有必要說明的是，本文并沒有考慮 Barillas and Shanken (2018) 通過統(tǒng)計學手段的檢驗而“攢”出來的六因子模型，也并沒有將 Hou et al. (2020) 在 Hou, Xue, and Zhang (2015) 基礎上提出的 q5 模型納入。雖說新模型的提出是為了取代老模型，但目前學術界就各個模型的孰優(yōu)孰劣尚未達成一致。正如 Fama-French 三、五因子模型如今依然是實證資產定價研究中被使用最廣泛的定價模型，而像 Hou-Xue-Zhang 四因子模型和 Daniel-Hirshleifer-Sun 三因子模型這些完全從不同角度推出的模型也極大地豐富了人們對資產定價及因子投資的理解。下文就將對上述 7 個模型逐一說明。

1?Fama-French 三因子模型

Fama and French (1993) 三因子模型是基于 Fama and French (1992) 水到渠成的結果。自上世紀 70 年代以來，CAPM 開始遭到各種質疑，而 Fama and French (1992) 將各種 CAPM 無法解釋的異象進行了整合，徹底顛覆了人們對 CAPM 的看法。當然，CAPM 數學上足夠簡單優(yōu)雅，且在業(yè)務上非常容易解釋，因此它還是資產定價的一個很好的出發(fā)點，只是人們再也無法忽視不能夠被 CAPM 解釋的其他系統(tǒng)性風險因子。

為了摒棄一個舊模型，唯有提出一個新模型。Fama and French (1993) 在 CAPM 的基礎上加入了價值（High-Minus-Low，即 HML）和規(guī)模（Small-Minus-Big，即 SMB）兩因子，提出了 Fama-French 三因子模型，它也是多因子模型的開山鼻祖：

式中 E[R_i] 表示股票 i 的預期收益率，R_f 為無風險收益率，E[R_M] 為市場組合預期收益率，E[R_SMB] 和 E[R_HML] 分別為規(guī)模因子（SMB）以及價值因子（HML）的預期收益率，β_MKT、β_SMB 和 β_HML 為個股 i 在相應因子上的暴露。為構建價值和規(guī)模因子，Fama and French (1993) 使用 book-to-market ratio（BM）和市值進行了下圖所示的 2 × 3 獨立雙重排序。在排序時，他們以紐約證券交易所（NYSE）中上市公司的市值中位數為界，把 NYSE、納斯達克（NASDAQ）以及美國證券交易所（AMEX）的上市公司分成小市值（Small）和大市值（Big）兩組。類似的，以 NYSE 中上市公司 BM 的 30% 和 70% 分位數為界，把這三大交易所的上市公司分成三組：BM 高于 70% 分位數的為 High 組、BM 低于 30% 分位數的為 Low 組、位于中間的為 Middle 組。

通過以上劃分后得到 6 個組，分別記為 S/H、S/M、S/L、B/H、B/M 以及 B/L。將每組中的股票收益率按市值加權得到 6 個投資組合；利用它們，Fama and French (1993) 使用如下方法構造 HML 和 SMB 兩因子：

在每年六月末，使用上一財年最新的財務數據對股票重新排序并對這兩個因子進行再平衡。Fama-French 三因子模型被提出后逐步便取代了 CAPM 成為資產定價的第一范式。而上述雙重排序以及以此衍生出來的多重劃分來構建因子組合也成為學術界競相模仿的對象。

2?Carhart 四因子模型

Fama-French 三因子模型雖然有足夠的開創(chuàng)性，但是“適用性”卻有限，有很多其無法解釋的異象。在眾多異象中，最顯著的當屬截面動量異象。該異象最初由 Jegadeesh and Titman (1993) 提出，但卻被 Eugene Fama 自己的學生 Carhart 發(fā)揚光大。說句題外話：Eugene Fama 從來不否認動量的存在，正如他從來不承認動量作為一個正式的因子。無獨有偶，Fama 的另一個弟子 Cliff Asness 博士論文研究的也是動量。Asness 曾提到他和 Fama 說他希望研究動量，Fama 泰然的回應道 “如果它在那，就去寫吧”。

