)上說明這個(gè)公式的美妙之處，它可以通過對(duì) α 收益率以及它的預(yù)測值f的歷史時(shí)間序列進(jìn)行線性回歸來得到。
用時(shí)間序列 f 對(duì)時(shí)間序列 α 做線性回歸模型有：
其中，a 和 b 是回歸系數(shù)，ε 是回歸誤差，一般假設(shè) ε 的期望為 0。通過歷史數(shù)據(jù)，利用最小二乘法對(duì)上述模型求解可以得到參數(shù) a 和 b 的最優(yōu)值：
將得到的 a 和 b 的最優(yōu)參數(shù)帶回到上面的回歸模型中，并舍去回歸誤差項(xiàng)，可得：
由于 E[α] 是 α 的歷史均值，對(duì)任何一期的 α 都是一樣的，因此真正影響 α 的是后面這三項(xiàng)的乘積，即 α = IC × Volatility × Score。如果用一句話來說清楚這個(gè) α 公式的含義就是：如果股票本身有 α 可以挖掘（α 的 Volatility 波動(dòng)率大）、我有一個(gè)準(zhǔn)確的預(yù)測方法（在歷史上預(yù)測值 f 和 α 之間的 IC 高），并且當(dāng)期我的預(yù)測值 f 非常好（我對(duì)這個(gè)股票非常有信心），那么我就可以預(yù)期這支股票在未來有不錯(cuò)的超額收益 α。
在這三要素中，α 自身的波動(dòng)由股票所處的行業(yè)和公司的性質(zhì)所決定。更能反映基金經(jīng)理本事的是長期的預(yù)測能力（IC）以及在當(dāng)前的判斷（Score）。在我看來，高IC是最重要的條件，否則不管 Score 多高，如果模型壓根就不能有效的預(yù)測 α（低 IC），那么一切都是枉然。當(dāng)然，如果有了高的 IC，那么我們只需要找到在當(dāng)前時(shí)刻的預(yù)測中 Score 高的那些股票買入即可。所以，所有靠選股為生的主動(dòng)型基金經(jīng)理大概都在較勁腦汁的想找到一個(gè)可以提高 IC 的 α 預(yù)測模型或者方法。
3 另一種形式
Grinold 最初提出的 α 三因素公式就如同前面小節(jié)所說明的那樣，我們預(yù)測的是 α 本身，回歸時(shí)是在時(shí)間維度對(duì)預(yù)測值f的時(shí)間序列和實(shí)際 α 的時(shí)間序列進(jìn)行回歸。然而預(yù)測 α 本身終究是困難的，更常見的做法是尋找能夠挖掘 α 收益率的因子，使用因子本身的值對(duì) α 建模，并通過截面回歸來分析這類模型是否具有挖掘 α 的能力，這就是 α 三因素公式的變種。
截面回歸是在給定的時(shí)間節(jié)點(diǎn)，使用所有股票在該時(shí)點(diǎn)在某一因子上的取值對(duì)下一時(shí)刻股票的 α 收益進(jìn)行回歸分析。令向量 d 為所有股票在時(shí)刻 t 的因子暴露，α 為所有股票在 t+1 時(shí)刻的 α 收益率向量，利用線性回歸便可以得到與本文第二節(jié)中相似的結(jié)果：
雖然公式看起來很相似，但這里的解釋略有不同：E[α] 是所有股票在 t+1 時(shí)刻的期望 α 收益，它應(yīng)該近似的等于 0。IC 是該因子和 α 的截面相關(guān)系數(shù)，它衡量在 t 時(shí)刻，該因子是否具備優(yōu)秀的選股能力。Volatility 是所有股票 α 收益的截面波動(dòng)率，它描述的是個(gè)股 α 收益率的差異性。Score 衡量個(gè)股在因子上取值的強(qiáng)弱。
總結(jié)來說，因子和 α 收益率的相關(guān)性越高，個(gè)股 α 的差異性越大，我們的選股基礎(chǔ)就越好。在這個(gè)基礎(chǔ)上，只需要按照該因子選出分?jǐn)?shù)高的股票就可以預(yù)期得到超額的 α 收益。如果所有股票的 α 都一樣（Volatility = 0）或者所有股票的因子取值都一樣（Score = 0），那么上式就相當(dāng)于 α = 0，也就是說根本無法通過該因子選出含有超額 α 收益的股票；只有因子和 α 收益率的相關(guān)性越高，股票的差異性越大（α 和因子的差異性都是越大越好），才越有可能找出 α。
截面回歸方法往往是一種事后驗(yàn)證。即我們?cè)谝阎?t+1 時(shí)刻所有股票的 α 的前提下，用 t 時(shí)刻的因子取值對(duì) α 進(jìn)行回歸，以此來衡量該因子在t時(shí)刻的選股能力。然而，由于不同因子之間有相關(guān)性，這種衡量方法其實(shí)也是有一定缺陷的。此外，t 時(shí)刻的選股能力更不能保證在 t+1 時(shí)刻該因子仍然有同樣的選股能力。要正確判斷一個(gè)因子的選股能力仍然需要從時(shí)間維度上的考察通過該因子構(gòu)造的純因子投資組合（即排除其他因子對(duì)目標(biāo)因子的干擾）是否可以持續(xù)的獲得超額收益。
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