均值回歸：循規(guī)蹈矩，偶發(fā)癲狂
發(fā)布時(shí)間：2017-06-22 | 來(lái)源: 川總寫(xiě)量化
作者：石川
摘要：均值回歸策略在量化投資中應(yīng)用廣泛。但是它往往“收益有限、風(fēng)險(xiǎn)無(wú)限”。本文就來(lái)揭開(kāi)它神秘的面紗。
1 引言
均值回歸指的是一個(gè)變量隨著時(shí)間的變化在其均值上下波動(dòng)的現(xiàn)象。
自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中都有大量均值回歸（mean reversion 或 reverting to the mean）的例子。下圖為尼羅河年最低水位隨時(shí)間的變化，它表現(xiàn)出了明顯的均值回歸特性。
在社會(huì)科學(xué)中，諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、著名的行為金融學(xué)家、展望理論的提出者 Daniel Kahneman 曾提出了一個(gè)“體育畫(huà)報(bào)詛咒”的例子：凡是登上體育畫(huà)報(bào)封面的明星，在接下來(lái)的新賽季的表現(xiàn)都會(huì)“跌落人間”?？茖W(xué)研究表明，運(yùn)動(dòng)員的表現(xiàn)也是圍繞均值呈隨機(jī)分布。因此，上一個(gè)賽季擁有高光表現(xiàn)的明星（以至于登上了體育畫(huà)報(bào)），有很大可能在接下來(lái)的新賽季變得平庸。換句話說(shuō)，運(yùn)動(dòng)員的表現(xiàn)呈現(xiàn)均值回歸特性。
雖然遠(yuǎn)不如自然和社會(huì)科學(xué)中的現(xiàn)象完美，但是在金融市場(chǎng)投資中也有近似均值回歸的現(xiàn)象，更是存在大量的圍繞該現(xiàn)象構(gòu)建的投資策略。那么，依靠均值回歸是否能夠掙到錢呢？這樣的策略風(fēng)險(xiǎn)又有多大呢？這些就是本文要探討的問(wèn)題。
2 金融領(lǐng)域的均值回歸
根據(jù)維基百科，金融市場(chǎng)的均值回歸定義如下：
In finance,?mean reversion?is the assumption that a stock's price will tend to move to the average price over time.
我們可以把上述定義中的“股票”換成其他任何投資品。我想強(qiáng)調(diào)的是，這個(gè)定義中最核心的兩個(gè)字是價(jià)格（而不是投資品的收益率）。這一點(diǎn)怎么強(qiáng)調(diào)都不過(guò)分：
“價(jià)格呈現(xiàn)均值回歸”等價(jià)于“收益率呈現(xiàn)負(fù)的序列相關(guān)性”。這是一種非常好的、可以被拿來(lái)構(gòu)建優(yōu)秀策略的特性。
“收益率呈現(xiàn)均值回歸（即收益率圍繞 0 隨機(jī)的上下波動(dòng)）”等價(jià)于“價(jià)格呈現(xiàn)隨機(jī)游走”。這是投資品最差的一種形態(tài)（不幸的是，這也恰恰是實(shí)際中的情況），在這種情況下不存在有效的賺錢策略（運(yùn)氣除外）。
在現(xiàn)實(shí)中，絕大多數(shù)單一（特地提出單一，為后面留個(gè)伏筆）投資品價(jià)格都不滿足均值回歸。如果有明顯的均值回歸，那么賺錢就太容易了，我們只需要做到所有那些偽專家說(shuō)的“高拋低吸”。滿足均值回歸時(shí)，由于格在區(qū)間內(nèi)震蕩且圍繞其均值波動(dòng)，高拋低吸當(dāng)然是可能的。比如下圖是上證指數(shù)從 2016 年 11 月到現(xiàn)在的波動(dòng)區(qū)間，上限 3300 附近、下限 3050 左右。如果它就在這個(gè)區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)均值回歸的話，那么我們還愁賺不著錢嗎？
然而，現(xiàn)在來(lái)看都是事后諸葛亮。當(dāng)我們身在其中的時(shí)候，又有誰(shuí)敢說(shuō)上證指數(shù)會(huì)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)震蕩呢？滿足均值回歸的投資品在現(xiàn)實(shí)中幾乎沒(méi)有的。如果一個(gè)時(shí)間序列滿足均值回歸，那么它一定也滿足平穩(wěn)性。平穩(wěn)性要求時(shí)間序列的均值和方差不隨時(shí)間變化。顯然，投資品的價(jià)格無(wú)法滿足這樣的假設(shè)。