回到 Jegadeesh and Titman (1993)。假如當前為 t 月，該文使用 t - 12 到 t - 1 這 11 個月之間的總收益率將所有股票排序，并選擇總收益率高的構建了贏家組合（Winner）、總收益率低的構建了輸家組合（Loser），并發(fā)現做多贏家做空輸家獲得的多/空投資組合可以獲得超額收益。之所以特意規(guī)避到最近的一個月是為了規(guī)避市場短期存在反轉現象。受到 Jegadeesh and Titman (1993) 的啟發(fā)，Carhart (1997) 在 Fama-French 三因子模型中加入了截面動量因子（取動量英文單詞前三個字母、記為 MOM）并提出了 Carhart 四因子模型：

上式中 E[R_MOM] 為動量因子的收益率，β_MOM 為個股 i 在動量因子上的暴露。在實際使用中，Carhart (1997) 使用 NYSE、NASDAQ 以及 AMEX 的全部股票，每月末將它們按 t - 12 到 t - 1 這 11 個月的總收益率排序，并通過做多排名前 30% 同時做空排名后 30% 的股票構建動量因子。值得一提的是，Carhart 并未使用動量和市值進行雙重排序，且在計算動量因子收益率時，多空兩頭內的股票均采用等權配置。

3?Novy-Marx 四因子模型

2013 年，Novy-Marx 職業(yè)生涯 so far 的代表作 Novy-Marx (2013) 橫空出世。而伴隨該文提出的盈利因子，一個四因子模型也浮出了水面：

其中 E[R_PMU] 是盈利因子的預期收益率（PMU 是 Profitability-Minus-Unprofitability 的縮寫，代表盈利），β_PMU 為個股 i 在該因子上的暴露。除盈利因子外，該模型還包括市場、價值（HML）以及動量（UMD）因子。有意思的是，Novy-Marx 使用 UMD（Up-Minus-Down 的首字母縮寫）代表動量因子，因此上式中 E[R_UMD] 和 β_UMD 分別為動量因子的預期收益以及個股 i 在該因子上的暴露。在使用時，動量因子的投資組合每月進行再平衡，而價值和盈利因子每年六月末使用最新的財務數據重新構建投資組合。

如何衡量企業(yè)的盈利能力呢？Novy-Marx (2013) 出于各種原因，認為毛利潤（Gross Profitability，簡稱 GP）要比凈利潤更好。不過在兩年后，他就被另一個位大佬 Ray Ball 回擊了（Ball et al. 2015），具體見《建設性懟人》。拋開爭議，在構建盈利因子時，Novy-Marx (2013) 追隨了 Fama and French (1993) 的腳步，分別使用相應的指標與市值進行雙重排序法。由此可知，該模型中的動量因子和 Carhart 四因子模型中的動量因子不同，因為后者的動量因子是通過單變量排序構造。下面重點介紹一下盈利因子（PMU）的構建（下圖）。

以 NYSE 中上市公司的 GP 的 30% 和 70% 分位數為界，把 NYSE、NASDAQ 以及 AMEX 三大所上市公司依據 GP 高低分為盈利（Profitability，即 GP 在 70% 分位數之上）、中性（Neutral，即 GP 介于 30% 和 70% 分位數之間）以及不盈利（Unprofitability，即 GP 在 30% 分位數之下）三組。這三組和市值高低一起劃分共得到 6 個投資組合：S/P、S/N、S/U、B/P、B/N 以及 B/U。每個組合中的股票均按其市值確定權重。

