作者：石川
摘要：自 Fama and French (1993) 以來，所有主流的多因子模型都是時序回歸模型。然而，27 年后的今天，一場變革正悄然發(fā)生。

0?引言

線性多因子模型假設資產(chǎn)的預期（超額）收益由資產(chǎn)對因子的暴露和因子的預期收益率決定，即它們滿足如下關(guān)系：

其中 E[R_i^e] 表示資產(chǎn) i 的預期（超額）收益，β_i 為資產(chǎn) i 的因子暴露向量，λ 表示因子預期收益向量，因子預期收益率也稱為因子風險溢價（risk premium）。在關(guān)于多因子模型的研究中，一旦因子被確定，估計它們的 risk premium 就是最核心的問題（之一）。在這方面，學術(shù)界過去近 30 年的范式當屬時間序列回歸因子模型（time-series regression factor models）。

1?時序回歸因子模型

20 世紀 90 年代，F(xiàn)ama and French (1993) 三因子模型（以下稱為 FF3）問世，取代 CAPM 成為資產(chǎn)定價的基準。對于股票市場而言，F(xiàn)F3 在市場因子的基礎上加入了 SMB 和 HML 代表的規(guī)模和價值因子：

由于是第一個多因子模型，F(xiàn)ama and French (1993) 對學術(shù)界之后在實證資產(chǎn)定價方面的研究影響十分深遠。在這之后的近 30 年里，縱然有很多經(jīng)典的多因子模型被提出 —— 包括 Carhart (1997) 四因子模型（它在 FF3 的基礎上加入了截面動量），2015 年前后充滿恨怨情仇的 Fama and French (2015) 五因子模型以及 Hou, Xue, and Zhang (2015) 的 q-factor model，以及 2018 年前后從行為金融學角度提出的 Stambaugh and Yuan (2017) 以及 Daniel, Hirshleifer, and Sun (2020) 模型，但它們無疑不是遵循了 FF3 的思路：

由于在檢驗資產(chǎn) pricing errors 的時候采用了時序回歸（同時得到因子暴露 β 的估計以及 pricing error，即截距項），學術(shù)界把按上述方法構(gòu)建的多因子模型稱為時間序列回歸因子模型。在上述第二步檢驗多因子模型的過程中，資產(chǎn)采用的是投資組合，而非個股。這么做的主要原因是，所有模型都是不完美的，只要使用足夠多的 test assets 來檢驗模型，那么它們的 pricing errors 一定會顯著不為零。這意味著使用個股作為資產(chǎn)的話，多因子模型一定會被拒絕（over-rejection）。

在 FF3 使用的方法中，更值得思考的其實是第一步，即使用 portfolio sort 得到的投資組合作為因子投資組合，以其收益率的時序均值來估計并檢驗因子 risk premium。以 FF3 的 HML 因子為例，它使用市值和 book-to-market ratio（BM）進行 double sort 來構(gòu)建因子投資組合：

上式中，HML 就是通過 double sort 得到的價值因子投資組合，計算其收益率并在時序上取平均，以此檢驗價值因子的 risk premium。雖然 portfolio sort 簡單直觀，但通過它來構(gòu)建因子模擬組合是粗糙的 —— 比如無法控制該組合在其他因子上的暴露。因此按照上述方法估計和檢驗因子的 risk premium 也存在改進空間。在這方面，學術(shù)界更加認可的方法是 Fama and MacBeth (1973) 提出的 two-pass regression。

2?截面回歸因子模型

Fama and MacBeth (1973) regression（下稱 FM regression）是檢驗因子 risk premium 的常見方法。它是一個“兩步法”：第一步通過時序回歸確定資產(chǎn)的因子暴露，而第二步進行在每個時刻 t 進行截面回歸確定 t 時刻的因子收益率。（需要背景知識的小伙伴請參考《多因子模型的回歸檢驗》。）相對于 portfolio sort，截面多元回歸的好處是，可以控制其他變量的影響，更準確的估計因子的 risk premium。

在使用 FM regression 時，一個重要的前提的確定資產(chǎn)的因子暴露。由于真實因子暴露是未知的，因此第二步截面回歸存在 errors-in-variables（EIV）問題。為了盡可能排除這個問題的影響，F(xiàn)ama and MacBeth (1973) 使用投資組合而非個股作為 test assets，通過時序回歸得到它們的因子暴露，再進行截面回歸。然而，Jegadeesh et al. (2019) 指出使用投資組合而非個股作為 test assets 是一種降維處理，投資組合會丟掉很多個股截面上的特征。如果待檢驗的因子和這些 test assets 的分組屬性正交，用它們作為被解釋變量進行 FM regression 則無法發(fā)現(xiàn)這些因子的 risk premium；該文提議使用個股作為資產(chǎn)來估計和檢驗因子 risk premium 并給出了解決 EIV 問題的辦法。《Which Beta?》一文曾對此進行過詳細介紹。

