作者：石川

摘要：人人都熟知夏普比率，但只有當(dāng)它被使用得當(dāng)時(shí)，才能提高投資管理水平。

1 夏普比率

在投資領(lǐng)域，夏普比率（Sharpe Ratio）是人們耳熟能詳?shù)囊粋€(gè)概念。它因?yàn)橥瑫r(shí)考慮了回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)而成為衡量一個(gè)策略，或者基金業(yè)績(jī)的核心指標(biāo)之一。最初在 William Sharpe 提出這個(gè)概念的時(shí)候（Sharpe 1966），它的名字叫 Reward-to-Variability Ratio (R/V)，這個(gè)名字很好的反映了它的實(shí)質(zhì)；不過(guò)后來(lái)，這個(gè)名字被人們談及的越來(lái)越少，人們更愿意使用“夏普比率”這個(gè)叫法。

在 William Sharpe 自己解讀夏普比率的一篇文章（Sharpe 1994）中，它指出夏普比率分為事前夏普比率（the Ex Ante Sharpe Ratio）以及事后夏普比率（the Ex Post Sharpe Ratio）。前者使用對(duì)未來(lái)單期收益率均值和標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)測(cè)進(jìn)行計(jì)算，而后者使用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算。通常，當(dāng)我們談及夏普比率的時(shí)候，默認(rèn)的都是后者。

按照 Sharpe (1994) 的定義，假設(shè) R_t 為 t 期的收益率，R_f 為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，則使用 t = 1 到 T 這段長(zhǎng)度的歷史數(shù)據(jù)計(jì)算的（事后）夏普比率為：

用白話說(shuō)，如果標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為風(fēng)險(xiǎn)的代理指標(biāo)后，那么夏普比率度量的就是風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的超額收益。在上面的公式中，無(wú)論是夏普比率、收益率均值還是標(biāo)準(zhǔn)差，它們的符號(hào)上面都有一個(gè)上標(biāo)，說(shuō)明它們是從樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)出來(lái)的數(shù)據(jù)。它是否能準(zhǔn)確的衡量過(guò)去一段時(shí)間一個(gè)策略或一支基金的真實(shí)夏普比率呢？本文的第三節(jié)會(huì)回答這個(gè)問(wèn)題。

今天我們就來(lái)聊聊夏普比率。文章每節(jié)都會(huì)圍繞著夏普比率這個(gè)概念，但每節(jié)獨(dú)立自成一個(gè)方面。因此我稱它為“夏普比率隨想”。希望讀完能帶給你一點(diǎn)點(diǎn)啟發(fā)，重新審視這個(gè)“我們自認(rèn)為理解的不能不能的了”的夏普比率。

2 直觀上認(rèn)識(shí)

談到夏普比率，首先要說(shuō)明計(jì)算它的頻率。人們通常所說(shuō)的夏普比率是年化夏普比率。那么，對(duì)于一個(gè)量化投資策略，年化夏普比率多大才比較好的？一般來(lái)說(shuō)，如果一個(gè)策略在回測(cè)中的年化夏普比率（扣除各種交易成本后）小于 1，它就沒有什么繼續(xù)被研究的價(jià)值了（確實(shí)殘酷）。很多量化對(duì)沖基金往往要求回測(cè)中的年化夏普比率超過(guò) 2；更有甚者（某家全球上著名的量化對(duì)沖基金）僅僅考慮年化夏普比率大于 3 的策略。

年化夏普比率為 1、2 甚至是 3 是什么概念呢？下圖是假象的三條凈值曲線。它們都是假設(shè)投資長(zhǎng)度為十年，并使用正態(tài)分布隨機(jī)生成的月頻收益率（均值為 2%），然后按照給定的年化夏普比率反推出收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。

當(dāng)年化夏普比率為 3 時(shí)，凈值曲線（在縱軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)時(shí)）基本上是一條直線了；當(dāng)年化夏普比率為 2 時(shí)，它的凈值曲線也僅在局部有一些小的波動(dòng)；當(dāng)年化夏普比率為 1 時(shí)，它的凈值曲線在全局范圍內(nèi)呈現(xiàn)出更大的波動(dòng)；即便如此它也是個(gè)靠譜的賺錢策略（想想 A 股各大指數(shù)長(zhǎng)期以來(lái)可憐的夏普比率）。

