作者：石川

摘要：Black-Litterman 模型克服了 MPT 中投資品收益率難以預測以及配置結(jié)果對輸入高度敏感的缺點，被投資界廣泛接受。

1 引言

毫無疑問，馬科維茨（Harry Markowitz）的現(xiàn)代投資組合理論（Modern Portfolio Theory）對于量化投資有著開天辟地的作用。它通過“均值 — 方差”最優(yōu)化來確定最佳資產(chǎn)配置組合，同時考慮收益的最大化和風險的最小化（Markowitz 1952）。馬科維茨也因此獲得 1990 年諾貝爾經(jīng)濟學獎。

然而，令人倍感意外的是，“均值 — 方差”法雖然在數(shù)學上十分優(yōu)雅，但它在投資實務中的影響卻遠不及它在理論上的名聲卓著。究其原因，是因為它給出的最佳投資組合對該模型的核心輸入之一即投資品的期望收益率非常敏感；而且期望收益率很難準確預測。

為解決這個問題，兩位量化投資界的先驅(qū) —— 高盛的 Fischer Black 和 Robert Litterman 發(fā)明了大名鼎鼎的 Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型（Black and Litterman 1992）。該模型以市場均衡假設推出的資產(chǎn)收益率為出發(fā)點，結(jié)合投資者對不同投資品收益率的主動判斷，最終確定投資品的收益率和最佳的投資組合配置。

本文就來介紹 Black-Litterman 模型，它的核心是對收益率進行貝葉斯收縮。首先讓我們來看看馬科維茨的“均值 — 方差”模型為什么在實際中不好用。

2 均值—方差模型：冰冷的現(xiàn)實

假設我們要在 N 個投資品之間進行資產(chǎn)配置。馬科維茨的現(xiàn)代資產(chǎn)配置理論以這些投資品的期望收益率和協(xié)方差矩陣作為輸入，通過最優(yōu)化下列目標函數(shù)求出最佳的投資組合：

其中 μ 表示投資品的期望收益率向量，Σ 表示投資品的協(xié)方差矩陣，δ 表示投資者的風險厭惡系數(shù)，w 則是投資品在投資組合中的配置權(quán)重。在不考慮任何約束的情況下，該問題的最優(yōu)解，即最佳資產(chǎn)配置為：

該模型之所以在實際中被專業(yè)投資機構(gòu)詬病有兩個原因。第一是因為它的輸入非常嚴苛：投資者必須提供待配置投資品的期望收益率和協(xié)方差。一旦預測的數(shù)值非常離譜，那么資產(chǎn)配置效用的最大化就變成誤差的最大化。對于協(xié)方差，通過歷史數(shù)據(jù)計算尚且能用，但是對于未來的期望收益率的準確預測卻難上加難。二者相較，期望的預測比協(xié)方差的預測更加重要。Chopra and Ziemba (1993) 指出，收益率期望的誤差對資產(chǎn)配置的影響比協(xié)方差的影響高一個數(shù)量級。第二個原因是，它求出的最佳資產(chǎn)配置權(quán)重對期望收益率非常敏感。當期望收益率有哪怕僅僅一點變化時，它給出的最佳配置較之前的配置可能發(fā)生很大的改變，這樣的結(jié)果很難被投資者所接受。

來看一個例子。假設我們的投資品來自下列七個國家的股市：澳大利亞、加拿大、法國、德國、日本、英國和美國。通過歷史數(shù)據(jù)得到這些投資品收益率的協(xié)方差矩陣如下（注：本文中的所有數(shù)據(jù)都是假想的，僅做示意之用）：

對于收益率，由于不好預測，我們假設這七個國家的期望收益率都是 5%，并假設風險厭惡系數(shù)為 2.5。根據(jù)“均值 — 方差”最優(yōu)化，得到的最優(yōu)資產(chǎn)配置權(quán)重如下圖中的藍色柱狀圖所示。按照該配置，我們大幅做空德國，微微做空法國，并做多其他國家。現(xiàn)在，假設我們得到了最新靠譜的研報分析，表明德國的期望收益率將會達到 6%，而法國和英國則僅有 4%，其他國家不變。帶著新的輸入，重新使用“均值 — 方差”最優(yōu)化，新的結(jié)果如下圖中綠色的柱狀圖所示。