現(xiàn)實(shí)中，投資品價(jià)格基本上都呈現(xiàn)幾何隨機(jī)游走（關(guān)于這方面，感興趣的讀者可以參考《布朗運(yùn)動(dòng)、伊藤引理、BS 公式》和《寫(xiě)給你的金融時(shí)間序列分析》系列文章）。雖然單一投資品的價(jià)格不滿足均值回歸，但幸運(yùn)的是，我們可以把多個(gè)投資品（通常是兩個(gè)）線性組合在一起，使它們的價(jià)差滿足均值回歸。
在數(shù)學(xué)上，如果多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列通過(guò)線性組合得到一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，則把滿足這種關(guān)系稱為協(xié)整（cointegration）。正因如此，均值回歸這種現(xiàn)象才在金融領(lǐng)域才有了廣泛的應(yīng)用。如果一個(gè)價(jià)格（或者價(jià)差）序列滿足均值回歸，那么當(dāng)前的價(jià)格對(duì)下一時(shí)刻價(jià)格的變化應(yīng)該有預(yù)測(cè)性。例如，如果當(dāng)前的價(jià)格高于均值，那么下一時(shí)刻的價(jià)格會(huì)傾向于朝著均值移動(dòng)。基于這樣的假設(shè)可以構(gòu)建一個(gè)描述均值回歸的線性數(shù)學(xué)模型。
對(duì)于價(jià)格（或多個(gè)投資品線性組合的價(jià)差）序列 y，該模型為：
我們可以通過(guò)歷史數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)模型中的參數(shù)。如果 y 滿足均值回歸，那么這個(gè)模型中的參數(shù) λ 就必須在統(tǒng)計(jì)上顯著的不為零（更確切的說(shuō)，λ 需要顯著為負(fù)）。通常可以使用 ADF 檢驗(yàn)（Augmented Dickey-Fuller Test）來(lái)考察 λ 的取值。
ADF 檢驗(yàn)
原假設(shè)為當(dāng)前的價(jià)格對(duì)下一時(shí)刻價(jià)格的變化沒(méi)有預(yù)測(cè)性，即 λ=0。該檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是 λ 和它自身標(biāo)準(zhǔn)誤差之比，即 λ/SE(λ)。對(duì)于均值回歸模型，我們預(yù)期 λ/SE(λ) 為負(fù)。因此，只有當(dāng)這個(gè)統(tǒng)計(jì)值小于給定顯著性水平的閾值（閾值是負(fù)數(shù)）時(shí)，我們才能在對(duì)應(yīng)的置信水平下拒絕原假設(shè)、接受備擇假設(shè)，即 λ 統(tǒng)計(jì)上不為 0 而序列 y 呈現(xiàn)均值回歸特性。
一旦找到一個(gè)滿足均值回歸的價(jià)格或者價(jià)差序列，就可以用它構(gòu)建一個(gè)均值回歸策略，并利用這種特性來(lái)賺錢。下面我們就來(lái)看看一個(gè)經(jīng)典的例子。
3 配對(duì)交易
EWA 和 EWC 的配對(duì)交易是均值回歸策略的一個(gè)經(jīng)典例子。他們分別代表澳大利亞（EWA）和加拿大（EWC）股指的兩個(gè) ETFs。由于這兩個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)都主要依靠商品，因此我們預(yù)期在特定的線性組合下，這兩個(gè) ETFs 的價(jià)差滿足均值回歸。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，首先畫(huà)出這兩個(gè) ETFs 的價(jià)格序列（下圖）?？梢?jiàn)，它們確實(shí)有很高的相似度，當(dāng)然這兩個(gè)價(jià)格之間的比例并不是 1:1——在絕大多數(shù)情況下，EWA 要比 EWC 高一些，它們之間存在一個(gè)隨時(shí)間變化的比例，這個(gè)比例也稱作 hedge ratio。