上面的例子告訴我們，當(dāng)（年化）夏普比率為 3 的時(shí)候，凈值曲線基本上就是一直漲，可想而知其難度。但是我們往往在市場(chǎng)上能看到一些策略，它們計(jì)算出來(lái)的（年化）夏普比率往往比 3 還高，有些還高的離譜。這個(gè)現(xiàn)象背后的一種解釋是，頻率越高的策略，夏普比率可能越高；特別是對(duì)于那些高頻策略，幾乎每天賺錢的那種，兩位數(shù)的夏普比率都絕非罕見。

我絕不否認(rèn)市場(chǎng)中有這種“神一般的存在”，但是超高夏普比率的背后恐怕還有一個(gè)更合理的解釋 —— 年化的時(shí)候計(jì)算錯(cuò)了，過(guò)度的高估了年化夏普比率。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，下面就來(lái)看看夏普比率的統(tǒng)計(jì)特性。

3 統(tǒng)計(jì)特性

在本文第 1 節(jié)介紹（事后）夏普比率的公式中，夏普比率（包括計(jì)算它的收益率均值和標(biāo)準(zhǔn)差）是從樣本數(shù)據(jù)中估計(jì)出來(lái)的數(shù)據(jù)；它僅僅是某個(gè)策略或者基金業(yè)績(jī)?cè)谶^(guò)去一段時(shí)間內(nèi)真實(shí)（但未知）的夏普比率的一個(gè)估計(jì)。它最致命的問(wèn)題是沒有考慮單期收益率之間的相關(guān)性（下面英文是 Sharpe 1994 中談及夏普比率計(jì)算公式中沒有考慮相關(guān)性的部分），這將造成樣本夏普比率和真實(shí)夏普比率之間的誤差。更重要的是，在使用高頻夏普比率來(lái)推導(dǎo)年化夏普比率的時(shí)候，不考慮單期收益率的相關(guān)性將造成年化夏普比率估計(jì)的巨大誤差。

為了定量分析樣本夏普比率和真實(shí)夏普比率之間的誤差，以及從高頻（比如日頻、周頻、月頻）夏普比率推算低頻（比如年化）夏普比率時(shí)的誤差，Lo (2002) 研究了夏普比率的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。對(duì)于最簡(jiǎn)單的情況 —— 假設(shè)單期收益率滿足 IID 分布，則樣本夏普比率對(duì)真實(shí)夏普比率估計(jì)的漸近分布滿足：

其中 μ、σ 和 SR 分別表示單期收益率的真實(shí)均值、標(biāo)準(zhǔn)差和以它們計(jì)算出的真實(shí)夏普比率。由此可知，樣本夏普比率的 Standard Error 滿足：

在實(shí)際使用時(shí)，可以在上式中將真實(shí)夏普比率替換為樣本夏普比率。下圖給出了不同夏普比率和樣本個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的夏普比率估計(jì)誤差（Lo 2002）。夏普比率越高，它的 standard error 越大；而當(dāng)樣本個(gè)數(shù)小的時(shí)候，這個(gè)問(wèn)題更加嚴(yán)重。所以，如果有人只給你看了很短的業(yè)績(jī)，并告訴你一個(gè)很高的夏普比率，那就要小心了。

如果單期收益率不滿足 IID 分布，則估算樣本夏普比率的誤差更復(fù)雜一些，但仍可以使用 GMM 方法求解，具體參見 Lo (2002)。再來(lái)看看用高頻夏普比率推算低頻夏普比率的情況。假如我們有使用月頻收益率計(jì)算出的夏普比率，當(dāng)把它換算成年化夏普比率的時(shí)候，常見的做法是乘以根號(hào) 12。然而，這種做法正確的前提是，單期（這里是月頻）收益率滿足 IID。一旦這個(gè)假設(shè)不成立，上述計(jì)算方法就有不小的問(wèn)題。

首先仍然考慮最簡(jiǎn)單的 IID 情況。令 SR(q) 表示 q 期真實(shí)夏普比率，Lo (2002) 給出如下結(jié)果：

下面來(lái)考慮非 IID 的情況，即單期收益率之間存在自相關(guān)性（可能是正的，也可能是負(fù)的）。假設(shè)收益率滿足平穩(wěn)性、令 ρ_k 表示間隔 k 期的自相關(guān)系數(shù)，則有：

