作者：石川

摘要：多因子模型是如今實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)的最重要方法，并在投資實(shí)務(wù)中發(fā)揮了巨大的作用。而這一切都始于 Stephen Ross 發(fā)明的 APT。

0?傳奇人生

如果要論對(duì)現(xiàn)代金融學(xué)（modern finance）的貢獻(xiàn)，想必有很多耳熟能詳?shù)拿郑ū热缰敖榻B的 Eugene Fama），其中一個(gè)不得不提的人就是 Stephen Ross。Ross 對(duì)金融學(xué)的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：agency problem（Ross 1973），arbitrage pricing theory（Ross 1976），binomial options pricing model（Cox, Ross, and Rubinstein 1979）以及 Cox-Ingersoll-Ross model（Cox, Ingersoll, and Ross 1985）。

Ross 出生并成長在馬薩諸塞州的大 Boston 地區(qū)。不過有意思的是，年少的他非常向往加州的陽光沙灘，再加上 Caltech 招生組的卓越宣傳工作，在步入大學(xué)時(shí)，他毫不猶豫的選擇了 Caltech，不過本科階段他攻讀卻是物理學(xué)。本科畢業(yè)后，Ross 考入 Harvard 攻讀了經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，之后便開始在 UPenn Wharton 商學(xué)院任教。最初，Ross 在經(jīng)濟(jì)學(xué)系任教。作為剛剛嶄露頭角的“菜鳥”教授，他最初向系里大佬詢問參加研討會(huì)的建議。在聽了一圈建議后，他嘗試性的選擇參加金融學(xué)研討會(huì)。也許是上天有意的安排，在該研討會(huì)系列中，第一期演講的嘉賓是 Richard Roll（Eugene Fama 的學(xué)生，同樣也是金融學(xué)中非常重要的人物），而第二期的演講嘉賓則是 Fischer Black（這就不用再多說了……）。

參加了兩期研討會(huì)之后，Ross 有兩個(gè)非常強(qiáng)烈的感受：（1）Roll 和 Black 講的東西讓他如癡如醉（Roll 講的 term structure of interest rate；Black 講的是 BS 期權(quán)定價(jià)模型）；（2）Roll 和 Black 的高水平演講給他造成“搞金融的學(xué)者的平均水平如此之高”的錯(cuò)覺。回顧這段往事，Ross 笑稱由于 Roll 和 Black 給他造成的錯(cuò)覺，該學(xué)期后續(xù)的金融學(xué)研討會(huì)帶給他的是逐漸失望的體驗(yàn)。以上這段插曲無疑為 Ross 的金融學(xué)之旅增添了不少傳奇色彩。從這之后，Ross 決定投身金融學(xué)，并做出了大量重要貢獻(xiàn)。

在 Ross 的諸多貢獻(xiàn)中，arbitrage pricing theory（APT）對(duì)實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)有著非常重要的影響，正是它打開了通過多因子模型（multi-factor models）研究資產(chǎn)定價(jià)的大門。下文就以簡(jiǎn)要介紹 APT 為契機(jī)致敬 Stephen Ross。

人們可以通過三步理解如何從 APT 推出多因子模型，下面 1，2，3 節(jié)就分別闡述這三步。

1?Step One

第一步，假設(shè)資產(chǎn)的收益率滿足如下的線性模型（為了簡(jiǎn)化討論，首先討論單因子的情況）：

其中 R_i 是資產(chǎn)收益率，μ_i 是資產(chǎn) i 的預(yù)期收益率，β_i 是資產(chǎn)在因子上的暴露，f 是因子的取值（強(qiáng)調(diào)：f 并不是因子的 risk premium），最后 ε_(tái)i 是資產(chǎn) i 收益率中的隨機(jī)擾動(dòng)（特質(zhì)性收益率）。其中 f 和 ε_(tái)i 滿足 E[f] = E[ε_(tái)i] = 0。如果寫成向量形式，上式變?yōu)椋?/span>

這就是 Ross 在 APT 中使用的收益率模型。

2?Step Two

第二步，構(gòu)建一個(gè) arbitrage portfolio。這個(gè) arbitrage portfolio 中資產(chǎn)的權(quán)重 ω 滿足下列特性。首先，該投資組合是零額投資的，即：

上式中 ι 是全 1 向量。同時(shí)考慮第一步中的資產(chǎn)收益率模型以及該權(quán)重，則該 arbitrage portfolio 的收益率（記為 R_a）為：

上式的最后一項(xiàng)為眾多資產(chǎn)特質(zhì)性收益率的加權(quán)平均。由 E[ε_(tái)i] = 0 和大數(shù)定律可知對(duì)于投資組合來說，這一項(xiàng)近似為零，因此投資組合的收益率由前兩項(xiàng)決定。

接下來，再來看 arbitrage portfolio 權(quán)重 ω 需要滿足的第二個(gè)特性，即：

這意味著選擇 ω 使得該 arbitrage portfolio 在該因子上的暴露為零。將這個(gè)條件代入到投資組合收益率 R_a 的表達(dá)式中，并利用特質(zhì)性部分近似為零的特性，對(duì)于這個(gè)特殊的 ω，R_a 的表達(dá)式化簡(jiǎn)為：

帶著這個(gè)特殊的 arbitrage portfolio，我們進(jìn)入第三步。

3?Step Three

第三步，運(yùn)用無套利約束。對(duì)于第二步構(gòu)造的特殊的 ω，它滿足如下性質(zhì)：（1）它是零額投資；（2）它對(duì)因子的暴露為零（因此該組合沒有系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)）；（3）它沒有特質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)暴露（因?yàn)榻M合中特質(zhì)性收益率為零）。換句話說，這樣一個(gè)投資組合 ω 既沒有資金投入又沒有風(fēng)險(xiǎn)暴露，因此根據(jù)無套利約束條件，它的收益率必須為零：