從計量經(jīng)濟學的角度來說，使用個股作為資產(chǎn)進行截面回歸、檢驗因子 risk premium 的時候，一個難題是 N > T（即資產(chǎn)的個數(shù) N 通常超過時序期數(shù) T）對于檢驗造成的挑戰(zhàn)：

When N is large and T is small, the asymptotic distribution of any traditional risk premium estimator provides a poor approximation to its finite-sample distribution, thus rendering the statistical inference problematic.

一篇最新發(fā)表于 Review of Financial Studies 上的文章 Raponi, Robotti, and Zaffaroni (2020) 提出了 N > T 情況下的 risk premium estimator，很好的應對了上述問題。（順便一提，這篇文章的文獻綜述部分對于學術(shù)界提出的不同 risk premium estimators 進行了很好的梳理。）除了將他們的 estimator 用于 two-pass regression、檢驗因子 risk premium 外，該文同樣探索了使用 firm characteristics vs 使用時序回歸 β 作為因子暴露的差異。該文的結(jié)論是，比起時序回歸 β，公司特征能夠更好的解釋股票預期收益率的截面差異，這一結(jié)論和 Chordia, Goyal, and Shanken (2015) 相同。

We show that our large cross-sectional framework poses a serious challenge to common empirical findings regarding the validity of beta-pricing models. In the context of pricing models with Fama-French factors,?firm characteristics are found to explain a much larger proportion of variation in estimated expected returns than betas.

梳理一下本節(jié)寫到現(xiàn)在的邏輯。學術(shù)界傾向使用 FM regression 代替 portfolio sort 檢驗因子 risk premium；而在 FM regression 中應使用個股而非個股的投資組合作為 test assets（需要解決 EIV 以及 N > T 等問題）；當以個股為資產(chǎn)時，發(fā)現(xiàn)公司特征而非時序回歸 β 作為因子暴露時，因子才被定價（顯著的 risk premium）且公司特征（而非時序回歸 β）能夠解釋個股預期收益率的截面差異。沿著這個邏輯，一類新的多因子模型應運而生，它就是以公司特征為因子暴露、通過截面回歸計算因子 risk premium 的截面回歸多因子模型（cross-section regression factor models）。那么，截面多因子模型是否比時序多因子模型更好呢？

Fama and French (2020) 回答了這個問題（見前文《Which Beta (II)?》）。其核心結(jié)論是，比起傳統(tǒng)的時序回歸多因子模型，在采用截面回歸多因子模型時，資產(chǎn)的 pricing errors 更接近零，說明后者比前者更優(yōu)。此外，當采用截面回歸多因子模型式，因子暴露應采用時變的公司特征，而非恒定的公司特征。此外，F(xiàn)ama and French (2020) 還研究了一個“四不像”模型，即使用截面回歸計算因子 risk premium，得到因子收益率后再通過股票和因子收益率時序回歸計算股票的因子暴露，以此取代公司特征。這個“四不像”模型的表現(xiàn)和時序回歸模型類似，均不如截面回歸模型。這說明截面回歸模型優(yōu)于時序模型的原因可能源于兩點：（1）截面回歸的因子收益率優(yōu)于時序回歸模型中通過 portfolio sort 計算的因子收益率；（2）使用時變公司特征作為因子暴露比時序回歸 β 更優(yōu)。

關(guān)于上述第二點，我們可以從以下兩點進行思考：（1）在使用個股進行時序回歸計算因子暴露時，往往采用日頻收益率數(shù)據(jù)。由于其噪聲較大，因此因子暴露的估計會有較大誤差，使得因子暴露在時序上不穩(wěn)定。一旦發(fā)生這種情況，就會導致該因子的表現(xiàn)看上去就和隨機因子一樣，因此難以獲得顯著的 risk premium。（2）真實的因子暴露未知，公司特征相比于時序回歸 β 是其更好的代理變量。