可見，當(dāng)單期收益率之間不滿足 IID 時(shí)，計(jì)算 q 期夏普比率就不能簡(jiǎn)單的乘以根號(hào) q 了，而是要計(jì)算一個(gè)系數(shù) η(q)，它和收益率的各階自相關(guān)系數(shù)有關(guān)。對(duì)于最簡(jiǎn)單的 AR(1) 情況，η(q) 和期數(shù) q 以及自相關(guān)系數(shù) ρ 的關(guān)系可以從下面這個(gè)表中感受一二。

表中 ρ = 0 對(duì)應(yīng)的是根號(hào) q。當(dāng) ρ > 0 時(shí)（收益率正相關(guān)），η(q) 小于根號(hào) q；說(shuō)明當(dāng)收益率正相關(guān)時(shí)，按照傳統(tǒng)方法計(jì)算的 q 期夏普比率高估了其真實(shí)值。當(dāng) ρ < 0 時(shí)（收益率負(fù)相關(guān)），η(q) 大于根號(hào) q；說(shuō)明當(dāng)收益率負(fù)相關(guān)時(shí)，按照傳統(tǒng)方法計(jì)算的 q 期夏普比率低估了其真實(shí)值。

這樣的結(jié)果不難理解。當(dāng)計(jì)算 q 期夏普比率的時(shí)候，對(duì)于 IID 的情況，收益率按 q 增長(zhǎng)，而標(biāo)準(zhǔn)差隨根號(hào) q 增長(zhǎng)，因此最終夏普比率按照 q/sqrt(q) = 根號(hào) q 增長(zhǎng)。但是當(dāng)收益率之間有正（負(fù)）相關(guān)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的增長(zhǎng)要快（慢）于 IID 的情況，導(dǎo)致 η(q) 大（小）于根號(hào) q。

總結(jié)一下，本節(jié)的介紹說(shuō)明以下兩點(diǎn)：

最后，對(duì)于那些想要進(jìn)一步研究 Lo (2002) 成果的小伙伴，需要指出的是他在研究 q 期夏普比率的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，使用的是單期的百分比收益率而非對(duì)數(shù)收益率，因此結(jié)果是一種近似。Lin and Chou (2003) 指出當(dāng)投資期限很長(zhǎng)時(shí)，不考慮復(fù)利的影響也會(huì)在計(jì)算夏普比率時(shí)產(chǎn)生誤差。

4 夏普比率檢驗(yàn)策略是否有效

最后來(lái)聊聊隨想的最后一個(gè)部分。有效市場(chǎng)假說(shuō)拉開了學(xué)術(shù)界和業(yè)界關(guān)于市場(chǎng)有效性長(zhǎng)達(dá)數(shù)十年的探討。如果將“有效性”這個(gè)概念放在一個(gè)策略上又如何呢？

我經(jīng)常在券商報(bào)告上看到這樣的論調(diào)：首先通過(guò)一個(gè)目標(biāo)算法找到了一個(gè)策略 A，回測(cè)中得到了不錯(cuò)的效果；然后又在 A 的基礎(chǔ)上加上了某種 ensemble 算法得到了策略 B，并指出這個(gè)策略 B 取得了比 A 更加優(yōu)異的風(fēng)險(xiǎn)收益比（即夏普比率）。

這個(gè)結(jié)果說(shuō)明策略 B 比策略 A 更加有效。換句話說(shuō)，如果一個(gè)策略可以通過(guò)進(jìn)一步的擇時(shí)或者其他直接作用于該策略收益率序列的任何算法，使得它的夏普比率進(jìn)一步提高，那么這個(gè)策略就不是有效的?；诖颂岢鲆韵虏孪耄?/span>一個(gè)有效的策略應(yīng)該是時(shí)序收益率均值為正，且每期收益率之間滿足 IID 分布，它的夏普比率無(wú)法通過(guò)其他任何 ensemble 函數(shù)提高。

夏普比率衡量了一個(gè)策略的隨機(jī)性，因此只要是存在隨機(jī)性的交易系統(tǒng)，它的夏普比率就一定有上界。如果一個(gè)策略的各期收益率之間有相關(guān)性，那么由引理可以找到一個(gè) ensemble 函數(shù)，使改進(jìn)后的策略有更高的夏普比率，直到各期收益率之間滿足 IID。如果這個(gè)關(guān)于有效策略的猜想是對(duì)的，那么當(dāng)我們想改進(jìn)一個(gè)策略時(shí)，可以考慮從分析它收益率的序列相關(guān)性入手。

