作者：石川

摘要：資產(chǎn)定價理論保證了多因子模型和隨機折現(xiàn)因子的等價性。實證研究應該在理論指引下展開。

1900 年，法國小伙 Louis Bachelier 在他的博士論文《投機理論》（Théorie de la spéculation）中首次使用布朗運動分析股票和期權的價格（Bachelier 1900）。然而由于他的觀點在當時太前衛(wèi)，并沒有受到足夠的重視。最終，Bachelier 沒有獲得優(yōu)秀論文，而金融學的發(fā)端也沒能提前半個世紀。這不禁讓人感慨，Bachelier 的小失落，金融學的大遺憾。直到半個世紀之后，Bachelier 的成果才被 Paul Samuelson 發(fā)現(xiàn)。

時間終于來到上世紀 50 年代，金融學也進入了后來被 Merton Miller 稱作是“The big bang of finance”的黃金年代。在這個時期，先是 Markowitz (1952) 提出了 Modern Portfolio Theory（mean-variance analysis），之后以 Sharpe (1964) 和 Lintner (1965) 為代表提出了 Capital Asset Pricing Model（見《CAPM 的一小段歷史》）。同一時期，F(xiàn)ama (1965, 1970) 提出了 Efficient Markets Hypothesis。

進入 70 年代后，金融學持續(xù)飛速發(fā)展。1973 年，Black and Scholes (1973) 以及 Merton (1973a) 同時提出了期權定價模型。同期，Merton (1973b) 提出了 Intertemporal CAPM（ICAPM），Ross (1976) 提出了 Arbitrage Pricing Theory（APT），它們將資產(chǎn)定價在 CAPM 的基礎上進行了極大地擴展。此外，Lucas (1978) 和 Breeden (1979) 則奠定了 Consumption-based CAPM（CCAPM）的基礎，CCAPM 被認為是最本質(zhì)的資產(chǎn)定價模型。

以上這些是關于資產(chǎn)定價（asset pricing）的革命性研究。

從理論角度來說，研究資產(chǎn)定價有兩條路可走：絕對定價（absolute pricing）和相對定價（relative pricing）。前者試圖將資產(chǎn)的價格和它們暴露的宏觀經(jīng)濟風險聯(lián)系起來，例如 CCAPM、ICAPM 都是這方面的模型。反觀后者，它們研究的目標是如何利用一系列已知價格的資產(chǎn)給其它資產(chǎn)定價，比如期權定價模型和 APT。

無論是采用哪種 approach，不同的資產(chǎn)定價模型都可以被放入無套利定價公式框架（Cochrane 2005）：

其中??是 price，??是 payoff，??是 stochastic discount factor（SDF）。早期的研究重點是研究 SDF 的性質(zhì)以及理解到底是什么影響和決定 SDF。如今，在學界研究資產(chǎn)定價和業(yè)界實踐資產(chǎn)定價的時候，更常見的是通過 beta pricing models，它研究的對象是資產(chǎn)的預期收益和資產(chǎn)對風險的暴露（beta）的關系，即我們熟悉的多因子模型。而這一研究風向的變化始于 Fama and French (1993) 的三因子模型（FF3）。毫無疑問，F(xiàn)F3 引領了我們這個時代的 empirical work。

然而，這種看似跨度很大的研究轉(zhuǎn)變是否意味著我們放棄了對 SDF 的研究，而轉(zhuǎn)向了尋找哪些因子最 fit 實證數(shù)據(jù)，最應該被塞進多因子模型的 RHS 呢？答案是否定的。這是因為 FF3（和它的諸多繼任者們）所代表的 beta pricing models 背后有著扎實的金融學理論，即 beta pricing models 和 SDF 是等價的。這種等價性才是我們?nèi)缃衲軌蛲ㄟ^多因子模型研究資產(chǎn)定價的保障。

根據(jù)資產(chǎn)定價理論，SDF??和因子??滿足關系??。由于??是通過協(xié)方差而非二階矩計算的（協(xié)方差是 demean 后的二階矩），因此為了方便推導可以在上述關系中把因子??做 demean 處理并把所有均值的信息都放在??里面，因而有??。此外，當研究的對象是超額收益時，利用??這個性質(zhì)可將??任意縮放。所以，不失一般性使得通過縮放滿足??。最終我們就得到了簡化后的??和??的關系：??。因此，對于超額收益，有如下資產(chǎn)定價定理：

其中??表示因子，??表示因子的預期超額收益，??為某資產(chǎn)??的超額收益。上述定理的含義是，當我們把資產(chǎn)預期超額收益表示成??乘以??的時候（即多因子模型），SDF 則可以表示為這些因子??的線性組合。此外，??就是資產(chǎn)超額收益??對因子??的多元回歸系數(shù)。

John Cochrane 對這種等價關系的評價是：An expected return beta model is equivalent to a discount factor that is a linear function of the factors in the beta model.?This is an important and central result.?It gives the connection between the discount factor formulation and the expected return-beta factor model formulation common in empirical work.