與 Fama-French 三因子以及 Carhart 四因子模型不同的是，Novy-Marx (2013) 在構建因子時進行了行業(yè)中性處理，即在做多一支股票的同時按同等權重做空該股票所屬的行業(yè)指數，從而得到行業(yè)中性化后的投資組合。最后，由于盈利和預期收益率正相關，因此使用盈利組 S/P 和 B/P 和不盈利組 S/U 和 B/U 的收益率之差構建盈利因子：

5?Hou-Xue-Zhang 四因子模型

說完了 Fama-French 五因子，就不能不提把它當靶子打的 q-factor model（Hou, Xue, and Zhang 2015），也被稱為 Hou-Xue-Zhang 四因子模型。（背景知識依然見《q-factor 往事》以及《從 Factor Zoo 到 Factor War，實證資產定價走向何方》。）Hou, Xue, and Zhang (2015) 從實體投資經濟學理論出發(fā)提出了一個四因子模型。由于實體投資經濟學理論又被稱為 q-theory，因此該模型也被學術界稱為 q-factor model。該模型包含市場、規(guī)模、投資和盈利四因子：

式中 E[R_ME]、E[R_I/A] 和 E[R_ROE] 分別為規(guī)模、投資和盈利因子的預期收益，β_ME、β_I/A 和 β_ROE 為股票 i 在相應因子上的暴露。在使用中需要明確的是，規(guī)模和投資因子的排序變量每年六月末更新，而盈利因子的排序變量每月末更新；但所有因子的投資組合均是月度再平衡。

Hou-Xue-Zhang 四因子模型是受到 Cochrane (1991) 啟發(fā)，源于公司投資的經濟學原理。該論文的作者之一張櫓教授曾在清華金融評論上撰文介紹過這個模型的來龍去脈，對其的具體解釋請參考《從 Factor Zoo 到 Factor War，實證資產定價走向何方》，本文不再贅述。在實證研究中，Hou, Xue, and Zhang (2015) 使用 ROE 和總資產變化率作為代表盈利和投資的指標。在構建因子時，為了體現上述條件預期收益率的關系，他們使用市值、單季度 ROE 和總資產變化率進行 2 × 3 × 3 獨立三重排序，其中市值按紐交所中位數劃分、ROE 和總資產變化率按紐交所 30% 和 70% 分位數進行劃分。

獨立三重排序共得到 18 個投資組合，每個組合內的股票按照市值加權。令 c_1、c_2、c_3 依次代表每個投資組合在市值、ROE 和總資產變化率三個變量上的劃分，其中 c_1 取值為 S 或 B 代表小、大市值，c_2 和 c_3 取值為 H、M、L 代表高、中、低三檔；令數學符號 c_1/c_2/c_3 代表上述三個變量某個劃分交集得到的分組。例如 S/H/H 代表由小市值、高 ROE 和高總資產變化率股票構成的分組。依照上述數學符號，使用這 18 個投資組合，規(guī)模（記為 ME）、盈利（記為 ROE）、投資（記為 I/A）三因子的定義如下：

由上述公式可知，規(guī)模因子（ME）是等權做多 9 個小市值組合（S/c_2/c_3）、同時等權做空 9 個大市值組合（B/c_2/c_3）；盈利因子（ROE）是等權做多 6 個高 ROE 組合（c_1/H/c_3），同時等權做空 6 個低 ROE 組合（c_1/L/c_3）；投資因子（I/A）是等權做多 6 個低總資產變化率組合（c_1/c_2/L），同時等權做空 6 個高總資產變化率組合（c_1/c_2/H）。以上介紹的 4 個多因子模型都還是從傳統(tǒng)的經濟學和金融學理論出發(fā)的；而接下來的兩個則打破了這個慣例，均屬于從行為金融學角度對資產定價進行的探索。

