從 Spearman 秩相關(guān)看市場(chǎng)情緒
發(fā)布時(shí)間：2017-08-23 | 來(lái)源: 川總寫量化
作者：石川
摘要：秩相關(guān)系數(shù)用來(lái)計(jì)算兩個(gè)變量之間的單調(diào)相關(guān)性。本文采用秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行市場(chǎng)情緒分析。
1 Spearman 秩相關(guān)系數(shù)
人們對(duì)相關(guān)系數(shù)（correlation coefficient）并不陌生，它是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)概念，用來(lái)表示兩個(gè)隨機(jī)變量共同運(yùn)動(dòng)的程度，即線性相關(guān)性（linear correlation）。秩相關(guān)系數(shù)（rank correlation coefficient）和我們常說(shuō)的相關(guān)系數(shù)類似，不同的是它考察的是兩個(gè)隨機(jī)變量之間的單調(diào)相關(guān)性（monotonic correlation）。秩相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式和相關(guān)系數(shù)的類似，只不過(guò)在前者中，使用的并不是觀測(cè)值本身的數(shù)值，而是它們?cè)诟髯詷颖局械呐判颉?/strong>
來(lái)看兩個(gè)例子。假設(shè)某班里有 10 名學(xué)生，他們的語(yǔ)文和數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)如下。這里，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)就是兩個(gè)變量，我們想考察它們的秩相關(guān)性。特別的，假設(shè)這個(gè)班的所有學(xué)生都沒(méi)有偏科，學(xué)霸通吃語(yǔ)文數(shù)學(xué)、學(xué)渣則兩門都不靈。因此，如果我們分別按語(yǔ)文和數(shù)學(xué)成績(jī)來(lái)排名，并用排名代替這些學(xué)生的原始得分時(shí)，每個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文和數(shù)學(xué)排名總能完美的對(duì)應(yīng)起來(lái)。比如，語(yǔ)文最高分的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)也是第一。在這 10 名學(xué)生中（觀測(cè)值），語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的排序（兩個(gè)序列變量，ranked variables）高度一致（單調(diào)性完全相同），因此我們說(shuō)它們的秩相關(guān)系數(shù)為 1。
再來(lái)看另外一個(gè)班。這個(gè)班里的 10 名學(xué)生都存在一定程度的偏科，且某一科學(xué)得越好，另外一科學(xué)的越差。他們的語(yǔ)文數(shù)學(xué)成績(jī)和分別的排名如下表所示。例如，語(yǔ)文第一名的學(xué)生，數(shù)學(xué)考分墊底（第 10 名）。在這 10 名學(xué)生中，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)排序的單調(diào)性完全相反，這說(shuō)明它們存在完美的負(fù)的秩相關(guān)。事實(shí)上，在這個(gè)例子中，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的秩相關(guān)系數(shù)為 -1。
從這兩個(gè)例子可以看出：
當(dāng)兩個(gè)變量在觀測(cè)值序列中有相似的排序時(shí)，這兩個(gè)變量的秩相關(guān)性很高；而當(dāng)它們?cè)谟^測(cè)值中有明顯不同的排序時(shí)，這兩個(gè)變量的秩相關(guān)性很低。極端的情況發(fā)生在當(dāng)兩個(gè)變量的排序完全一致或者完全相反。秩相關(guān)系數(shù)的取值為 -1 到 1 之間。
秩相關(guān)性的取值僅與變量的排序有關(guān)，而與具體的觀測(cè)值無(wú)關(guān)，因此它描繪的是變量之間的單調(diào)相關(guān)性。我們之所以關(guān)心秩相關(guān)性是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的相關(guān)系數(shù)僅考察兩個(gè)變量之間是否存在線性相關(guān)性。而秩相關(guān)性對(duì)變量之間的線性或非線性相關(guān)性不做假設(shè)，而將考察的重點(diǎn)放在單調(diào)相關(guān)性上。