如果用 θ_t 來(lái)表示 t 時(shí)刻它們的比例，則可以構(gòu)建如下關(guān)系：
換句話說(shuō)，d_t 就是它們線性組合得到的價(jià)差序列：
如果我們假設(shè) θ_t 不隨時(shí)間變化而是一個(gè)常數(shù)，則可以用這兩個(gè)歷史價(jià)格序列做線性回歸，從而確定 θ 的取值。之后便可以計(jì)算它倆線性組合的價(jià)差序列，如下圖所示。
直觀上看，價(jià)差序列確實(shí)符合均值回歸。對(duì)它進(jìn)行 ADF 檢驗(yàn)，得到的統(tǒng)計(jì)值為 -4.09（p-value 為 0.0065），小于顯著性 1% 對(duì)應(yīng)的閾值 -3.96，這說(shuō)明我們可以在 99% 的置信水平下拒絕原假設(shè)。ADF 檢驗(yàn)說(shuō)明該價(jià)差序列滿足均值回歸。
如何利用這個(gè)價(jià)差序列來(lái)構(gòu)建量化策略呢？首先必須明確的是，在這個(gè)策略中，我們交易的將是這個(gè)價(jià)差。當(dāng)價(jià)差在均值之下的時(shí)候，則做多價(jià)差；當(dāng)價(jià)差在均值之上的時(shí)候，則做空價(jià)差。但不要忘記，價(jià)差是我們?nèi)藶闃?gòu)建的。因此在實(shí)際交易中也必須通過(guò)配對(duì)交易 EWC 和 EWA?來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)價(jià)差的多空交易。根據(jù)價(jià)差的數(shù)學(xué)表達(dá)式，最終的量化策略為：
當(dāng) d_t 小于均值之下的某個(gè)閾值時(shí)（做多買入點(diǎn)，long entry），做多 d_t，即做多 1 個(gè)單位的 EWC 并同時(shí)做空 θ_t 個(gè)單位的 EWA，當(dāng) d_t 回歸到均值之上的某個(gè)閾值時(shí)（做多平倉(cāng)點(diǎn)，long exit），平倉(cāng)；
當(dāng) d_t 大于均值之上的某個(gè)閾值時(shí)（做空買入點(diǎn)，short entry），做空 d_t，即做空 1 個(gè)單位的 EWC 并同時(shí)做多 θ_t 個(gè)單位的 EWA，當(dāng) d_t 回歸到均值之下的某個(gè)閾值時(shí)（做空平倉(cāng)點(diǎn)，short exit），平倉(cāng)。
在實(shí)際交易中，必須確定多空雙向交易開(kāi)倉(cāng)和平倉(cāng)的閾值。此外，我們也假設(shè)這兩個(gè)投資品的比例 θ_t 是隨時(shí)間變化的。在我們的實(shí)驗(yàn)中，采用狀態(tài)空間模型（state space model）中的卡爾曼濾波（Kalman filter）算法來(lái)動(dòng)態(tài)確定 θ_t 以及上面提到的閾值的取值。狀態(tài)空間模型的思想可以簡(jiǎn)述為它將 θ_t 看作一個(gè)未知的狀態(tài)，并通過(guò)觀測(cè)值來(lái)確定狀態(tài)的取值。詳細(xì)的介紹超出本文的范疇，我們會(huì)在今后某期量化核武研究專題中介紹狀態(tài)空間模型。由于交易的是 ETFs，我們假設(shè)萬(wàn)分之三的成本。在這種假設(shè)下，上述價(jià)差交易策略的凈值曲線和最大回撤曲線如下：
在回測(cè)期內(nèi)，策略的年化連續(xù)復(fù)利收益率為 8.72%，最大回撤 -9.38%，夏普率 1.00。從凈值和最大回撤曲線中看出很大的一部分收益來(lái)自 2009 年；另外，在 2013 年到 2015 年間，策略發(fā)生了長(zhǎng)達(dá) 700 多個(gè)自然日的回撤。盡管如此，策略的整體表現(xiàn)依然算是可圈可點(diǎn)，因此這哥倆的配對(duì)交易算是均值回歸策略里面的經(jīng)典案例。