6?Stambaugh-Yuan 四因子模型

Stambaugh and Yuan (2017) 在市場和規(guī)模因子的基礎上，引入管理因子和表現因子，構建了四因子模型：

式中 E[R_MGMT] 和 E[R_PERF] 分別為管理和表現因子的預期收益率；β_MGMT 和 β_PERF 為個股 i 在相應因子上的暴露。在使用中，規(guī)模、管理和表現三個因子投資組合的再平衡頻率均為月頻。在上述四因子模型中，管理因子和表現因子均源自關于錯誤定價的研究。錯誤定價意味著價格較內在價值的偏離，當價格高于內在價值時資產被高估，當價格低于內在價值時資產被低估。被高估的資產在未來由于價格的修正會出現較低的收益率，反之被低估的資產在未來則會獲得更高的收益率。為了從錯誤定價中尋找因子的靈感，首先要找到衡量股票價格是否被高估或低估的指標。

為此，Stambaugh and Yuan (2017) 延續(xù)了兩位作者以及他們的另外一位合作者余劍峰教授在早期關于錯誤定價的一系列研究，以 11 個 Fama-French 三因子模型無法解釋的異象為基礎，構建了錯誤定價指標。這么做背后的邏輯是，異象的超額收益反映了其投資組合內股票的收益中無法被 Fama-French 三因子模型解釋的超額收益，即個股的錯誤定價。因此，異象變量取值的高低就可以用來描述錯誤定價的方向（被高估或是低估）和大小。這 11 個異象包括：

將這 11 個異象根據它們之間的相關性分成兩組，使得每組內的異象之間相關性更高，而分屬兩組的異象相關性較低。第一組包含股票凈發(fā)行量、復合股權發(fā)行量、應計利潤、凈營業(yè)資產、總資產增長率以及投資與總資產之比 6 個異象。這 6 個異象變量均和上市公司的管理決策相關，使用它們構建的因子被稱為管理因子。第二組包含另外 5 個異象，即財務困境、O-分數、動量、毛利率以及總資產回報率。它們均和上市公司的表現有關，使用它們構建的因子被稱為表現因子。

在每月末，對于這兩組中的每一個異象，使用異象變量在截面上對股票排序。排序時，從每個異象指標和未來預期收益率的相關性方向（即正、負相關）出發(fā)，將被高估的股票排在前面、被低估的股票排在后面。如果異象變量和收益率呈負相關（比如應計利潤），則按變量取值從大到小排序，取值最高的排第一、第二高的排第二、以此類推、取值最小的排最后。反之，如果異象變量和收益率呈正相關（比如動量），則按變量取值從小到大排序，取值最低的排第一、第二低的排第二、以此類推、取值最高的排最后。使用全部異象變量對股票排序后，每支股票就有 11 個分數。把管理和表現兩組內的 6 個和 5 個異象排名取平均，就得到每支股票在兩組內各自的綜合排名。綜合排名越高，說明該股票價格越被高估，其未來預期收益越低；綜合排名越低，說明該股票價格越被低估，其未來預期收益越高。

有了股票在管理和表現這兩個變量上的排名，接下來使用市值和這兩個變量依次進行 2 × 3 雙重排序，構建管理、表現以及市值三個因子。有意思的是，Stambaugh and Yuan (2017) 的做法和學術界的傳統(tǒng)做法又有不少差異。在使用市值排序時，該模型和其他多因子模型一致，使用 NYSE 包含股票的市值中位數將所有股票分為大、小市值兩組。然而，對于管理和表現這兩個變量則是將三大交易所的股票混合在一起，使用所有股票在這兩個變量上各自的 20% 和 80% 分位數劃分成高、中、低三組。這種做法和其他多因子模型的處理有兩點不同：（1）劃分的斷點沒有使用 NYSE 股票的分位數，而是全部股票的分位數；（2）劃分閾值沒采取傳統(tǒng)的 30% 和 70% 分位數而是另辟蹊徑采用了 20% 和 80% 的分位數。Stambaugh and Yuan (2017) 對上述處理并無太多解釋。然而，Hou et al. (2019) 卻對此提出了質疑。該文復現了上述方法并同時按照傳統(tǒng)的 NYSE 30% 和 70% 分位數的方法構造了管理和表現因子。結果發(fā)現，這兩個錯誤定價因子對雙重排序的構造方式十分敏感。構建管理和表現兩因子的雙重排序如下圖所示。