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在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，有多種計(jì)算秩相關(guān)系數(shù)的方法，其中最流行的要數(shù) Spearman 秩相關(guān)系數(shù)，它以?Charles Spearman?命名。假設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的 n 個(gè)觀測(cè)值，Spearman 秩相關(guān)系數(shù)，記為 r_s，的計(jì)算過(guò)程如下：
1. 首先將 X 和 Y 的觀測(cè)值轉(zhuǎn)換成它們對(duì)應(yīng)的排序 X_r 和 Y_r。
2. 對(duì) X_r 和 Y_r 采用傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)公式，則可得到 r_s：
特別的，如果 X 和 Y 各自的取值沒(méi)有重復(fù)——即排序后的 X_r 和 Y_r 中沒(méi)有任何兩個(gè)觀測(cè)值有同樣的排序，則 r_s 還可以通過(guò)下面這個(gè)更簡(jiǎn)單的公式計(jì)算：
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其中 d_i = X_r(i) – Y_r(i)，它表示第 i 個(gè)觀測(cè)值中 X 和 Y 的排序之差；n 為觀測(cè)值的總數(shù)。
由上面這個(gè)簡(jiǎn)單的公式很容易驗(yàn)證，在上面兩個(gè)例子中，第一個(gè)班級(jí)中語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的秩相關(guān)為 1 - 0 = 1；而第二個(gè)班級(jí)中語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的秩相關(guān)系數(shù)為 1 - 6 × (92+72+52+32+12+12+32+52+72+92) / (10 × (102-1)) = 1 – (6 × 330)/990 = -1。
2 秩相關(guān)和市場(chǎng)情緒
在量化投資領(lǐng)域，我們可以使用 Spearman 秩相關(guān)性做市場(chǎng)情緒分析。市場(chǎng)情緒（market sentiment）是個(gè)很主觀的定義。在我們的用例中，對(duì)它的解釋如下：
市場(chǎng)情緒的高、低由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率和它的風(fēng)險(xiǎn)水平的一致程度所反應(yīng)。市場(chǎng)情緒高漲時(shí)，高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)應(yīng)該比低風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有更高的收益率；市場(chǎng)情緒低落的時(shí)候，高風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)應(yīng)比低風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有更大的跌幅。
在上述解釋下，我們可以使用風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率和其風(fēng)險(xiǎn)水平之間的單調(diào)相關(guān)性來(lái)定量評(píng)價(jià)市場(chǎng)情緒。這里使用秩相關(guān)性的好處是，我們并不需要假設(shè)收益和風(fēng)險(xiǎn)水平之間到底應(yīng)該是線性的還是非線性的關(guān)系。上述解釋符合人們對(duì)市場(chǎng)的認(rèn)知。通常在一波漲幅有偃旗息鼓跡象時(shí)，我們看到最后一波的瘋狂往往由大盤股（如銀行、石油和傳統(tǒng)低 β?板塊）拉升，反而之前漲幅較好的高 β?板塊（如 TMT、有色金屬）出現(xiàn)回調(diào)，給人造成不舒服的感覺(jué)。
如何選取風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)并描述它們的風(fēng)險(xiǎn)水平呢？一個(gè)合理的選擇是使用不同的行業(yè)指數(shù)作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并使用它們的 β 系數(shù)來(lái)代表風(fēng)險(xiǎn)水平。為此，選用申萬(wàn)一級(jí)的 28 個(gè)行業(yè)作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，并使用東方財(cái)富全 A 指數(shù)作為市場(chǎng)的代表，以此計(jì)算不同行業(yè)的 β。有了不同行業(yè)的 β 之后，我們便可以計(jì)算這些行業(yè)指數(shù)的收益率與它們的 β 的秩相關(guān)系數(shù)，以此來(lái)定量說(shuō)明市場(chǎng)情緒的大小。特別的，假設(shè)收益率和 β 的秩相關(guān)系數(shù)為 r_s，則我們定義市場(chǎng)情緒如下：
