作者：石川

摘要：資產(chǎn)定價(jià)理論保證了 SDF 和 mean-variance frontier 的等價(jià)性。機(jī)器學(xué)習(xí)在估計(jì) SDF 方面或大有可為。

前文《FF3們背后的資產(chǎn)定價(jià)理論》介紹了 Stochastic Discount Factor（SDF）和多因子模型之間的等價(jià)關(guān)系。今天我們?cè)賮?lái)說(shuō)說(shuō) SDF 和 mean-variance (efficient) frontier 的等價(jià)性。

依然考慮超額收益，由資產(chǎn)定價(jià)理論有??，其中??為 SDF，??為某資產(chǎn)的超額收益。將該式進(jìn)行如下代數(shù)運(yùn)算：

因而有：

由于相關(guān)系數(shù)的取值范圍是 -1 到 +1，因此任意資產(chǎn)的超額收益和 SDF 之間滿足以下關(guān)系，它被稱為 Hansen-Jagannathan bound（Hansen and Jagannathan 1991）：

若我們只關(guān)心??的資產(chǎn)，則可以把絕對(duì)值符號(hào)去掉：

上式左側(cè)正是夏普率（Sharpe Ratio）的定義，因此該不等式意味著資產(chǎn)的夏普率是有上限的。觀察該不等式，我們關(guān)心兩個(gè)問題：（1）什么時(shí)候等號(hào)成立？（2）等號(hào)成立意味著什么？問題（1）的答案很簡(jiǎn)單，當(dāng)??時(shí)等式成立。對(duì)于問題（2），等號(hào)成立意味著該資產(chǎn)位于 mean-variance frontier 之上（因?yàn)檫@些資產(chǎn)的夏普率最大），且這些資產(chǎn)和 SDF 的相關(guān)系數(shù)都為 -1。這意味著所有 mean-variance frontier 上的資產(chǎn)都和 SDF 完全負(fù)相關(guān)，因而它們都是完全正相關(guān)。

這種相關(guān)性意味著 SDF 和位于 mean-variance frontier 之上任意資產(chǎn)收益率（記為??）的等價(jià)關(guān)系：??。

假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（??）存在，則 mean-variance frontier 是通過(guò)??和 tangency portfolio 的直線，其上任何一個(gè)非??資產(chǎn)都可以用來(lái)構(gòu)造 SDF。此外，利用 SDF 和 mean-variance frontier 的等價(jià)關(guān)系，可以得到如下這個(gè)特殊的單因子模型：

其中??是??的 risk premium，??為資產(chǎn)超額收益對(duì) mean-variance frontier 上資產(chǎn)超額收益的回歸系數(shù)。這就是資產(chǎn)定價(jià)中的 Roll (1977) Theorem。通過(guò) SDF 和多因子模型的等價(jià)性，以及 SDF 和 mean-variance frontier 的等價(jià)性，也就得到多因子模型和 mean-variance frontier 的等價(jià)性 —— mean-variance frontier 上資產(chǎn)的收益率能夠表達(dá)為多因子模型中因子收益率的線性組合。

Any asset pricing model is the same as the statement that there is some return on the mean-variance frontier.?If Fama and French (1993)’s asset pricing model is correct, it means that there is a combination of their MKT, SMB and HML portfolios that is on the mean-variance frontier. The CAPM is simply the statement that the market return is on the mean-variance frontier. —— John Cochrane

再看一眼??，它長(zhǎng)得非常像 CAPM，CAPM 只不過(guò)是假設(shè)市場(chǎng)組合在 mean-variance frontier 上。這種等價(jià)性也可以用于比較不同的多因子模型。如果模型 A 的因子構(gòu)造的最大夏普率高于模型 B 的因子構(gòu)造的夏普率，那么前者就優(yōu)于后者，這和 Barillas and Shanken (2017) 提出的方法也很好的契合（見《Toward a better factor model》）。

寫到這里，先總結(jié)一下上述內(nèi)容（因?yàn)榻酉聛?lái)就要上“正餐”了）。資產(chǎn)定價(jià)理論告訴我們 SDF 和 mean-variance frontier 是等價(jià)的，因此只要找到 mean-variance frontier 上的任意（非??）資產(chǎn)，就找到了 SDF 并給所有資產(chǎn)定價(jià)。當(dāng)然，這僅僅是把尋找 SDF 的問題轉(zhuǎn)化為尋找位于 mean-variance efficient (MVE) portfolio 的問題，但人們并不知道 MVE portfolio 中不同股票的權(quán)重是怎樣的。

