出色不如走運(yùn)？
發(fā)布時(shí)間：2016-12-07 | 來源: 川總寫量化
作者：石川
1 巴菲特的類比
1984?年，沃倫?巴菲特在介紹格倫厄姆和多德的價(jià)值投資流派時(shí)，舉了下面這個(gè)例子：
I would like you to imagine a national coin-flipping contest." Let's imagine all 268 million people in the United States are asked to wager one dollar on their ability to call the flip of a coin. "If they call correctly, they win a dollar from those who called wrong." After each flip the losers drop out, and on the subsequent flip the stakes multiply. Each person has a 50-50 chance of calling each flip and approximately half of the people will lose and drop out each round. After ten flips there would be approximately 260,000 people that had successfully called ten consecutive coin flips. After 20 flips, based purely on chance, there would be approximately 250 people that had called 20 consecutive coin flips - a seemingly miraculous feat
它的意思是說：假設(shè)全美國 2.7 億人都下注 1 美元來猜扔硬幣的結(jié)果（猜對的概率是50%），猜對的人得到 2 塊錢，猜錯(cuò)的人出局。在此后的每一輪中，仍未被淘汰的人繼續(xù)押注它們的所有賭資，猜對后賭資翻倍，猜錯(cuò)出局，以此類推。這樣，10 輪過后，大概還會(huì)剩下 26 萬人（即 10 輪全部猜對）；20 輪后，2.7 億人中還會(huì)剩下 250 人左右（即 20 輪全部猜對）。有 250 人連續(xù)猜對 20 輪扔硬幣的結(jié)果，多么不可思議！
連續(xù)猜對 20 輪后，剩余的這些人將會(huì)有超過 1 百萬美元！連續(xù)猜對 20 次，打敗了剩下的近 2.7 億人，從 1 元輕松賺到 100萬，這些人聽起來簡直就像是天選之人！但他們的成就真的是出于他們自身的某種特質(zhì)，還僅僅是依靠運(yùn)氣呢？
巴菲特想通過這個(gè)故事表達(dá)的道理還沒有講完，但讓我們先把它放下，先來看看下面這個(gè)簡單的計(jì)算。
2 僅靠運(yùn)氣勝出的“牛人”
如果你從大街上隨便抓一個(gè)人，然后讓他連續(xù)猜 20 次硬幣的正反，那么他全部猜對的概率微乎其微（順便說一句，如果你真的碰上這么一個(gè)全猜對的牛人，那么他很可能是真牛逼?。５?，如果許多許多人一起猜硬幣，那么是否一定會(huì)從中脫穎出來一個(gè)“牛人”呢？這樣找出來的“牛人”是否可信呢（即他是真牛還是僅僅是運(yùn)氣呢）？這些問題可以通過下面的概率模型來回答。
對于一個(gè)人來說，假設(shè)他猜扔硬幣的結(jié)果 n 次，每次猜對的概率為 p（p = 0.5），不同次猜的結(jié)果相互獨(dú)立。那么，這個(gè)人在 n 次中猜對 k 次的概率符合二項(xiàng)分布。令 X 表示這個(gè)人猜對的次數(shù)。顯然，它是一個(gè)隨機(jī)變量，滿足以下概率質(zhì)量函數(shù)（probability mass function）：