比較藍色和綠色的柱狀圖可見，隨著我們對德國、法國以及英國預期收益率的調(diào)整，最佳的權(quán)重也發(fā)生了變化。然而，權(quán)重的變化發(fā)生的非常劇烈（對收益率敏感），我們對這些變化感到非常費解：

這個例子強調(diào)了“均值 — 方差”模型的兩個問題：（1）人們很難有效的預測期望收益率；（2）最優(yōu)資產(chǎn)組合配置對輸入非常敏感，結(jié)果往往難以被人理解。為了解決這兩個問題，Black 和 Litterman 于 1992 年提出了 Black-Litterman 模型。

3 收益率的貝葉斯收縮

與“均值 — 方差”模型相比，Black-Litterman 模型最大的區(qū)別在于對收益率的預測。在收益率預測方面，Black-Litterman 最本質(zhì)的核心是它在貝葉斯框架下使用先驗收益率以及新息得到后驗收益率，它是一種對收益率的貝葉斯收縮（Bayes shrinkage）。得到收益率后，Black-Litterman 模型同樣通過求解第二節(jié)中的最優(yōu)化問題確定最優(yōu)的資產(chǎn)配置權(quán)重。

收益率的貝葉斯收縮是《貝葉斯統(tǒng)計》的一個經(jīng)典應用。我們在《收益率預測的貝葉斯收縮》中介紹過這個技術。經(jīng)典的貝葉斯收縮定義如下：

在數(shù)學上，上述方法的表達式如下：

其中 μ_0，μ_p 及 \bar r 分別表示先驗、后驗、新息期望收益率向量；Ξ 是先驗期望收益率的協(xié)方差矩陣，Σ/T 為新息期望收益率的協(xié)方差矩陣（Σ 為收益率的樣本協(xié)方差矩陣、T 為樣本數(shù)即期數(shù)）；-1 次方表示對矩陣求逆。不難看出，后驗期望收益率?μ_p 就是 先驗 μ_0 和新息 \bar r 的加權(quán)平均，而這兩者的權(quán)重與它們各自的精度（由協(xié)方差矩陣的逆衡量）有關，這就是貝葉斯收縮的核心。在現(xiàn)實中使用上述方法時，對于期望收益率的先驗，可以采用因子法或者經(jīng)驗法估計，不同的方法各有千秋。了解了貝葉斯收縮之后，我們馬上來看解釋 Black-Litterman 模型。

4 貝葉斯框架下的 Black-Litterman 模型

Black-Litterman 模型的本質(zhì)就是一種收益率的貝葉斯收縮，只不過無論是期望收益率的先驗還是新息，都是從投資的實務出發(fā)的（畢竟提出這個的人來自高盛，出發(fā)點是為了解決實際資產(chǎn)配置中遇到的問題）。

先來看看先驗期望收益率。Black-Litterman 模型從市場的供需出發(fā)，認為投資品在整個市場中按其市值的占比體現(xiàn)了當前市場供需關系的均衡狀態(tài)（equilibrium）。投資品市值與市場總市值的比值就是該投資品在這個市場均衡組合中的權(quán)重，記為 w_eq。在這個基礎上，模型進一步假設各投資品的在市場組合中的配置比例 w_eq 是由投資者追求效用的最大化（即第二節(jié)中的最優(yōu)化問題）所致，并由 w_eq 反推出市場均衡狀態(tài)下各投資品的收益率，把它作為先驗：

