作者：石川

摘要：本文解析中國 A 股的兩個波動率日歷效應(yīng)，即周一的波動率最高，以及按照日歷周計算的周收益率的波動率最低。

1 引言

嚴格的說，這篇文章的題目應(yīng)該叫“二階矩的日歷效應(yīng)”，因為它包括日收益率自身的波動率以及不同交易日之間收益率的協(xié)方差。但顯然，“波動率”是個更接地氣的稱呼。

言歸正傳，投資者對股市中的很多收益率的日歷效應(yīng)并不陌生，比如華爾街流行的“Sell in May”和“January Barometer”（感興趣的讀者請參看《Sell in May and Go Away》和《過度數(shù)據(jù)挖掘之“一月晴雨表”》），以及 A 股中流傳的“星期四法定砸盤日”等。

今天我想從波動率的角度解讀兩個日歷效應(yīng)：

在具體分析前不妨先給出結(jié)論：

下面就以上證指數(shù)為例來解釋這兩個現(xiàn)象。

2 星期一波動率最高

人們都有這樣的感受，即股價在周一的波動往往較星期內(nèi)的其他幾天更大。以過去 15 年的上證指數(shù)為例，下圖為它在星期一到星期五這五天的對數(shù)收益率的箱體圖。使用對數(shù)收益率的原因是我們之后會使用 F 檢驗來判斷這些收益率的波動率是否相同，而 F 檢驗對待檢驗的隨機變量是否滿足正態(tài)分布非常敏感。由于對數(shù)收益率比收益率更符合正態(tài)分布，因此我們使用對數(shù)收益率進行下面的計算。

從圖中直觀來看，星期一的對數(shù)收益率有更廣闊的分布，即更高的波動率。這五個工作日的對數(shù)收益率的標準差分別為：

除星期一外，其他幾日的標準差都在 0.015 左右，而星期一的標準差則接近 0.02。我們自然無法忽視這樣的區(qū)別，它顯然代表著星期一的波動率和其他幾日在統(tǒng)計意義上顯著的不同。為證明這一點，對標準差的平方即方差，兩兩進行 F 檢驗。原假設(shè)為被檢測兩日對數(shù)收益率的方差相同。在原假設(shè)下，上述標準差結(jié)果發(fā)生的概率為：

比如，上表中橫向星期一和縱向星期二對應(yīng)的數(shù)值 2.645292e-11 意味著在原假設(shè)下，星期一和星期二的對數(shù)收益率的標準差出現(xiàn)如此之大差異的概率為 2.645292 的 -11 次方。如果以 1% 為置信水平（99% 的顯著性水平）為標準，那我們無疑可以輕松的拒絕星期一和其他任何一天方差相同的原假設(shè)。因此可以下結(jié)論說，在一周之內(nèi)，周一的波動率最高，且該結(jié)果在統(tǒng)計上非常顯著。

接下來就要回答：為什么呢？由于周六和周日兩天休市，周一較前一個交易日（通常為上周五）之間隔了兩個休息日。與此相對應(yīng)的是，周內(nèi)的其他日子中較前一個交易日僅有一個隔夜。顯然，兩個休息日比一個隔夜有更大的可能性產(chǎn)生新的消息（不管是正面消息還是負面消息、不管是公司的消息還是監(jiān)管的消息），這就造成了周一較其他交易日有更大的不確定性。這個高不確定性正是星期一高波動率的來源。高不確定導(dǎo)致投資者以下四種行為：

這些投資者行為的綜合作用貢獻了周一的高波動率。

3 周內(nèi)日收益率的負相關(guān)

接下來看看“周收益率”的情況。這里，我們不局限于傳統(tǒng)日歷周的概念；把周收益率定義為連續(xù)五個交易日的收益率。在這種定義下產(chǎn)生了以下五種周收益率的計算方式：

顯然，除了第一種傳統(tǒng)的日歷周定義，在其他的四種定義下，它們包含的五個交易日都是跨周的。那么，不同的定義對周收益率的波動率有什么影響呢？回答這個問題對于周頻交易的量化策略非常有用。我們?nèi)匀豢紤]對數(shù)收益率，因此周對數(shù)收益率等于這五個交易日對數(shù)收益率之和，即：