如果以這個(gè)人猜對個(gè)數(shù)的多少來衡量他是否厲害，那么我們關(guān)心的則是他在 n 次中至少猜對 k 次的概率，即：
接下來，我們找來了好多好多人，一共有 m 位。我們想看看這 m 個(gè)人里面最厲害的人猜對次數(shù)的概率分布。根據(jù)我們對厲害的定義，這 m 個(gè)人里面最厲害的一定是在這些人中猜對次數(shù)最多的那一個(gè)。因此，如果用 Y 代表這個(gè)最厲害的人在 n 次中猜對的個(gè)數(shù)，那么不難發(fā)現(xiàn)，Y 和每個(gè)人猜對次數(shù) X 的關(guān)系為?Y =?max(X_1, X_2, …, X_m)。這其中 Xi?是第 i 個(gè)人猜對的次數(shù)。在這種關(guān)系下，不難推導(dǎo)出 Y 的累積分布函數(shù)（cumulative distribution function）：
由此不難計(jì)算出最厲害的人至少猜對 k 次的概率，即 Y ≥ k 的概率：
同樣，我們也可以從 CDF 反推出 Y 的PMF：
得到 PMF 后，我們可以求出 Y 的期望和方差：
下面我們就來看看，隨著人數(shù)的增多，最厲害的人猜對 k 次的概率，即 prob(Y = k)，是如何隨人數(shù) m 變化的。令輪次 n = 20，猜對概率 p = 0.5，下圖分別表示了當(dāng)我們有 1 個(gè)人，100 個(gè)人，以及 10000 個(gè)人猜硬幣時(shí)，Y 的概率分布。
可以明顯的看出，隨著參與人數(shù)的增多，Y 的概率質(zhì)量函數(shù)（pmf）在橫坐標(biāo)軸上向右移動(dòng)，且變的越來越窄。Y 的 pmf 向右平移說明隨著人數(shù)的增多，最厲害之人的水平越來越高：當(dāng)只有 1 個(gè)人猜時(shí)，他猜對 10 次的概率最高（因?yàn)槊看斡卸种坏母怕什聦?，一共?20 次）；當(dāng)人數(shù)上升到 100 人時(shí)，他們之中猜的最好的那個(gè)人最有可能猜對 15 次；當(dāng)有 10000 人同時(shí)猜時(shí)，最好的那個(gè)最有可能猜對 18 次。這正所謂“水漲船高”。Y 的 pmf 變窄說明它的標(biāo)準(zhǔn)差越來越?。粨Q句話說，隨著人數(shù)的增多，我們對于這其中最厲害人猜對的個(gè)數(shù)的判斷將越來越有信心。
下面再讓我們來看看最厲害的人至少猜對 k 次的概率，即 prob(Y?≥?k)，是如何隨人數(shù) m 變化的。下圖分別為 k 取 18，19 以及 20 的情況（輪次仍然是一共 20 輪）。比如，綠色曲線表示的是 prob(Y ≥ 19) 是如何隨 m 變化的。可以看到，在參與的人數(shù)大約為 30 萬人時(shí)，最厲害之人至少猜對 19 輪的概率就已經(jīng)非常接近 1。換句話說，我們可以斷言，如果有 30 萬人同時(shí)參與猜硬幣的游戲，那么一定會(huì)至少有一個(gè)人從中脫穎而出，猜對至少 19 輪。當(dāng) k = 20（即 20 輪全部猜對）時(shí)，prob(Y ≥ 20) 的概率也是隨 m 單調(diào)遞增的，雖然速度比起 k = 19 時(shí)要慢得多。當(dāng) 1 百萬人同時(shí)猜硬幣的時(shí)候，最厲害的那個(gè)人有超過 60% 的概率猜對全部的 20 輪。
從上面的結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)越來越多的人參與猜硬幣的游戲后，總會(huì)出現(xiàn)一個(gè)或者多個(gè)最厲害的“天選之人”，會(huì)全部猜對，令眾粉絲驚呼。這些人也許會(huì)將這種幸運(yùn)誤以為是自己的天生神力；也許還會(huì)開始在自媒體上大肆曝光、出書、給迷信的人講座、開啟網(wǎng)紅之路、站上人生巔峰。殊不知這這種結(jié)果的出現(xiàn)僅僅是靠運(yùn)氣（pure luck），一切皆枉然。
3 投資界