對于先驗期望收益率的協(xié)方差矩陣，模型假設它和收益率的協(xié)方差矩陣 Σ 有著同樣的結(jié)構(gòu)，但是數(shù)量級要小很多。它用一個很小的標量 τ 作為縮放尺度，得到先驗期望收益率的協(xié)方差矩陣 τΣ。再來看看新息期望收益率。Black-Litterman 模型將新息定義為投資者對于投資品收益率相對強弱的主動判斷（稱為 views，即觀點）。舉個例子，有兩個投資品 A 和 B，我們通過分析認為 A 比 B 的期望收益率要高 2%，這意味著做多 A 并同時做空 B 的投資組合可以獲得 2% 的收益。在數(shù)學上，假設 E[A] 和 E[B] 表示 A 和 B 的新息期望收益率，則上述觀點可以表述為：

其中 P 是 K × N 矩陣（K 表示 views 的個數(shù)；N 表示投資品的個數(shù)；本例中 P = [1, -1]）；μ 表示新息期望收益率向量（本例中是 [E[A], E[B]]’）；Q 是 K 階向量（本例中 Q = [0.02]），表示每個 view 中投資品收益率相對強弱的大小。這個方法的好處是，它事實上根本無需投資者來猜 μ（在稍后的推導中可以看到，μ 不出現(xiàn)在貝葉斯收縮的表達式中），而只需要投資者提供矩陣 P 和向量 Q 來表達自己的觀點。

現(xiàn)實中，投資者往往對自己的 views 并不是 100% 確定。這時，我們可以把收益率相對強弱的取值理解為來自一個正態(tài)分布，并通過該分布的標準差來描述主動判斷的不確定性。例如在上面的例子中，我們可以說 A 比 B 的期望收益率要高 2%，而標準差為 3%。在數(shù)學上，該模型使用 K × K 的矩陣 Ω 記錄 views 的不確定性。模型假設 views 之間相互獨立，因此 Ω 是一個對角陣，對角線上的元素表示對這 K 個 views 的方差。最后，通過 P 將 Ω 的逆矩陣轉(zhuǎn)化為 P’(Ω^-1)P（N × N 矩陣）作為新息期望收益率的精度。

把先驗和新息期望收益率套到貝葉斯收縮的框架中就得到 Black-Litterman 模型下的后驗期望收益率：

上面的推導中用到了 Pμ = Q，從而巧妙的將 μ 從貝葉斯收縮的表達式中消除了。求出后驗期望收益率 μ_p 之后，帶入第二節(jié)的最優(yōu)化問題中，便可以求出 Black-Litterman 模型下的最優(yōu)投資組合權(quán)重：

下面就來幾個 Black-Litterman 模型應用的例子。

5 應用舉例

我們?nèi)匀患僭O市場中包括本文第二節(jié)提到的七個國家的股市。它們的協(xié)方差矩陣已在第二節(jié)給出。假設它們在市場均衡狀態(tài)下的權(quán)重 w_eq 如下表所示。進一步的，另標量 τ = 0.1 且風險厭惡系數(shù) δ = 2.5。根據(jù) δ、w_eq 以及協(xié)方差矩陣 Σ 可以求出先驗期望收益率 μ_0：

首先假設我們只有一個 view：預期德國的期望收益率較英國和法國期望收益率的等權(quán)重之和高 5%，我們對這個判斷的標準差為 20%。上述 view 轉(zhuǎn)換成 Black-Litterman 模型的參數(shù)有：

應用 Black-Litterman 模型得到的后驗期望收益率（綠色）與作為先驗的市場均衡狀態(tài)期望收益率（藍色）比較如下。乍一看去，這個結(jié)果似乎令人意外，因為我們的新息是德國會比英國和法國更好，但是在后驗收益率中，法國和英國的收益率不降反升。這是因為新息僅僅說明英法兩國會比德國差，它并不意味著英、法兩國收益率的絕對取值較先驗會減小。由于英法兩國的收益率和整個市場組合的收益率正相關，且這個新息提高了市場組合的預期，因此英法兩國的后驗收益率也提高了。上述論述對其他國家的后驗收益率同樣成立。

