作者：石川

摘要：考夫曼自適應(yīng)均線是一個(gè)優(yōu)秀的移動(dòng)平均算法，它根據(jù)價(jià)格噪聲大小動(dòng)態(tài)決定均線的衰減系數(shù)，在快、慢均線之間切換。

1 引言

本期精選技術(shù)指標(biāo)聊一聊考夫曼自適應(yīng)移動(dòng)平均（Kaufman Adaptive Moving Average，簡(jiǎn)稱?KAMA）。它由系統(tǒng)分析大師佩里 ? 考夫曼（Perry Kaufman）發(fā)明，是一種高級(jí)均線算法，能根據(jù)價(jià)格曲線噪聲的大小自動(dòng)確定計(jì)算價(jià)格均線時(shí)的衰減系數(shù)。我們重點(diǎn)講一講 KAMA 作為移動(dòng)平均線的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，并將它利用到不同投資品的價(jià)格上，說(shuō)明它作為一個(gè)系統(tǒng)交易工具的作用。

2 從價(jià)格噪聲說(shuō)起 —— 效率比

移動(dòng)平均的目的是捕捉價(jià)格曲線的低頻趨勢(shì)，而趨勢(shì)很容易被掩蓋在噪聲之中，因此價(jià)格噪聲無(wú)疑是移動(dòng)平均的敵人。如果價(jià)格的噪聲很小，我們則可以利用塊均線捕捉趨勢(shì)（比如 10 日或者 20 日均線）；而如果價(jià)格的噪聲太大，就要使用更慢的均線（比如 50 日或者 100 日均線）。

可見，價(jià)格均線如果想要有“自適應(yīng)性”，就必須考慮價(jià)格曲線的噪聲。這就是考夫曼移動(dòng)平均的出發(fā)點(diǎn)。在 KAMA 中，如何衡量噪聲的大小呢？來(lái)看下面這個(gè)例子。下圖為三條假想的價(jià)格曲線：它們?cè)诔跗诤湍┢诘膬r(jià)格都相同——即在這段時(shí)間中，價(jià)格的凈變化（net move）都是一樣的——但是這三條曲線實(shí)現(xiàn)這個(gè)凈變化的軌跡卻大相徑庭。這三條價(jià)格曲線中：

這個(gè)例子給我們一個(gè)啟發(fā)：對(duì)于給定的計(jì)算窗口，在同樣的凈變化下（即價(jià)格的位移），價(jià)格曲線軌跡的路程越大則價(jià)格的噪聲越高。將上面這句話翻譯成數(shù)學(xué)，就得到了一個(gè)定量衡量?jī)r(jià)格噪聲的指標(biāo) ——?效率比（efficiency ratio）。它的定義如下：

其中，P_t 是時(shí)刻 t 的價(jià)格，n 為時(shí)間窗口，ER_t 則為 t 時(shí)刻的效率比。效率比的取值在 0 和 1 之間，它越大說(shuō)明噪聲越低。上面這三條假想的價(jià)格曲線的效率比分別為 1.0（無(wú)噪聲）、0.56（低噪聲）、和 0.06（高噪聲）。

有了計(jì)算噪聲的方法后，考夫曼所做的就是用它來(lái)計(jì)算指數(shù)平滑中的衰減系數(shù) α，從而實(shí)現(xiàn)“在噪聲高時(shí)，使用慢均線，即更低的 α；在噪聲低時(shí)，使用快均線，即更高的 α”。這就是考夫曼均線的核心 —— 使用指數(shù)平滑計(jì)算移動(dòng)均線，計(jì)算時(shí)根據(jù)價(jià)格的效率比動(dòng)態(tài)的調(diào)整指數(shù)平滑的參數(shù) α，α 與效率比正相關(guān)。下面就來(lái)看看考夫曼均線的具體計(jì)算公式。