從實(shí)證研究的角度，利用 SDF，mean-variance frontier 以及多因子模型三者的等價(jià)關(guān)系可以將上述問題大大簡(jiǎn)化，即通過(guò)多因子模型來(lái)研究 SDF 和資產(chǎn)定價(jià)。雖然不同的多因子模型都是根據(jù)不同的理論（比如 discount dividend model 或者行為金融學(xué)理論）提出的，但最終比較不同的模型時(shí)，看的還是哪個(gè)模型的因子算出的夏普率更高。

然而，由于研究傳統(tǒng)傳承，因子通常都是通過(guò) double-sort 構(gòu)造的，導(dǎo)致通過(guò)因子算出的最大夏普率（在樣本外）并不高，所以沒少被人詬病。鑒于這個(gè)現(xiàn)象，一個(gè)自然的問題就是能否繞過(guò)多因子模型，直接使用資產(chǎn)（i.e., 股票）來(lái)研究 SDF。答案是肯定的。由于因子收益率是一攬子資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均，而 SDF 可以表達(dá)為因子收益率的線性函數(shù)，因此 SDF 自然也可以寫成資產(chǎn)收益率的線性組合。

正如《實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)理論新進(jìn)展》的第五節(jié)介紹的那樣，直接使用資產(chǎn)研究 SDF 正是近年來(lái)的研究重點(diǎn)之一，例如 Kozak, Nagel and Santosh (2020) 和 Bryzgalova, Pelger and Zhu (2020) 都是這方面的力作。而我今天想要談的是 Chen, Pelger and Zhu (2020)。這篇文章有很多令人驚喜的地方，但最大的創(chuàng)新無(wú)疑是把機(jī)器學(xué)習(xí)中的 Generative Adversarial Network（GAN）巧妙地用在了資產(chǎn)定價(jià)場(chǎng)景中。

為了讓各位小伙伴充分感受這篇論文的魅力，下面話不多說(shuō)，先上 5 張 slides，它們高度概括了該文的核心（來(lái)自 Markus Pelger 在 2020 Utah Winter Finance Conference 上做的報(bào)告；參考文獻(xiàn)最后有視頻連接），我看后的感受就是一個(gè)字 —— 旺德福！

OK！接下來(lái)為了便于理解，對(duì)每頁(yè) slide 作簡(jiǎn)要介紹（但是非常建議去看報(bào)告視頻 + 閱讀論文原文）。

首先前兩頁(yè)介紹了該文的模型。在第一頁(yè)中，該文明確指出其研究的是 conditional model（注意期望符號(hào)??的下標(biāo)??）。對(duì)于 conditional model，可以通過(guò)加入工具變量把 conditional moment conditions 轉(zhuǎn)化成 unconditional moment conditions（具體數(shù)學(xué)背景見 Cochrane 2005 的第 8 章）。接下來(lái)第二頁(yè)，??期的 SDF（記為??）被表達(dá)為股票超額收益的線性函數(shù)：? ?

其中??是根據(jù)??時(shí)刻所有信息來(lái)確定的股票的權(quán)重。在 Chen, Pelger and Zhu (2020) 的模型中，??被視為宏觀經(jīng)濟(jì)變量??和公司特征（firm characteristics）??的非線性函數(shù)，是通過(guò)機(jī)器學(xué)習(xí)模型求解的對(duì)象。

第三頁(yè)將 SDF 和 mean-variance frontier 聯(lián)系了起來(lái)；一旦得到 SDF 的參數(shù)??，就同時(shí)得到了 MVE portfolio，即文中的 SDF portfolio。利用 SDF portfolio 的 risk premium，并計(jì)算個(gè)股和它的? ? ??就可以得到單因子模型，檢驗(yàn)其定價(jià)能力或選股。

第四、五兩頁(yè)是模型的估計(jì)。第四頁(yè)首先在給定的工具變量下，把 moment conditions 轉(zhuǎn)化為 no-arbitrage loss function，然后通過(guò) feed forward network 算法估計(jì)模型的參數(shù)，最小化 moment conditions（moment conditions 代表了 pricing errors）。如何選擇工具變量呢？

在該文的模型中，工具變量??可以理解成由宏觀經(jīng)濟(jì)變量和 firm characteristics 決定的 conditioning variables，因而??則代表了 managed portfolios。舉個(gè)例子，比如某個(gè)工具變量是判別股票是否是小市值的 indicator variable（小市值為 1，大市值為 0），那么它就意味著我們希望 SDF 的最優(yōu)參數(shù)能夠更好的給小市值股票定價(jià)（即通過(guò)小市值股票構(gòu)造的 managed portfolios 的 pricing error 最小）。所以，挑選工具變量構(gòu)造 managed portfolios 就相當(dāng)于挑選 test assets。這里，工具變量的應(yīng)用和 Kelly, Pruitt and Su (2019)?提出的 IPCA 方法也有異曲同工之妙。