接下來就簡單推導一下。由??可知??。利用??，??，??的表達式以及??可得：

將??挪到等式另一端：

為了讓??出現(xiàn)在上式中，利用??，并將該表達式代入上式并通過代數(shù)運算可得：

因此可以求出對應的因子預期超額收益??。以上就從 SDF 推出了對應的多因子模型；反之也可以通過給定的多因子模型反推出 SDF。當然，我們這里更關心的是??的表達式到底代表了什么。上述理論并未對因子??做任何限制，即因子可以是 state variables，也可以是 traded assets。為了建立和 FF3 這類實證模型的聯(lián)系，我們關心的是因子??是 excess returns 時候的情況，??是什么。依然從??出發(fā)，兩邊同時乘??并求期望有：

由于??是 excess returns，因此??。結合上式，最終可推出：


綜合上述定理和推導，可以總結如下：通過 beta pricing model 中因子的某個線性組合就能夠得到 SDF，而當因子??是 excess returns 時，它們的預期超額收益??等于??，且模型中的??就是資產(chǎn)超額收益??和因子 excess returns 的多元回歸系數(shù)。而這兩點，恰恰就是 FF3 們所滿足的。這就是為什么這些多因子模型非常吸引人并得到了非常廣泛的應用。

上述推導解釋了以 FF3 為代表的多因子模型背后的資產(chǎn)定價理論。此外，作為 empirical work 的開端，Eugene Fama 和 Ken French 也通過對 FF3 的解讀給后人樹立了使用和檢驗多因子模型的典范。在這方面，不得不提的一篇重要程度不亞于 Fama and French (1993) 的論文是 Fama and French (1996)，它真正拉開了通過多因子模型對其他資產(chǎn)研究 relative pricing 的序幕。

這篇文章的第一個重點是傳遞出這樣一個態(tài)度，即尊重統(tǒng)計檢驗結果，但統(tǒng)計檢驗結果并不應該是挑選多因子模型的全部。舉例來說，當以使用 size 和 BM 雙重排序構造的 25 個 portfolios 作為 test assets 時，F(xiàn)F3 的 Gibbons, Ross and Shanken (1989) test 結果是 p-value = 0.004，即模型被拒絕了。這是否意味著它不是一個好模型呢？

考察這些 test assets 的??可知，模型無法解釋的是市值最小且估值最高的這一撮兒股票；對于其他絕大多數(shù) test assets，它們的??都足夠接近零。因此，不應輕易的根據(jù) GRS test 結果來拒絕 FF3。對于 empirical work 來說，與統(tǒng)計檢驗結果相比，能否給實踐提供足夠指引是更為重要的準則。（前文《股票多因子模型的回歸檢驗》的第 7 節(jié)，也強調(diào)了 Test is not everything.）

當然，也許你和我一樣會說，這 25 個組合和 HML 以及 SMB 兩因子都是用 size 和 B/M 雙重排序構造的，F(xiàn)F3 能給它們定價不是理所當然嘛。

True!

因此，該文的第二個重要之處是使用 FF3 給其他 anomalies 定價。為此，該文考慮了 Lakonishok, Shleifer and Vishny (1994) 通過 EP、CP 和 five-year sales 等構造的投資組合，以及 DeBondt and Thaler (1985) 的長期反轉(zhuǎn)和 Jegadeesh and Titman (1993) 的中期動量。實證結果顯示，絕大多數(shù) test assets 在 FF3 下的聯(lián)合 pricing errors 很小，通過了 GRS test。不過他們也欣然承認，F(xiàn)F3 無法解釋動量效應。如今，檢驗對 test assets 的定價能力早已成為比較不同多因子模型時的必要手段（見《直觀理解 GRS 和 MV Spanning》以及《Toward a better factor model》）。

值得借鑒的另一點是二位作者如何看待 FF3，并以此傳遞出的研究因子時應有的紀律性。從因子的構造和實證結果來看，MKT、HML 和 SMB 三個因子能在很大程度上解釋資產(chǎn)收益率的共同運動，因此 FF3 應被視作 APT 模型；不過有意思的是他們依然嘗試從 ICAPM 的角度解釋因子。以 HML 為例，F(xiàn)ama and French (1996) 把它看作 relative distress 這個 state variable 的 factor mimicking portfolio。

這也許是 Eugene Fama 為了避免 beta pricing models 退化為純粹的 empirical work 所堅守的態(tài)度。這種堅守也體現(xiàn)在了 Fama and French (1996) 一文的最后一段，兩位作者再次強烈表達了希望能夠搞清楚 HML 和 SMB 代表的 state variables 的愿景。

FF3 之后，越來越多的多因子模型被提出（見《主流多因子模型巡禮》），它們都屬于 empirical asset pricing 的范疇。而一旦把“empirical”一詞加到“asset pricing”之前，就需要格外的謹慎。一方面，empirical work 可以讓模型更加貼近實際數(shù)據(jù)，更好的指引投資實務；而另一方面，我們也應避免研究變成毫無意義的 ex post mean-variance optimization。

從 Fama and French (1993, 1996) 中我們看到了早期實證資產(chǎn)定價研究的態(tài)度，也許這種對理論和實證之間平衡的極致追求就是對 empirical 一詞最好的詮釋。而本文希望傳遞出來的觀點是， ? beta pricing models 背后從來都有嚴謹?shù)馁Y產(chǎn)定價理論（和 SDF 的等價性），而 empirical work 也從來都應該在理論的指引下展開。

Bachelier, L. (1900). Théorie de la Spéculation. Paris: Gauthier-Villars.

Breeden, D. T. (1979). An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities.?Journal of Financial Economics 7(3), 265 – 296.

Black, F. and M. Scholes (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81(3), 637 – 654.

Cochrane, J. H. (2005). Asset Pricing (Revised Edition). Princeton, NJ: Princeton University Press.

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