因此，市場(chǎng)情緒的取值在 -100 和 100 之間，越高說(shuō)明情緒越高漲。
3 計(jì)算 β 系數(shù)
為了計(jì)算市場(chǎng)情緒，必須知道每個(gè)行業(yè)的 β 系數(shù)。由定義可知，對(duì)于任意行業(yè) k，其 β 系數(shù)，記為 β_k 的計(jì)算公式為：
其中，ρ_km 為行業(yè) k 和市場(chǎng)收益率的相關(guān)系數(shù)；σ_k 和 σ_m 分別為行業(yè) k 和市場(chǎng)收益率的波動(dòng)率（標(biāo)準(zhǔn)差）。根據(jù) Frazzini and Pedersen (2013)，在上式中分別計(jì)算相關(guān)系數(shù)和波動(dòng)率的原因是：
1. 較波動(dòng)率而言，兩個(gè)變量的相關(guān)性的變化更加緩慢。因此，應(yīng)該使用更長(zhǎng)的歷史數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，而可以用更短的數(shù)據(jù)計(jì)算波動(dòng)率（考慮到波動(dòng)率聚類，這是有必要的）。這要求計(jì)算時(shí)把波動(dòng)率和相關(guān)系數(shù)區(qū)分對(duì)待。
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2. 對(duì)于波動(dòng)率和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算可以使用不同粒度的收益率數(shù)據(jù)。例如，對(duì)于波動(dòng)率我們可以使用日收益率；而對(duì)于相關(guān)系數(shù)我們可以使用三日收益率或者周收益率數(shù)據(jù)，以消除非同步交易的影響。（當(dāng)然，由于我們都是使用行業(yè)指數(shù)而非個(gè)股，并沒(méi)有這個(gè)問(wèn)題。）
在所有相關(guān)的計(jì)算中，使用的都是對(duì)數(shù)收益率。在計(jì)算波動(dòng)率時(shí)，使用過(guò)去 1 年的日對(duì)數(shù)收益率；在計(jì)算相關(guān)系數(shù)時(shí)，使用過(guò)去 2 年的三日對(duì)數(shù)收益率。這樣，我們可以計(jì)算出這 28 個(gè)申萬(wàn)一級(jí)行業(yè)在每個(gè)交易日的 β 系數(shù)。
4 實(shí)證分析
本節(jié)將市場(chǎng)情緒分析在 A 股上進(jìn)行實(shí)證。假設(shè)考察的時(shí)間區(qū)間為 2011 年 1 月 1 日到 2017 年 8 月 18 日。此外，為了避免日收益率的噪聲，以周五進(jìn)行 β 系數(shù)采樣并使用周收益率計(jì)算秩相關(guān)系數(shù)和每周的市場(chǎng)情緒。需要說(shuō)明的是，在實(shí)證分析中，我們僅僅想考察這個(gè)本文介紹的這種基于秩相關(guān)的計(jì)算方法在描述市場(chǎng)情緒時(shí)是否合理。因此計(jì)算 β 和秩相關(guān)系數(shù)時(shí)采用的都是當(dāng)期的最新數(shù)據(jù)。換句話說(shuō)，計(jì)算中假設(shè)每周收益率已知后（比如等到周五收盤后），再計(jì)算最新的市場(chǎng)情緒。本文不試圖使用市場(chǎng)情緒指標(biāo)對(duì)未來(lái)的收益率進(jìn)行任何預(yù)測(cè)。
和相關(guān)系數(shù)類似，如果秩相關(guān)系數(shù)在 0 附近這說(shuō)明兩個(gè)變量的單調(diào)相關(guān)性不明顯，因此我們重點(diǎn)關(guān)注秩相關(guān)系數(shù)——市場(chǎng)情緒——超過(guò)一定正、負(fù)閾值的情況。為此，在計(jì)算出的每周原始市場(chǎng)情緒序列中，將數(shù)值在 -30 到 30 之內(nèi)的以 0 代替，表示在那些周市場(chǎng)情緒不溫不火。最終，下圖顯示了市場(chǎng)情緒和東財(cái)全 A 指數(shù)在實(shí)證期窗口內(nèi)的變化。
觀察上圖，我們可以大致得到以下幾個(gè)結(jié)論：
1. 由于我們計(jì)算的是事后市場(chǎng)情緒，因此它和市場(chǎng)的漲跌走勢(shì)在一定程度上相符合：市場(chǎng)上漲時(shí)，情緒一般高漲；市場(chǎng)下跌時(shí)，情緒則在 0 水位以下；在市場(chǎng)糾結(jié)時(shí)，情緒也比較糾結(jié)（圖中對(duì)應(yīng)的是那些市場(chǎng)情緒為 0 的周）。