對(duì)資產(chǎn)定價(jià)來(lái)說(shuō)，并非所有 test assets 在估計(jì) SDF 時(shí)都能發(fā)揮同樣的作用，我們關(guān)心的是那些包含最多定價(jià)信息的 test assets。最關(guān)鍵的來(lái)了：為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，Chen, Pelger and Zhu (2020) 使用了 GAN（生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)，一種非監(jiān)督式學(xué)習(xí)算法，通過(guò)讓兩個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相互博弈的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)），通過(guò)兩個(gè)模型交替迭代來(lái)同時(shí)估計(jì) SDF 和選擇工具變量：

1. SDF 模型在給定的工具變量下，以最小化 test assets 的 pricing errors 為目標(biāo)確定 SDF 的參數(shù)??；

2. 工具變量模型在給定的 SDF 下，以最大化 pricing errors 為目標(biāo)選擇新的工具變量??。

和傳統(tǒng) GMM?主要從 efficiency 出發(fā)挑選工具變量相比，該文的方法強(qiáng)調(diào)挑選工具變量時(shí)的經(jīng)濟(jì)學(xué)意義和穩(wěn)健性，此外深度學(xué)習(xí)算法能夠同時(shí)處理更多的參數(shù)。以上就是對(duì)這 5 頁(yè) slides 的簡(jiǎn)要說(shuō)明。但是，本文的解讀無(wú)論如何也取代不了閱讀原文。如果你覺著原文太長(zhǎng)，那么至少聽一聽?Markus Pelger 的報(bào)告。

最后給出部分實(shí)證結(jié)果。相比于其他方法，該文構(gòu)造的 SDF 在樣本外的夏普率最高，且無(wú)論是時(shí)序上解釋資產(chǎn)收益率波動(dòng)（EV）還是截面上解釋資產(chǎn)預(yù)期收益率差異（cross-sectional??）都更加優(yōu)秀。

在所有考察的 firm characteristics 中，下面這些是最重要的，且它們代表了包括交易摩擦，價(jià)值，無(wú)形資產(chǎn)，盈利，投資以及動(dòng)量（反轉(zhuǎn)）這些常見的大類因子，說(shuō)明包含這些因子的主流多因子模型也都是靠譜的。

毋庸置疑，Chen, Pelger and Zhu (2020) 是一篇值得研讀和學(xué)習(xí)的文章（它獲得了 UWFC 2020 Best Paper Award，出現(xiàn)在頂刊只是時(shí)間問題）。近年來(lái)，越來(lái)越多學(xué)者把機(jī)器學(xué)習(xí)算法成功應(yīng)用到資產(chǎn)定價(jià)研究中，而 Chen, Pelger and Zhu (2020) 是其中的重要代表之一（更多相關(guān)研究見《實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)理論新進(jìn)展》和《因子投資：方法與實(shí)踐》的 6.8 節(jié)）。

從業(yè)界實(shí)務(wù)的角度來(lái)說(shuō)，使用歷史數(shù)據(jù)求解 mean-variance optimization 就可以得到夏普率最大的組合，但由于各種 estimation errors 以及使用的是歷史數(shù)據(jù)，這個(gè)最優(yōu)解（基本上）沒有意義；而構(gòu)造樣本外 MVE portfolio 才是人們所追求的。在這方面，學(xué)術(shù)界的諸多將機(jī)器學(xué)習(xí)算法用于估計(jì) SDF 的研究成果將給人們?nèi)碌膯l(fā)。

參考文獻(xiàn)

Barillas, F. and J. Shanken (2017). Which alpha??Review of Financial Studies?30(4), 1316 – 1338.

Bryzgalova, S., M. Pelger, and J. Zhu (2020). Forest through the trees: Building cross-sections of stock returns. Working paper.

Chen, L., M. Pelger, and J. Zhu (2020). Deep learning in asset pricing. Working paper.

Cochrane, J. H. (2005). Asset Pricing (Revised Edition). Princeton, NJ: Princeton University Press.

Fama, E. F. and K. R. French (1993). Common risk factors in the returns on stocks and bonds.?Journal of Financial Economics?33(1), 3 – 56.

Hansen, L.?P. and?R. Jagannathan (1991). Implications of security market data for models?of dynamic economics. Journal of Political Economy 99(2), 225?–?262.

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Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section.?Journal of Financial Economics?135(2), 271 – 292.

Roll, R. (1977). A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory. Journal of Financial Economics 4(2), 129 – 176.

https://www.youtube.com/watch?v=ioKYA3UZ70E

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