再來看看 Black-Litterman 模型下的最優(yōu)投資組合配置：

上圖中，左圖比較了最優(yōu)配置 w* 和市場均衡配置 w_eq；右圖顯示了這二者的差別。這個結(jié)果清晰的說明，我們關于德國、英國、法國收益率的判斷僅僅影響了它們?nèi)齻€國家在最優(yōu)投資組合中的權(quán)重。由于我們更看好德國，因此它的權(quán)重更高，而英法兩國的權(quán)重相應相抵。其他國家的權(quán)重等于市場均衡狀態(tài)的權(quán)重，不受我們的主觀判斷的影響。這樣的配置結(jié)果非常符合投資者的預期，較馬科維茨的“均值 — 方差”法，Black-Litterman 模型的最優(yōu)配置顯然更容易被投資者接受。

投資者的主動判斷通過 Q（描述相對強弱的幅度）和 Ω（描述投資者對 views 的自信程度）兩個參數(shù)影響著最優(yōu)的資產(chǎn)配置。為了說明這一點，假設在上面的例子中，首先把 Q 從 0.05 提高到 0.08，即我們判斷德國較英法兩國的超額收益更多。在最優(yōu)的資產(chǎn)配置中，我們更加超配德國，低配法國和英國：

再來，我們保持 Q = [0.05]，但是將 Ω 從 0.04 減小到 0.01，即我們對自己的判斷更加有信心。同樣，在最優(yōu)的資產(chǎn)配置中，我們更加超配德國，低配法國和英國（我們甚至做空了法國）：

最后，來看看有多個 views 的情況。假設除了上述德國、法國、英國的 view，我們有另外一個 view：加拿大相對于美國可以獲得 3% 的超額收益，判斷的標準差為 20%。同時考慮這兩個 views，有：

由 Black-Litterman 模型得到的最優(yōu)配置如下圖所示。由于加入了新的關于加拿大和美國的 view，我們超配了加拿大而低配了美國。由于上述兩個 views?均不涉及澳大利亞和日本，它們在投資組合中的權(quán)重不受影響。

6 結(jié)語

Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型解決了馬科維茨模型在應用中的兩個痛點：（1）投資品的期望收益率很難預測；（2）模型對輸入?yún)?shù)太敏感，導致投資者無法理解模型給出的最佳投資組合中投資品的配置權(quán)重。Black-Litterman 模型從市場均衡配置出發(fā)，有效的結(jié)合了投資者對投資品的主動判斷，求出的配置結(jié)果符合投資者的預期。在華爾街，Black-Litterman 模型在高盛以及其他金融機構(gòu)都有著廣泛的應用。

But, and this is a BIG but，該模型在投資實務中能夠帶來超額收益的前提是投資者提供的 views 比較準確。這顯然是以深入了解各投資品背后的邏輯以及大量細致的數(shù)據(jù)分析為前提的。如果 views 很離譜，那么即便是 Black-Litterman 模型給出的最佳配置權(quán)重也無能為力。我們有理由相信，擁有眾多專業(yè)人士的大型金融機構(gòu)在提供主動 views 方面有著獨到的見解。但預測未來有時又談何容易？至少在預測黃金這件事兒上，高盛就常常南轅北轍。

本文簡要介紹了 Black-Litterman 模型，并通過一系列例子說明如何使用它。在這些例子中，我們均考慮的是無約束優(yōu)化。在實際中進行資產(chǎn)配置時，投資者往往需要考慮來自風險、波動率、預算等方面的限制。在這種情況下，根據(jù)后驗收益率求解最優(yōu)化資產(chǎn)配置時需要考慮上述限制。感興趣的讀者可以進一步閱讀 He and Litterman (1999)。

參考文獻

Black, F. and R. Litterman (1992). Global portfolio optimization. Financial Analysts Journal 48(5), 28 – 43.

Chopra, V. K. and W. T. Ziemba (1993). The effort of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice. Journal of Portfolio Management 19(2), 6 – 11.

He, G. and R. Litterman (1999). The intuition behind Black-Litterman model portfolios. Technical note, Goldman Sachs Quantitative Resources Group.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection. Journal of Finance?7(1), 77 – 91.

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