在上面這個(gè)例子中，讓我們?cè)敢庀嘈旁搩r(jià)差能夠維持均值回歸的根本原因是基本面層面的，即澳大利亞和加拿大這兩個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)都由商品貿(mào)易主宰。只要這個(gè)先決條件不變，我們有理由相信它們的價(jià)差會(huì)一直均值回歸下去。但是必須說(shuō)明的是，與趨勢(shì)追蹤策略的“收益無(wú)限、風(fēng)險(xiǎn)有限”恰恰相反的是，均值回歸策略“收益有限、風(fēng)險(xiǎn)無(wú)限”。當(dāng)基本面原因的突然消失以及使用超高杠桿時(shí)，一個(gè)均值回歸策略必然驟然失效、導(dǎo)致慘痛的虧損。長(zhǎng)期資本的故事正是如此。
4 長(zhǎng)期資本的教訓(xùn)
長(zhǎng)期資本管理公司（Long-Term Capital Management）曾經(jīng)是美國(guó)華爾街首屈一指的對(duì)沖基金公司，在基本沒(méi)有虧損和回撤的情況下，取得了 1994 成立至 1997 年輝煌頂峰每年費(fèi)后 28.5%、42.8%、40.8% 和 17% 的投資凈回報(bào)。1998 年初其凈資產(chǎn)達(dá)到 46 億美元，通過(guò) 33 倍杠桿控制 1500 億美元規(guī)模的金融資產(chǎn)。
長(zhǎng)期資本管理公司的投資策略基于市場(chǎng)的有效性，認(rèn)為資本市場(chǎng)不合理的債券利差會(huì)逐漸減小，可以通過(guò)買入低估資產(chǎn)/賣出高估資產(chǎn)賺取這部分利差。他們通過(guò)對(duì)大量歷史數(shù)據(jù)的測(cè)算，認(rèn)為可以通過(guò)對(duì)債券投資進(jìn)行嚴(yán)格對(duì)沖，保證一個(gè)極低的風(fēng)險(xiǎn)暴露。在執(zhí)行層面，他們通過(guò)精確的電腦自動(dòng)數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)眾多寶貴的債券利差投資機(jī)會(huì)，并通過(guò)向同業(yè)金融機(jī)構(gòu)融資，運(yùn)用巨大的財(cái)務(wù)杠桿來(lái)放大收益。
1998 年初，亞洲金融危機(jī)爆發(fā)后低信用等級(jí)國(guó)債相較歐美國(guó)債利差顯著擴(kuò)大。經(jīng)過(guò)模型計(jì)算，長(zhǎng)期資本管理公司的交易員相信互換利率交易利差會(huì)逐漸回縮。所以，他們動(dòng)用大量資金拋空互換利率交易利差。1998 年 8 月，俄羅斯金融危機(jī)爆發(fā)，俄羅斯違背了承諾拒絕償付債款并任由盧布貶值；國(guó)際炒家和投資者紛紛撤資，從各種低信用等級(jí)債券中倉(cāng)皇出逃，而這些撤出的資金唯一目的地就是風(fēng)險(xiǎn)較低的歐美國(guó)家債券。所以，美國(guó)短期債券和 30 年長(zhǎng)期債券利率大幅下調(diào)，長(zhǎng)期資本公司持有的大量俄羅斯債券以及各種低信用國(guó)債利率火箭攀升，二者之間的利差并未如預(yù)期縮小而是進(jìn)一步顯著放大，高杠桿下產(chǎn)生的虧損驚人，長(zhǎng)期資本管理公司的凈資產(chǎn) 1 個(gè)多月時(shí)間縮水 60%，被迫被美林、摩根出資收購(gòu)接管，并于 2000 年徹底倒閉清算。這個(gè)教訓(xùn)是對(duì)均值回歸“風(fēng)險(xiǎn)無(wú)限”最好的詮釋。
5 正確認(rèn)知
盡管具有“收益有限、風(fēng)險(xiǎn)無(wú)限”的特性，但均值回歸策略仍然在量化投資中占據(jù)著一席之地。如何來(lái)正確的看待它的優(yōu)缺點(diǎn)呢？首先，隨著層出不窮的金融工具，越來(lái)越多的投資品的線性組合將會(huì)滿足均值回歸特性。滿足協(xié)整的投資品都存在某種基本面的原因，比如上面的 EWA 和 EWC，又比如 GDX 和 GLD —— 前者是跟蹤金礦開(kāi)采公司而后者跟蹤黃金。諸如此類的例子還有很多。此外，均值回歸策略在投資的頻率和周期上非常靈活。我們既可以在高頻交易中找到價(jià)格的背離而運(yùn)用均值回歸策略，又可以在低頻的價(jià)值投資中找到價(jià)格偏離基本面價(jià)值的公司來(lái)進(jìn)行投資（價(jià)格最終會(huì)回歸到基本面價(jià)值）。因此均值回歸策略的適用面非常廣泛。另一方面，均值回歸和主流的趨勢(shì)追蹤策略有很高的互補(bǔ)性。同時(shí)使用的話可以提高一個(gè)投資組合的夏普率。這些都是均值回歸策略的優(yōu)點(diǎn)。