3?新范式 ？

自從 Fama and French (1993) 三因子模型問世以來，學術(shù)界便采用了時序回歸多因子模型這一傳統(tǒng)。而 27 年后的今天，Eugene Fama 和 Kenneth French 又通過 Fama and French (2020) 一文打破了這個傳統(tǒng)，引領了今后實證資產(chǎn)定價的研究方向。在 Review of Financial Studies 2020 年五月的特刊（Special issues: new methods in the cross-section）中，比較時序和截面兩種多因子模型就是其包含的三個前沿方向之一。雖然 Fama and French (2020) 的結(jié)果更多的建立在純粹的實證分析之上，但該文還是清晰地回答了學術(shù)界和業(yè)界都非常關(guān)心的問題：如何估計和檢驗因子 risk premium；如何選擇因子暴露。從本文第二節(jié)提及的眾多最新研究來看，使用 firm characteristics 作為因子暴露、使用截面回歸來估計和檢驗因子 risk premium 在未來一定大有可為。

提起最近十年來最重要的線性多因子模型，可能人們會首推 Fama and French (2015) 五因子模型。而 Hou, Xue, and Zhang (2015) 的 q-factor model 大概是唯一能夠與之爭鋒的。（關(guān)于這兩個模型的歷史，見《q-factor model 一段往事》、《從 Factor Zoo 到 Factor War，實證資產(chǎn)定價走向何方?》。）2019 年，Hou et al. (2019) 在 Review of Finance 上以 Which factors? 為題對所有主流的時序多因子模型進行了比較。除本文第一節(jié)提到的模型外，參加對比的還包括他們自己在 q-factor model 基礎上提出的 q5 模型（Hou et al. 2020）。一番比較下來，以異象投資組合的 pricing errors 來評價，q 和 q5 模型完勝，說明它們能夠解釋更多的異象（特別的是，F(xiàn)F5 在 q 和 q5 模型面前不堪一擊）。Hou et al. (2019) 一文也獲得了 2019 年 Spangle IQAM Best Paper Prize。這個成就也讓 q 和 q5 模型著實揚眉吐氣了一番，它似乎宣告了 q/q5 對于 FF5 的壓倒性勝利。然而，正當我們認為風向已經(jīng)發(fā)生了變化，并準備開始接納 q/q5 代替 FF5 作為未來實證資產(chǎn)定價研究中的 benchmark 的時候，F(xiàn)ama and French (2020) 橫空出世，直接“斃”了所有的時序多因子模型，指出以 firm characteristic 為因子暴露代理變量的截面多因子模型才是未來。

你品，你細品。

參考文獻

Carhart, M. M. (1997). On persistence in mutual fund performance. Journal of Finance 52(1), 57 – 82.

Chordia, T., A. Goyal, and J. A. Shanken (2015). Cross-sectional asset pricing with individual stocks: Betas versus characteristics. Working paper.

Daniel, K. D., D. A. Hirshleifer, and L. Sun (2020). Short- and long-horizon behavioral factors. Review of Financial Studies 33(4), 1673 – 1736.

Fama, E. F. and K. R. French (1993). Common risk factors in the returns on stocks and bonds. Journal of Financial Economics 33(1), 3 – 56.

Fama, E. F. and K. R. French (2015). A five-factor asset pricing model. Journal of Financial Economics 116(1), 1 – 22.

Fama, E. F. and K. R. French (2020). Comparing cross-section and time-series factor models. Review of Financial Studies 33(5), 1891 – 1926.

Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests. Journal of Political Economy 81(3), 607 – 636.

Hou, K., H. Mo, C. Xue, and L. Zhang (2019). Which factors? Review of Finance 21(1), 1 – 35.

Hou, K., H. Mo, C. Xue, and L. Zhang (2020). An augmented q-factor model with expected growth. Review of Finance forthcoming.

Hou, K., C. Xue, and L. Zhang (2015). Digesting anomalies: An investment approach. Review of Financial Studies 28(3), 650 – 705.

Jegadeesh, N., J. Noh, K. Pukthuanthong, R. Roll, and J. Wang (2019). Empirical tests of asset pricing models with individual assets: Resolving the errors-in-variables bias in risk premium estimation.?Journal of Financial Economics 133(2), 273 – 298.

Raponi, V., C. Robotti, and P. Zaffaroni (2020). Testing beta-pricing models using large cross-sections. Review of Financial Studies 33(6), 2796 – 2842.

Stambaugh, R. F. and Y. Yuan (2017). Mispricing factors. Review of Financial Studies 30(4), 1270 – 1315.

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