3 考夫曼自適應(yīng)移動(dòng)平均

在考夫曼均線 KAMA 的計(jì)算中，用到了快、慢兩個(gè)時(shí)間窗口，它們作為輸入的常數(shù)，用于產(chǎn)生快、慢兩個(gè)默認(rèn)的衰減系數(shù)。令 f（fastest）和 s（slowest）分別代表快、慢兩個(gè)時(shí)間窗口的長(zhǎng)度，則這兩個(gè)默認(rèn)的衰減系數(shù)為：

這兩個(gè)默認(rèn)的衰減系數(shù)相當(dāng)于 KAMA 所采用的衰減系數(shù)兩個(gè)極限情況（一旦 f 和 s 的數(shù)值給定，這兩個(gè)默認(rèn)衰減系數(shù)也不再變化；對(duì)于 KAMA 來(lái)說(shuō)它們是常數(shù)）。前面說(shuō)過(guò)，KAMA 的本質(zhì)是動(dòng)態(tài)計(jì)算衰減系數(shù)的指數(shù)平均。它的衰減系數(shù)是上述這兩個(gè)默認(rèn)值 α_f 和 α_s，以及效率比的函數(shù)。在 t 時(shí)刻，KAMA 的衰減系數(shù)為：

由上一節(jié)的介紹可知，ER_t 是時(shí)間窗口 n 內(nèi)的效率比（因此，計(jì)算 ER 的時(shí)間窗口 n 便是計(jì)算 KAMA 的第三個(gè)，也是最后一個(gè)參數(shù)）。如果在這段時(shí)間內(nèi)價(jià)格單方向運(yùn)動(dòng)（即連漲或者連跌），那么 ER_t 的取值為 1；如果在這段時(shí)間內(nèi)價(jià)格反復(fù)波動(dòng)而位移卻為 0，則 ER_t 的取值為 0。當(dāng)這兩種極端情況出現(xiàn)時(shí)：

在 KAMA 的計(jì)算公式中，f 和 s 的默認(rèn)取值為 2 和 30。由于上述計(jì)算 α_t 的公式中有一個(gè)二次方，因此實(shí)際上在上述兩種極端情況下，α_t 對(duì)應(yīng)的是時(shí)間窗口長(zhǎng)度為 4 和 900 的快、慢均線，因此 KAMA 有時(shí)可以很快、有時(shí)又會(huì)很慢，這完全取決于噪聲的大小。在實(shí)際使用時(shí)，使用者應(yīng)根據(jù)投資品價(jià)格的實(shí)際特征確定 f 和 s 的最佳取值。當(dāng)然，上述極端情況很不容易出現(xiàn)。在一般情況下，ER_t 是一個(gè) 0 到 1 之間的數(shù)，因此效率比又被稱為分形效率（fractal efficiency）。從公式中容易看出，

得到當(dāng)期的衰減系數(shù) α_t 之后，就可以將指數(shù)平均算法作用于價(jià)格序列 P_t 之上，求出價(jià)格序列的考夫曼均線 KAMA：

由上面的介紹可知，計(jì)算 KAMA 需要三個(gè)參數(shù)，它們是計(jì)算效率比的窗口 n、以及計(jì)算快、慢兩個(gè)默認(rèn)衰減系數(shù)的窗口 f 和 s。以上證指數(shù)的日收盤價(jià)為例為例，下圖為 n = 8，f = 5，s = 30 時(shí)的考夫曼自適應(yīng)均線（綠色）和上證指數(shù)收盤價(jià)的比較。

無(wú)論是在趨勢(shì)明顯的牛熊市還是在糾結(jié)的震蕩市中，KAMA 都比較平滑，并沒(méi)有出現(xiàn)在震蕩市中反復(fù)變化均線方向的情況。這得益于它在震蕩市中可以自適應(yīng)的根據(jù)市場(chǎng)的噪聲決定采用更長(zhǎng)周期的均線來(lái)過(guò)濾掉過(guò)高的噪聲。而在牛熊市交替的時(shí)候，KAMA 的反應(yīng)速度也比較令人滿意，它十分果斷的改變方向。這相對(duì)于長(zhǎng)周期的簡(jiǎn)單移動(dòng)平均來(lái)說(shuō)無(wú)疑大大降低了滯后性。下面就來(lái)看看使用 KAMA 擇時(shí)的效果。