周對數(shù)收益率的波動率，即方差，可以寫成日對數(shù)收益率方差和協(xié)方差的和：

不論是否跨周，在這五種定義中，周一到周五均出現(xiàn)（且僅出現(xiàn)）了一次。因此，上式中的前五項對于這五種計算方式來說是相同的。所以，如果周對數(shù)收益率的波動率在這五種定義下不同，那一定是日對數(shù)收益率的協(xié)方差在這五種定義下不同。結(jié)果是不是如此呢？先看數(shù)字。在這五種定一下，周對數(shù)收益率的標準差分別為：

從數(shù)值上來看，在傳統(tǒng)日歷周的定義下，周對數(shù)收益率的標準差最低。為此，我們有兩個猜想：

從這兩個猜想出發(fā)，不難寫出這五種定義下，五個交易日的協(xié)方差矩陣（把協(xié)方差矩陣中的所有項相加就等于上面那個波動率的式子，即得到周對數(shù)收益率的波動率）。

定義 1 ——上周五收盤到本周五收盤（傳統(tǒng)的日歷周）——的協(xié)方差矩陣如下。為方便說明，M、T、W、R、F 分別代表周一、周二、周三、周四和周五。矩陣中的對角線上的元素為方差項，非對角線上的元素——以 X 表示——代表非零的協(xié)方差項。根據(jù)猜想一，某些 X 的數(shù)值為負數(shù)。

定義 2 ——本周一收盤到下周一收盤——的協(xié)方差矩陣如下。由于這里出現(xiàn)了跨周，因此我們在下周一的符號M上加上一個 ~ 標記，說明它和之前的 T、W、R、F 來自不同的周。同一周內(nèi)的交易日之間仍然存在非零的協(xié)方差；但根據(jù)猜想二，屬于不同周的交易日之間協(xié)方差為零，協(xié)方差矩陣中的紅色的數(shù)字零正來自這個猜想。為了更清晰的表達，我們索性把 0 隱去，因此最終的協(xié)方差矩陣如下圖中最下方那個簡化版所示。

以此類推，可以寫出后面三個定義下的協(xié)方差矩陣：

根據(jù)猜想二，在所有跨周的定義中，協(xié)方差矩陣中都有一些元素為零。與之相反的是，在定義 1 中，由于五天來自同一周而根據(jù)猜想一它們之間存在負相關(guān)。因此，比較這五個協(xié)方差矩陣可以得到如下推論：

我們可以通過數(shù)據(jù)來驗證猜想一。下表為同一周內(nèi)不同日對數(shù)收益率之間的相關(guān)系數(shù)，可見確實存在負相關(guān)，且周一和周三、周二和周三、以及周三和周四之間的負相關(guān)都不低。另外周一和周二之間也存在負相關(guān)。

這其實不難理解。正如前面所說，周一的高波動率一定程度上源自市場對周末消息的過度解讀。當市場冷靜下來后，則會出現(xiàn)和周一相反的收益率，造成周二和周三在一定程度上和周一的收益率負相關(guān)。

對于一個周頻策略，它的核心就是想過濾掉更高頻率的噪聲。從這個意義上說，同一周內(nèi)日收益率之間的負相關(guān)是非常有利的。因此，對于周頻策略，使用傳統(tǒng)的日歷周定義來計算周收益率是恰當?shù)摹?/strong>

4 其他指數(shù)上的實證

以上分析都是以上證指數(shù)為標的進行的。最后我們再來看看以上證 50、深圳成指、以及創(chuàng)業(yè)板指數(shù)為標的的結(jié)果。

上證 50：

深圳成指：

創(chuàng)業(yè)板：

結(jié)果表明，這幾個指數(shù)也都基本滿足上面的兩個現(xiàn)象，即周一的波動率最高，以及按照日歷周計算的周收益率的波動率最低。唯一的例外是上證 50。它按日歷周計算的波動率并不是五種定義下最低的。但是考慮到樣本誤差，以及它和最低值之間的細微差別，這個結(jié)果并不會改變本文的結(jié)論。

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