上面這個(gè)例子在證券投資界也有著完美的體現(xiàn)。下面這類場景你一定不陌生：每年末在各大基金或者陽光私募排行的榜單上，都有收益率嗷嗷牛叉的 top 10。又或者在民間量化平臺(tái)（諸如果仁網(wǎng)）首頁上的推薦策略中，各種上榜的策略那無論從回測還是到實(shí)盤，其業(yè)績讓人看來都嘖嘖稱奇，感嘆這些人賺錢簡直如探囊取物一般簡單。
相信看過猜硬幣的例子后你能夠明白，這些上榜的例子和猜硬幣中的那些最厲害的人并沒有太大的差異。為了進(jìn)一步說服你，讓我們假設(shè)一個(gè)股票型投資策略的年化收益率 X 符合均值為 10%，標(biāo)準(zhǔn)差為 20% 的正態(tài)分布。假設(shè)市場中有 m 支股票型基金，則它們中最好的那個(gè)的收益率 Y 是 X 的函數(shù)，Y =?max(X_1, X_2, …, X_m)。類似上節(jié)中的計(jì)算不難得到關(guān)于 Y 的概率分布和各種統(tǒng)計(jì)值。比如，下圖是當(dāng)有 3000 支基金時(shí)，其中最好的那個(gè)的收益率分布和單獨(dú)一支基金收益率分布的比較：和猜硬幣的例子一樣，最好的那支的收益率分布在橫坐標(biāo)上向右移動(dòng)且變的更窄。
下圖為 prob(Y ≥ 0.7) ——最好的那個(gè)基金的年化收益率超過 70% 的概率——隨基金個(gè)數(shù) m 變化的結(jié)果。同時(shí)，我們也給出了 Y 的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨 m 的變化。隨著 m 的增大，prob(Y ≥ 0.7) 向 1 逼近（即我們越來越確定總會(huì)有一些基金脫穎而出，年化收益率超過 70%）。這種判斷也同樣可以被 Y 的均值和方差來證明：隨著基金個(gè)數(shù)的增大，最好的基金的年化收益率的均值也在增加，且標(biāo)準(zhǔn)差在減小。
這個(gè)結(jié)果告訴我們，看到各種榜單上無敵的產(chǎn)品根本不足為奇。但我們內(nèi)心真正關(guān)心的問題是：這些上榜的基金取得的優(yōu)異業(yè)績靠的到底是運(yùn)氣（比如評(píng)比的當(dāng)年的市場恰好適合它們的策略），還是一套真正的科學(xué)投資體系？看看基金的排名，不禁讓人心灰意冷。
下圖為 2015 年凈值增長最高的前 12 支偏股混合型基金。這些在 2015 年風(fēng)光無限的基金在 2014 年如何呢？可謂慘不忍睹。我不想不負(fù)責(zé)任的基于此就認(rèn)為這些基金 2015 年的表現(xiàn)純粹是來自運(yùn)氣。但同樣的，如果讓我來選基金，我也不會(huì)把投資人的錢輕易的就交給它們管理。畢竟，短期的“運(yùn)氣”無法說明任何“能力”。這不是“實(shí)力強(qiáng)”，而是“人生狀態(tài)比較好”。
4 巴菲特的深意
下面我們回頭來看巴菲特的例子。他通過猜硬幣的例子真正想說明的是，如果猜對的 250 個(gè)人僅僅憑借的是運(yùn)氣，那么按照隨機(jī)性，這些人應(yīng)該來自美國的各個(gè)不同的地方。但是，如果這些人里面有大一部分（遠(yuǎn)超過隨機(jī)性所對應(yīng)的數(shù)字）來自一個(gè)名為“格倫厄姆和多德的小鎮(zhèn)”呢？那就要好好看看這些出自該小鎮(zhèn)的人擁有哪些共同的特質(zhì)。
眾所周知，格倫厄姆和多德是價(jià)值投資的開山鼻祖，而巴菲特?zé)o異于最好的繼承者。他通過這個(gè)例子想要說明的是，價(jià)值投資是一個(gè)經(jīng)過風(fēng)雨考驗(yàn)的科學(xué)投資系統(tǒng)，這些真正掌握該系統(tǒng)的人會(huì)長屹立于證券投資之林，這些人在投資界可以做到靠真正的能力來持續(xù)的“猜對硬幣”（賺到錢）。
時(shí)間才是檢驗(yàn)一個(gè)基金或者一個(gè)基金經(jīng)理是否優(yōu)異的唯一標(biāo)準(zhǔn)。