這和 efficient frontier （下圖）有些異曲同工。當(dāng)考慮了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益后，有效邊界正是下圖中的黃色射線，它又稱為資本配置線（capital allocation line）。它說(shuō)明任何有效的資產(chǎn)組合都應(yīng)該是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益和 tangent portfolio 的線性組合，它追求給定風(fēng)險(xiǎn)下的最大期望收益。

這條黃線說(shuō)明投資組合超額收益（收益減去無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率）的增長(zhǎng)隨標(biāo)準(zhǔn)差是線性的，即黃線上的所有點(diǎn)都有相同的斜率；而根據(jù)定義，這個(gè)斜率正是夏普比率。因此，有效投資組合正是為了最大化組合的夏普比率。

5 結(jié)語(yǔ)

如果問(wèn) Sharpe 本人關(guān)于夏普比率，最重要的一點(diǎn)是什么，我猜他會(huì)說(shuō)：夏普比率描述的是一個(gè)零額投資策略單位風(fēng)險(xiǎn)對(duì)應(yīng)的期望收益，兩個(gè)投資品的期望收益之差（按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借來(lái)錢，投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)）構(gòu)成了這樣一個(gè)策略，這就是為什么在計(jì)算夏普比率的時(shí)候必須要減去無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。事實(shí)上，Sharpe 確實(shí)反復(fù)強(qiáng)調(diào)過(guò)這一點(diǎn)（Sharpe 1994）:

The Sharpe Ratio is designed to measure the expected return per unit of risk for?a zero investment strategy. The difference between the returns on two investment assets represents the results of such a strategy.?The Sharpe Ratio does not cover cases in which only one investment return is involved.

舉個(gè)例子，假如有兩個(gè)投資品 X 和 Y，前者期望收益 5%，標(biāo)準(zhǔn)差 10%；后者期望收益 8%，標(biāo)準(zhǔn)差 20%。另外假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為 3%。如果我們錯(cuò)誤的計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)收益比 —— 即使用投資品的收益（而非減去無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的超額部分）直接除以標(biāo)準(zhǔn)差，那么得出的結(jié)論是 X （比值是 5%/10% = 0.5）強(qiáng)于 Y（比值是 8%/20% = 0.4）。但是根據(jù)夏普比率，X （夏普比率 0.2）應(yīng)該弱于 Y（夏普比率 0.25）。

如果有個(gè)投資者想在 X 和 Y 之間選擇，目標(biāo)是在 10% 的風(fēng)險(xiǎn)下獲得更高的收益。如果按照錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)收益比，他會(huì)選擇 X，并獲得 5% 的期望收益。而如果按照夏普比率度量，他會(huì)選擇 Y（因?yàn)?Y 的夏普比率高于 X），并把一半的資金投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)、另一半投資于 Y，這會(huì)讓他在 10% 的風(fēng)險(xiǎn)下獲得 5.5% 的期望收益，優(yōu)于前一種選擇。這說(shuō)明夏普比率才是正確的度量。

在 Sharpe 談及夏普比率的著名文章 The Sharpe Ratio（Sharpe 1994）中，在這個(gè)大標(biāo)題的下面還有一行小字：

Properly used, it can improve investment management.

無(wú)疑，這里面核心的前提條件是使用得當(dāng)。面對(duì)這個(gè)在市場(chǎng)中天天被我們說(shuō)、為我們用的風(fēng)險(xiǎn)收益度量指標(biāo)，也許是時(shí)候重新審視一番、并問(wèn)問(wèn)我們自己到底用對(duì)了沒有。

參考文獻(xiàn)

Lin, M.-C. and P.-H. Chou (2003). The pitfall of using Sharpe ratio. Finance Letters 1, 84 – 89.

Lo, A. W. (2002). The statistics of Sharpe ratios. Financial Analysts Journal 58(4), 36 – 52.

Sharpe, W. F. (1966). Mutual fund performance. Journal of Business 39(1), 119 – 138.

Sharpe, W. F. (1994). The Sharpe ratio. Journal of Portfolio Management 21(1), 49 – 58.

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