以管理因子為例，雙重排序得到 6 個投資組合，每個投資組合中的股票均采用市值加權配置。對于管理變量，由于低組表示被低估的股票、高組表示被高估的股票，因此通過做多兩個低組、做空兩個高組就可以構建管理因子（MGMT）的投資組合：

按照同樣的邏輯，使用表現變量和市值的雙重排序得到的 6 個投資組合（同樣的，投資組合采用市值加權），構建表現因子（PERF）的投資組合如下：

最后來看 Stambaugh-Yuan 四因子模型中的規(guī)模因子，它的構建方法與傳統(tǒng)方法差異更大。上述分別使用管理和表現分別與市值進行雙重排序，共得到 12 個投資組合。為構建規(guī)模因子，Stambaugh and Yuan (2017) 摒棄了管理和表現兩變量的高、低組共 8 個組合，而僅使用剩余的 4 個組合。換句話說，管理和表現分別與市值雙重排序，得到各自的 S/M 和 B/M 組合。將兩個 S/M 組合取平均并做多，將兩個 B/M 組合取平均并做空，以此構建規(guī)模因子（SMB）的投資組合：

上式中，下標 MGMT 和 PERF 分別代表由管理和表現與市值雙重排序得到的 S/M 或 B/M 投資組合。對于這種構造方法，二位作者的解釋是，傳統(tǒng)的雙重排序方法會中性化錯誤定價對市值的影響。然而，由于套利不對稱性（Stambaugh, Yu, and Yuan 2015），比如難以做空，導致價格被高估的股票的錯誤定價難以被消除。此外，大量實證結果顯示，錯誤定價在小市值股票中更為突出。這些特點使得傳統(tǒng)的構造方法無法在規(guī)模因子的多、空兩頭對稱地消除錯誤定價的影響，造成規(guī)模因子有被高估的偏誤，因此不宜采用。正因如此，Stambaugh and Yuan (2017) 才采用了不同的方法構造規(guī)模因子。他們的實證表明，如此構造的規(guī)模因子比傳統(tǒng)方法得到的規(guī)模因子有更高的風險溢價。

7?Daniel-Hirshleifer-Sun 三因子模型

Daniel, Hirshleifer, and Sun (2020) 提出的 Daniel-Hirshleifer-Sun 三因子模型是把行為金融學應用于資產定價的另一個嘗試。該文從長、短兩個時間尺度上提出兩個行為因子（behavioral factors），與市場因子一起構成了一個復合三因子模型：

式中 E[R_FIN] 和 E[R_PEAD] 分別代表長周期和短周期的兩個行為因子的預期收益；β_FIN 以及 β_PEAD 為個股 i 在相應因子上的暴露。在使用中，FIN 因子的投資組合每年六月更新；PEAD 因子的投資組合每月更新。這兩個行為因子旨在捕捉由于過度自信（overconfidence）和有限注意力（limited attention）造成的錯誤定價，從而解釋學術界之前發(fā)現的大量選股異象。從行為金融學的角度出發(fā)，股票收益率之間的共同運動通常有兩個原因：（1）股票錯誤定價上的共性；（2）投資者對于股票基本面新息的錯誤反應上的共性。

前者指出不同的股票實際上暴露在一些共同的風格風險上，而情緒沖擊會造成同一類風格的股票收益率的共同運動，因此同一類風格上的股票存在相關性很高的錯誤定價。后者說明由于認知偏差，投資者難以對股票基本面方面的新息做出及時、正確的反應，因此也會導致錯誤定價。由于錯誤定價可以預測未來收益率，這意味著可以使用行為因子來構建一個多因子模型，以期更好的解釋股票預期收益率之間的截面差異。這就是 Daniel, Hirshleifer, and Sun (2020) 的研究動機。