為此，我們從時(shí)間維度再做最后一個(gè)實(shí)驗(yàn)。我們?nèi)匀患僭O(shè)一個(gè)基金年化收益率 X 的分布符合正態(tài)分布。此外，我們考慮該基金在連續(xù) T 年內(nèi)中最差的那一年的收益率作為評(píng)價(jià)該基金水平的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，令 Z 代表這個(gè)收益率，因此我們有 Z =?min(X_1, X_2, …, X_T)。
假設(shè)該基金的年化收益率為 N(0.2, 0.3)，并令 T = 5 年。Z 的分布如下圖所示。Z 的均值為 -14.4%，標(biāo)準(zhǔn)差為 20.0%。最差年份中，期望收益為虧損 14% 以上。面對 20% 的期望收益，恐怕沒有人想遇到這樣的年景。
這支基金年化收益率的期望有?20%，似乎足夠吸引人。但是，之所以產(chǎn)生這么差的結(jié)果是因?yàn)樵摶鹉昊找媛史植嫉臉?biāo)準(zhǔn)差太大（我們假設(shè)?0.3）。標(biāo)準(zhǔn)差是用來衡量一支基金的穩(wěn)定程度，那自然越小越好；越小說明年與年之間，它的表現(xiàn)越穩(wěn)定。
這個(gè)結(jié)論不難證明。假設(shè)其他條件不變而僅改變收益率標(biāo)準(zhǔn)差后，得到的 Z 的均值如下圖所示，可見標(biāo)準(zhǔn)差越?。椿鸬乃皆椒€(wěn)定），最差年份的收益率才會(huì)越高。
時(shí)間永遠(yuǎn)是穩(wěn)定性最大的敵人。上面的實(shí)驗(yàn)僅僅考慮了 5 年的情況。如果我們把時(shí)間拉長又會(huì)怎樣呢？不同的收益率標(biāo)準(zhǔn)差能否禁得起時(shí)間的考驗(yàn)?zāi)?？下圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)差分別為 2%，5%，以及 10% 的情況（收益率期望仍然為 20%），時(shí)間跨度從5年到30年。當(dāng)一個(gè)基金足夠穩(wěn)健（標(biāo)準(zhǔn)差為 2%），它在 30 年內(nèi)的最差收益的期望也不會(huì)差到哪里。但如果它不夠穩(wěn)?。?biāo)準(zhǔn)差為 10%），它的表現(xiàn)一定是會(huì)在時(shí)間面前褪色的。
時(shí)間又從來都是一個(gè)科學(xué)投資體系的朋友。上圖同時(shí)說明，隨著時(shí)間的正常，這三個(gè)不同 sigma 的曲線之間的差距逐漸增大。這說明，如果僅僅看短期（3 到 5 年），我們還無法準(zhǔn)確的判斷濫竽充數(shù)者，但它們一定會(huì)在時(shí)間的沖刷下原形畢露的。但是，我們國內(nèi)的基金又有多少有 10 年甚至更長的歷史呢？那些“著名”的基金經(jīng)理又有多少有記載可回溯的 track record 呢？在這種背景下就來大搞 MOM 和 FOF，在我看來是國內(nèi)投資界所面對的困擾。再來看看巴菲特的表現(xiàn)。下圖是美國擁有 30 年以上歷史的基金的信息率（類似夏普率）分布圖。在 30 年尺度的丈量下，巴菲特的表現(xiàn)有目共睹（排名第二）。這也許是對來自“格倫厄姆和多德小鎮(zhèn)”的投資者最好的褒獎(jiǎng)。
5 結(jié)語
優(yōu)秀的業(yè)績是靠運(yùn)氣還是來自實(shí)力？時(shí)間是評(píng)判這一切的唯一標(biāo)準(zhǔn)。面對一個(gè)潛在的好的策略或者基金產(chǎn)品，我們切記不要被它完美的業(yè)績所迷惑雙眼，必須時(shí)刻保持理智，冷靜的對其歷史業(yè)績進(jìn)行業(yè)績歸因，客觀的考量投資團(tuán)隊(duì)以及風(fēng)控體系。這一切有不得半點(diǎn)馬虎，來不得半點(diǎn)急躁。
免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險(xiǎn)，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。