精選技術(shù)指標系列（3）：FRAMA
發(fā)布時間：2016-11-02 | 來源: 川總寫量化
作者：石川
摘要：FRAMA 利用分形原理計算時間序列的統(tǒng)計相似性，從而確定平滑參數(shù)，是一個優(yōu)秀的移動平均算法。
1 引言
本期精選技術(shù)指標系列的主角是分形自適應(yīng)移動平均 FRactal Adaptive Moving Average，簡稱?FRAMA。它是一種高級移動均線算法。與上期的?HMA?一樣，我們重點講一講?FRAMA?作為移動平均線的特點和優(yōu)勢；僅以兩個非常簡單的擇時策略例子說明它在擇時方面的作用，但并不對擇時策略做過多的參數(shù)優(yōu)化或分析。
2 含義和計算公式
顧名思義，分形自適應(yīng)移動平均利用了投資品價格序列的分形特征（對于不熟悉分形的讀者，請參考《分形市場假說》）。簡單地說，FRAMA 是一個動態(tài)的指數(shù)移動平均。它的算法通過一個簡單但有效的公式計算從當前時刻往前的長度為?2T?的時間窗口內(nèi)時間序列的分形維數(shù)?D，并利用分形維數(shù)進一步求解指數(shù)移動平均的衰減參數(shù)?alpha。這使得 FRAMA 均線在保證移動平均線平滑的同時，大大降低了移動平均線的滯后性。（對于移動平均的詳細介紹見《移動平均：你知道的與你不知道的》。）
分形維數(shù)描述時間序列的趨勢，其取值在 1 到 2 之間，越大說明趨勢越明顯，越小說明時間序列越隨機。通過連續(xù)的計算時間序列局部的分形維數(shù)，該算法根據(jù)時間序列自身的統(tǒng)計相似性特征，動態(tài)、自適應(yīng)地計算平滑所用的參數(shù)。由于 alpha 是 D 的減函數(shù)，因此 D 越大（趨勢越明顯），alpha 越小，即指數(shù)平滑時對過去的數(shù)值衰減的越慢；D 越?。S機性越強），alpha 越大，即指數(shù)平滑時對過去的數(shù)值衰減的越快、對最新數(shù)據(jù)的變化越敏感。
具體的，對于當前時點?t?和給定的窗口?2T，該方法用到了三個時間窗口，即?t?到?t-T+1（記為窗口?W1，長度為?T），t-T?到?t-2T+1（記為窗口?W2，長度為?T），以及?t?到?t-2T+1（記為窗口?W，長度為?2T）。不難看出，W = W1 + W2。FRAMA 的計算過程如下：
1.?用窗口 W1 內(nèi)的最高價和最低價計算 N1 = (最高價 – 最低價) / T；
2.?用窗口 W2 內(nèi)的最高價和最低價計算 N2 = (最高價 – 最低價) / T；
3.?用窗口 T 內(nèi)的最高價和最低價計算 N3 = (最高價 – 最低價) / (2T)；
4.?計算分形維數(shù) D = [log(N1+N2) – log(N3)] / log(2)；
5.?計算指數(shù)移動平均的參數(shù) alpha = exp(-4.6*(D-1))，并使其滿足在 0.01 和 1 之間*；
*?隨著 alpha 向 1 逼近，指數(shù)平滑的衰減加劇，造成移動平均的平滑度大幅下降。因此如果將 alpha 的上限定為 1 可能帶來不必要的高頻擾動。在實際使用時，可以根據(jù)希望達到的最低平滑度來調(diào)整 alpha 的上限。在本文后續(xù)例子和實驗中，如無特殊聲明，我們將 alpha 的上限設(shè)為 0.2。
6.?將?alpha?帶入指數(shù)移動平均的公式求解 t 時刻的 FRAMA 移動平均值。
以上證指數(shù)周頻交易數(shù)據(jù)為例，下圖比較了計算窗口為 52 周時分形自適應(yīng)移動平均和簡單移動平均線（Simple Moving Average，或 SMA）的平滑效果。由于利用了時間序列自身的分形特征，F(xiàn)RAMA 均線對滯后性的提高非常明顯，這意味著在價格趨勢發(fā)生變化的時候它捕捉的更加及時。相比較而言，SMA?的滯后性相當顯著。
如果想讓 SMA 達到相同的滯后效果，就必須使用更短的窗口來計算（但更短的窗口會保留一定的高頻誤差）。下圖為 52 周窗口計算的 FRAMA 和?8 周窗口計算的 SMA 的比較。在使用了更短的窗口之后，SMA 的滯后性大大減弱，效果和 FRAMA 相似，但同時 SMA 變的不夠平滑、展現(xiàn)出了比 FRAMA 更大的波動?？梢姡?strong style="box-sizing: border-box;">SMA 減小滯后性是以犧牲移動均線的平滑性為前提的。
3 基于 FRAMA 的簡單擇時
由于移動均線捕捉低頻趨勢，因此我們可以基于此構(gòu)建一個簡單的擇時策略：
當移動均線向上時，滿倉
當移動均線向下時，空倉。
假設(shè)不考慮任何交易成本，我們比較52周時間窗口下用?FRAMA?和?SMA?兩個移動均線算法得到的策略在上證指數(shù)的擇時效果：
圖中，藍色為 FRAMA 擇時凈值，而綠色為 SMA 擇時凈值。（為了突出它們的差距，我們特意沒有將縱坐標對數(shù)化。）在過去 15 年里，F(xiàn)RAMA 簡單擇時策略可以取得 16.1% 的年化收益；它的最大回撤為 32.3%，平均回撤為 13.6%；另一方面，因為計算均值的時間窗口較長（52 期），SMA 產(chǎn)生了巨大的滯后性，導(dǎo)致基于它的擇時策略效果很差，其年化收益率僅為 7.4%，最大回撤達到 58.9%，平均回撤 32.1%。
我們減少計算 SMA 的時間窗口，以 8 周為窗口計算，從而降低它的滯后性，得到的凈值和 52 期窗口的 FRAMA 凈值比較如下：
在選擇了短的時間窗口后，SMA 的滯后性大大降低，因此其凈值大幅提高，達到了與 FRAMA 接近的收益率和回撤水平。在回測期內(nèi)，基于 8 周窗口的 SMA 擇時策略取得 15.9% 的年化收益率，最大回撤和平均回撤分別為 32.9% 和 12.7%。
本文的目的是為了說明 FRAMA 的原理和特點。我們不繼續(xù)深入探討基于 FRAMA 的擇時策略。
4 結(jié)語
移動平均線是技術(shù)分析中一種分析股票價格時間序列的常用工具。移動平均可撫平短期波動（高頻噪聲），反映出中長期趨勢，輔助投資者做出投資判斷。FRAMA 是一個優(yōu)秀的移動平均算法，它利用時間序列本身的分形特征，在保證均線平滑性的同時降低了移動平均的滯后性。這有助于投資者對趨勢的變化做出及時的判斷。
無論是什么技術(shù)指標，若想通過它持續(xù)地賺到錢，必須充分理解該指標的原理和它們反映的本質(zhì)、并堅持使用它。對于任何指標，必須判斷它是否適合我們面對的市場。通過嚴格的歷史回測和分析，可以計算出技術(shù)指標的有效性。此外，隨著市場自身內(nèi)在的變化，回測中有效的技術(shù)指標也許會在將來的某一天失效。因此我們應(yīng)用動態(tài)和發(fā)展的眼光看問題，不斷的檢驗指標是否持續(xù)有效。
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