4 基于 KAMA 的簡(jiǎn)單擇時(shí)

由于 KAMA 捕捉低頻趨勢(shì)，因此我們可以基于此構(gòu)建一個(gè)簡(jiǎn)單的純多頭股票擇時(shí)策略：

這里正、負(fù)閾值分別為：

其中 ΔKAMA 為 KAMA 的變化量，std 為求它的標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)每次的交易成本為萬(wàn)分之五。在計(jì)算 KAMA 時(shí)，參數(shù)為 n = 8，f = 5，s = 30；并且采用滾動(dòng)窗口為 50 計(jì)算上述正、負(fù)閾值。該策略在上證指數(shù)上的擇時(shí)效果如下圖所示。

圖中，綠色 KAMA 擇時(shí)凈值，而藍(lán)色為基準(zhǔn)指數(shù)本身的凈值。在過(guò)去 15 年里，KAMA 簡(jiǎn)單擇時(shí)策略可以取得 15.5% 的連續(xù)復(fù)利年化收益，夏普率 0.853，最大回撤為 -29.3%。這些指標(biāo)遠(yuǎn)超基準(zhǔn)指數(shù)本身。

最后再來(lái)看看 KAMA 在商品期貨上面的效果。交易品種為如下商品期貨的合成指數(shù)：鄭商所的棉花、大商所的豆粕以及上期所的螺紋鋼、橡膠和滬鋅。每筆最大虧損定為資金量的 2%，并采用跟蹤止損。假設(shè)在每日收盤后利用最新價(jià)格數(shù)據(jù)計(jì)算 KAMA，并通過(guò)判斷它的變化是否超過(guò)正、負(fù)閾值決定是否產(chǎn)生交易信號(hào)（由于商品期貨可以做空，因此當(dāng) KAMA 均線向下且超過(guò)負(fù)閾值時(shí)，我們用做空取代股票策略中的空倉(cāng)）。如果產(chǎn)生了交易信號(hào)，則按下一個(gè)交易日的開盤價(jià)執(zhí)行。每筆交易的手續(xù)費(fèi)和滑點(diǎn)之和為千分之一。

在從 2011 年開始的回測(cè)期內(nèi)，KAMA 簡(jiǎn)單擇時(shí)策略可以獲得 14.4% 的連續(xù)復(fù)利年化收益，最大回撤 -21.13%，夏普率 0.871。本文的目的是為了說(shuō)明 KAMA 的原理和特點(diǎn)，因此我們對(duì) KAMA 的擇時(shí)策略的討論到此為止。

5 結(jié)語(yǔ)

移動(dòng)平均線是技術(shù)分析中一種分析投資品價(jià)格時(shí)間序列的常用工具。移動(dòng)平均可過(guò)濾掉價(jià)格的高頻噪聲，反映其中長(zhǎng)期趨勢(shì)，輔助投資者做出投資判斷。KAMA 是一個(gè)優(yōu)秀的移動(dòng)平均算法，它根據(jù)價(jià)格曲線自身的噪聲大小動(dòng)態(tài)的決定計(jì)算均線的衰減系數(shù)，從而自動(dòng)地在快、慢均線之間切換。

無(wú)論是什么技術(shù)指標(biāo)，若想通過(guò)它持續(xù)地賺到錢，必須充分理解該指標(biāo)的原理和它反映的本質(zhì)、并堅(jiān)持使用它。對(duì)于任何指標(biāo)，必須判斷它是否適合我們面對(duì)的市場(chǎng)。通過(guò)嚴(yán)格的歷史回測(cè)和分析，可以計(jì)算出技術(shù)指標(biāo)的有效性。此外，隨著市場(chǎng)自身內(nèi)在的變化，回測(cè)中有效的技術(shù)指標(biāo)也許會(huì)在將來(lái)的某一天失效。因此我們應(yīng)用動(dòng)態(tài)和發(fā)展的眼光看問(wèn)題，以檢驗(yàn)指標(biāo)是否持續(xù)有效。

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