而缺點(diǎn)方面，就如同上面長(zhǎng)期資本的例子。誰(shuí)也不知道基本面原因是否會(huì)突然失效。舉個(gè)例子，GDX 和 GLD 的價(jià)差在 2008 年突然失效，后來(lái)得知是因?yàn)槟茉磧r(jià)格的躥升（金礦開(kāi)采需要大量能源）。因此，如果沒(méi)有做好風(fēng)控而依然等著價(jià)差回歸的話可能會(huì)因此而死的很慘。后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)，GDX、GLD 和油價(jià)三者從那之后可以構(gòu)建出滿足協(xié)整的線性組合。再有就是當(dāng)一個(gè)均值回歸策略讓使用者嘗到甜頭之后，因?yàn)槠漭^高的夏普率，投資者往往會(huì)變得非常大膽從而不自覺(jué)的加大杠桿。這無(wú)疑相當(dāng)于身上隨時(shí)綁著一顆雷。一旦價(jià)格未按預(yù)想的回歸，則有可能在很短的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生巨大的虧損。
最后來(lái)看看均值回歸策略都有哪些應(yīng)用場(chǎng)景：
股票配對(duì)：同行業(yè)內(nèi)相似的公司（比如花旗銀行和美國(guó)銀行）的股價(jià)的價(jià)差可能滿足均值回歸。但無(wú)論在基本面還是操作層面，這都是有困難的?；久鎸用?，每個(gè)公司有自身獨(dú)有的風(fēng)險(xiǎn)，因此無(wú)法保證價(jià)差回歸。操作層面，配對(duì)交易需要做空股票，這是有高額的成本的。
ETF 配對(duì)：ETF 配對(duì)交易比股票配對(duì)交易要更切實(shí)際一些，就如同上面 EWA 和 EWC 的例子。此外，ETF 由于包括一籃子股票，它可以規(guī)避公司特有的風(fēng)險(xiǎn)。
指數(shù)套利：這指的是同時(shí)交易指數(shù)以及構(gòu)成該指數(shù)的成分股。當(dāng)然，這僅僅是理論上存在套利的可能，而實(shí)際交易是要面對(duì)種種限制以及可觀的交易成本。
截面均值回歸：我們可以考慮一籃子股票。這里均值回歸的定義為，這些股票的價(jià)格雖然不一定相對(duì)于它們各自的長(zhǎng)期均值回歸，但是它們的收益率會(huì)相對(duì)于這一組股票的平均收益率來(lái)回歸。即這一籃子股票中，之前漲的好的可能要跌一跌，而之前跌的多的就要漲一漲。這也就是人們常說(shuō)的“補(bǔ)漲補(bǔ)跌”，相信你一定不陌生。
恐慌指數(shù)均值回歸：芝加哥期權(quán)交易所的 VIX 恐慌指數(shù)遠(yuǎn)近聞名。它測(cè)量的是標(biāo)普 500 指數(shù)在未來(lái) 30 天的波動(dòng)率情況。不論你是否相信，波動(dòng)率自身呈現(xiàn)一定的均值回歸特性。這是因?yàn)椴▌?dòng)率不可能持續(xù)的增大或者減?。ㄏ胂笠幌虏▌?dòng)率持續(xù)往一個(gè)方向變化是，對(duì)應(yīng)的收益率會(huì)如何變化），因此它只能圍繞均值波動(dòng)。因此，市場(chǎng)中有很多圍繞 VIX 的投資工具（比如 VXX 和 XIV）進(jìn)行均值回歸的策略。
商品期貨配對(duì)：商品期貨市場(chǎng)蘊(yùn)含了均值回歸策略的巨大機(jī)會(huì)。外匯的交叉匯率以及商品的跨期套利、跨市場(chǎng)套利都是孕育均值回歸策略的肥沃土壤。
這些巨大的應(yīng)用前景維持著均值回歸策略旺盛的生命力；任何一個(gè)量化投資團(tuán)隊(duì)都無(wú)法對(duì)它視而不見(jiàn)。
免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險(xiǎn)，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見(jiàn)并不構(gòu)成對(duì)任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對(duì)任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說(shuō)明外，文中圖表均直接或間接來(lái)自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。