此外，該文進一步指出市場上的絕大多數異象可按照時間尺度分為短和長兩大類。短時間尺度的異象大多來自投資者的有限注意力，而長時間尺度的異象大多來自投資者的過度自信。為此三位作者提出了捕捉長尺度異象的 FIN 因子和捕捉短尺度異象的 PEAD 因子。關于 FIN 和 PEAD 因子的具體構造方法，請參考前文《一個加入行為因子的復合模型》。本文不再贅述。

8?結語

以上七節(jié)系統(tǒng)梳理了學術界主流的多因子模型。有必要強調的是，在這些多因子模型中，除了市場因子外，所有的風格因子的構造方法都是首先通過排序法得到多個投資組合，繼而選擇其中一些做多、另一些做空的方式。在這個過程中，通過排序法劃分得到的每個投資組合內部的股票均是按市值加權來配置的。一旦有了投資組合的收益率之后，在計算因子收益率時，使用的則是這些投資組合收益率的簡單平均?—— 無論是多頭還是空頭，不同投資組合之間是等權配置。這種處理方式正是學術界構建因子投資組合時的慣例。唯一的例外是 Carhart 四因子模型中的動量因子，該因子采用單變量排序、且多空兩個投資組合均采用等權重構造。

作為本文的結語，以下給出關于上述模型的四點簡要討論。第一個討論是關于不同模型之間的 PK，即誰更能解釋股票的預期收益。關于這方面的綜合 PK，感興趣的小伙伴可以參考 Hou et al. (2019) 一文，該文對不同的模型進行了全方位無死角的比較。結果嘛，你懂的。第二個討論和上一條密切相關，即新提出的模型往往比舊模型有更多的因子，或在構建因子時使用了更多的指標（比如 Stambaugh-Yuan 四因子模型用了 11 個異象），因此它們優(yōu)于老的模型是意料之中的，否則也發(fā)表不出來。那么問題來了：是否模型越復雜越好呢？利用 Daniel, Hirshleifer, and Sun (2020) 的作者 Lin Sun 給出的定義，計算上述模型的簡約指數，如下表所示，其中數值越低說明模型越復雜。從表中不難看到，新的模型往往比舊的模型更加復雜。

而顯然，越復雜的模型越能解釋異象（下圖）。因此，在提出多因子模型時，應該盡可能的遵循簡約法則。在簡約法則的指導思想下，一個優(yōu)秀的因子模型通常有較少的因子或者基本面或量價特征；而作為使用者，我們應該盡量搞清楚每一個因子背后代表的風險。

第三點思考是來自多因子模型背后的含義。前文提到，最開始的多因子模型背后的動機均來自傳統(tǒng)金融學或經濟學原理，而過去幾年中最新的兩個模型卻都是來自行為金融學，這也許代表了新的研究風向。我猜學界有大佬對此可能很不高興。不過不容否認的是，行為金融學確實受到了越來越多的關注和認可。比如，剛剛卸任的 AFA 主席正是行為金融學大佬、Daniel, Hirshleifer, and Sun (2020) 作者之一的 David Hirshleifer。關于最后一點思考，讓我們來和文章開頭呼應下。本文介紹的 7 個模型均是時序多因子模型（Fama and French 2020）。大量新鮮出爐、還冒著熱氣的研究成果表明通過 portfolio sort 構建因子組合，通過時序回歸計算因子暴露并不能很好的解釋股票的預期收益率（見《A new norm?》、《Which beta?》、《Which beta II?》、《Which test assets?》）。

也許終有一天這些模型將淡出人們的視線。然而在那之前，它們依然是我們理解資產定價的重要途徑；它們不應該被遺忘，因為上述所有模型，都在歷史的浪潮中見證了金融學發(fā)展的黃金時代。

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