2. 比較有意思的一點(diǎn)是在 2015 年牛市結(jié)束前的一到兩個(gè)月，市場(chǎng)情緒出現(xiàn)過(guò)連續(xù)的幾周非常負(fù)面的情況。雖然現(xiàn)在下任何結(jié)論還為時(shí)尚早（我不能不負(fù)責(zé)任的說(shuō)什么“市場(chǎng)情緒有預(yù)示牛市中風(fēng)險(xiǎn)累積過(guò)高的作用”這種觀點(diǎn)），但這種現(xiàn)象絕對(duì)值得進(jìn)一步研究。
3. 最近幾個(gè)月，市場(chǎng)情緒逐漸得到修復(fù)。雖然 3300 點(diǎn)似乎已經(jīng)成為了上證指數(shù)的一個(gè)無(wú)法逾越的阻力位，但從情緒的角度看，市場(chǎng)并沒(méi)有太過(guò)悲觀。
5 結(jié)語(yǔ)
對(duì)市場(chǎng)情緒的量化對(duì)投資來(lái)說(shuō)無(wú)疑會(huì)有益處。計(jì)算市場(chǎng)情緒有不同的方法。例如，對(duì)于流量大的投資公眾號(hào)或者平臺(tái)，可以定期統(tǒng)計(jì)投資者的倉(cāng)位并以此來(lái)計(jì)算市場(chǎng)情緒（情緒高漲時(shí)倉(cāng)位應(yīng)該重；反之倉(cāng)位應(yīng)該輕）。本文從秩相關(guān)的概念出發(fā)，介紹了券商中流行的一種定量計(jì)算市場(chǎng)情緒的方法。
這種方法是否有效是個(gè)見仁見智的問(wèn)題。我個(gè)人的感受總結(jié)如下：
1. 基于秩相關(guān)的市場(chǎng)情緒是一個(gè)事后分析手段。和技術(shù)分析指標(biāo)類似，市場(chǎng)情緒是對(duì)歷史數(shù)據(jù)所傳達(dá)的信息的二次加工。是一種信息濃縮、提煉過(guò)程，讓人們可以通過(guò)單一指標(biāo)對(duì)情緒有一個(gè)認(rèn)知。
2. 由于它是一個(gè)歷史信息提取手段，因此它是否對(duì)未來(lái)的收益率有預(yù)測(cè)性仍然存疑。客觀來(lái)說(shuō)，不可能存在單一的指標(biāo)或者因子和某個(gè)投資品未來(lái)的收益率高度相關(guān)（那就發(fā)財(cái)了），因此市場(chǎng)情緒指標(biāo)也許更適合來(lái)作為一個(gè)輔助判斷的手段。在一些研究報(bào)告中，存在使用市場(chǎng)情緒預(yù)測(cè)未來(lái)收益率而構(gòu)建投資策略，并取得了不錯(cuò)的效果。但是我甘愿相信那就是數(shù)據(jù)操縱的產(chǎn)物。由于大 A 股獨(dú)特的牛熊周期，只要抓住牛市、躲開熊市，那么回測(cè)的凈值就不會(huì)太差。因此，通過(guò)選擇參數(shù)和標(biāo)的，使用市場(chǎng)情緒來(lái)在回測(cè)中擇時(shí)遠(yuǎn)沒(méi)有想象的困難。
3. 計(jì)算時(shí)完全可以不使用本文提到的申萬(wàn)一級(jí)行業(yè)，而使用其他的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。事實(shí)上，我也嘗試了使用滬深兩市的個(gè)股進(jìn)行同樣的計(jì)算。在那種情況下，由于股票的波動(dòng)率較大且個(gè)數(shù)太多，使用所有的股票對(duì)于秩相關(guān)系數(shù)的計(jì)算會(huì)產(chǎn)生較大的噪聲。為此，可以考慮按照 β 值或者行業(yè)對(duì)個(gè)股進(jìn)行采樣，以排除相似的股票，把研究的重點(diǎn)放在風(fēng)險(xiǎn)水平差異較大的那些股票中。
4. 情緒分析的頻率可以因分析目的而異。本文僅僅以周頻來(lái)做實(shí)證并做匯報(bào)而已。我也使用日線和分鐘線進(jìn)行了情緒分析。綜合不同時(shí)間尺度上的市場(chǎng)情緒結(jié)果也許能提供新的視角。
5. 能否準(zhǔn)確計(jì)算 β 系數(shù)十分重要。計(jì)算中，本文采用了日收益率數(shù)據(jù)，這是因?yàn)橛?jì)算相關(guān)系數(shù)的準(zhǔn)確性隨著采樣頻率的增加而增加（Merton 1980）。同時(shí)，分別計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和市場(chǎng)指數(shù)的相關(guān)系數(shù)和它們的波動(dòng)率也是為了更準(zhǔn)確的計(jì)算 β。
參考文獻(xiàn)
Merton (1980). On estimating the expected return on the market: An exploratory investigation. Journal of Financial Economics 8(4), 323 – 361.
Frazzini and Pedersen (2014). Betting against beta. Journal of Financial Economics 111(1), 1 – 25.
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