緊接著問題來了，這到底意味著什么？我們可以從幾何的角度來理解它。當(dāng)我們構(gòu)造 arbitrage portfolio 的時(shí)候，讓其資產(chǎn)權(quán)重 ω 滿足 ω’ι = 0 以及 ω’β = 0。從幾何上說，兩個(gè)向量的內(nèi)積為零說明它們是相互垂直的。因此在 n 維空間內(nèi)，ω 與 ι 以及 β 構(gòu)成的平面垂直。接下來，最重要的一點(diǎn)：對(duì)于任意滿足上述兩個(gè)條件的 ω，由無套利約束條件可知 ω’μ 也必須等于 0，因此 ω 也和 μ 垂直。這意味著，μ 必然是在由 ι 和 β 構(gòu)成的平面內(nèi)。

在數(shù)學(xué)上，這意味著資產(chǎn)的預(yù)期收益率向量 μ 可以寫成 ι 和 β 的線性加權(quán)：

上式對(duì)任意資產(chǎn)都成立。為了求解系數(shù) γ_1 和 γ_2，不妨代入兩個(gè)特殊的資產(chǎn)：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（收益率 R_f）和市場(chǎng)組合（預(yù)期收益率 μ_m）。由于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的因子暴露為零，因此通過上式可直接求出：

將 μ_m 和 γ_1 = R_f 代入，并利用市場(chǎng)組合 β = 1 可得：

因此有

將 γ_1 和 γ_2 帶回到 μ 的方程易知：

眼熟不？這正是大名鼎鼎的 CAPM。公眾號(hào)的老朋友可能記得，《CAPM 的一小段歷史》介紹了 CAPM 被提出的那段艱辛歲月，而四個(gè)版本的 CAPM 模型因?yàn)榧僭O(shè)的區(qū)別以及數(shù)學(xué)符號(hào)的差異讓人最初對(duì)其望而卻步。反觀上述三步走，僅僅根據(jù)收益率線性模型的假設(shè)，并通過無套利約束，就非常優(yōu)雅的得到了 CAPM。在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們可以很容易的把上式拓展到多個(gè)因子的情況，得到如今眾人皆知的多因子模型：

其中 λ_k 為因子 k 的 risk premium，β_ik 是資產(chǎn) i 在因子 k 上的暴露。以此為起點(diǎn)，學(xué)術(shù)界和業(yè)界在過去近 50 年內(nèi)展開了轟轟烈烈的實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究和因子投資實(shí)踐。此外，多因子模型的表達(dá)式同樣強(qiáng)調(diào)，只有那些影響眾多資產(chǎn)收益率共同運(yùn)動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，而非資產(chǎn)的特質(zhì)性風(fēng)險(xiǎn)（即可以通過分散化規(guī)避掉的風(fēng)險(xiǎn)），才是預(yù)期收益率的來源。

Ross 功不可沒。

4?結(jié)語

以上簡(jiǎn)要回顧了通過三步從 APT 到多因子模型的思路。事實(shí)上，在 Ross (1976) 這篇 APT 論文中，開篇就清晰地闡述了上述過程（Ross 1976 把上述過程分成了四步）。

而談到本文的闡述，則必須要給另一個(gè)大佬足夠的 credits。2017 年三月，在 Ross 去世之后，MIT 為了紀(jì)念 Ross 的貢獻(xiàn)特地舉辦了研討會(huì)（Ross 曾在 MIT 任教很長時(shí)間），并由眾多大佬分別介紹了 Ross 在不同金融領(lǐng)域的貢獻(xiàn)。其中介紹 APT 的則是羅聞全（Andrew Lo）教授。本文對(duì) APT 介紹參考了羅教授報(bào)告的內(nèi)容，特此說明。

對(duì)于實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)來說，除了 APT，Ross 另一項(xiàng)廣為人知并且即便到了今天還被廣泛應(yīng)用的方法則是 Gibbons, Ross, and Shanken (1989) 即 GRS test，它是檢驗(yàn)多因子模型的重要方法，與 APT 一樣，影響深遠(yuǎn)而持久。

以上僅從 APT 的視角一瞥了 Ross 對(duì)金融學(xué)的貢獻(xiàn)。關(guān)于他的其他成就，AFA 的 Masters of Finance 系列有過更詳細(xì)的介紹，感興趣的小伙伴不妨找來看看。1988 年 Ross 出任了 AFA 主席，1996 年他獲得 IAFE 的年度金融工程師稱號(hào)。此外 Ross 還獲得了 Smith Breeden Prize（2006）、Onassis Prize（2012）、AFA Award for Excellence in Finance（2014）以及 Deutsche Bank Prize（2015）等諸多獎(jiǎng)項(xiàng)。

謹(jǐn)以此文致敬 Stephen Ross。

參考文獻(xiàn)

Cox, J. C., J. E. Ingersoll, and S. A. Ross (1985). A theory of the term structure of interest rates. Econometrica 53(2), 365 – 407.

Cox, J. C., S. A. Ross, and M. Rubinstein (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics 7(3), 229 – 263.

Gibbons, M. R., S. A. Ross, and J. Shanken (1989). A test of the efficiency of a given portfolio. Econometrica 57(5), 1121 – 1152.

Ross, S. A. (1973). The economic theory of agency: The principal’s problem. American Economic Review 63(2), 134 – 139.

Ross, S. A. (1976). The arbitrage theory of capital asset pricing. Journal of Economic Theory 13(3), 341 – 360.

免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險(xiǎn)，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對(duì)任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對(duì)任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。