作者：石川

摘要：Fama and French (2020) 系統(tǒng)的比較了時序和截面多因子定價模型，為回答 which beta 提供了有力的依據(jù)。

1 引言

近日，Eugene Fama 和他的老搭檔 Ken French 在 Review of Financial Studies 上發(fā)表了一篇題為 Comparing cross-section and time-series factor models 的最新文章（Fama and French 2020）。顧名思義，該文對比了截面（CS）和時序（TS）兩種因子模型在解釋資產(chǎn)收益率時的效果。這篇文章保留了 FF 一貫簡單、直接、從數(shù)據(jù)出發(fā)的文風(fēng)。但是它在 CS 和 TS 上來回切換，在時序回歸 β 為作為因子載荷和以 firm characteristics 作為因子載荷之間輾轉(zhuǎn)騰挪，讀來也著實令人燒腦。需要對 CS 和 TS 模型，以及使用到的 Fama and MacBeth (1973) Regression（以下記為 FM regression）非常熟悉才不至于在閱讀時迷失。有小伙伴后臺留言希望我們能介紹一下這篇文章，今天就借這個機會對它進行解讀。

Fama and French (2020) 的目的是為了從 TS 和 CS 的比較中找出更好的定價模型（empirical asset pricing model）。它的結(jié)論對于進行因子投資非常有價值，因為更好的模型意味著在截面上能更好區(qū)分股票預(yù)期收益率的差異。在 Fama and French (2020) 一文中，兩位作者先后考慮了四個模型，進行了全方位系統(tǒng)的對比，從實證數(shù)據(jù)中得出了非常符合預(yù)期的結(jié)論，而這個結(jié)論也剛好能回答前文《Which Beta ?》所關(guān)注的核心問題。為此，我給本文起名為《Which Beta (II) ?》。

2?Fama-MacBeth Regression

Fama and French (2020) 一文以 Fama and French (2015) 五因子模型（下文記為 FF5）為 benchmark 構(gòu)建了不同 TS、CS 版本的因子模型。為構(gòu)建 CS 模型，他們采用了 FM regression。傳統(tǒng)的 FM regression 分為兩步：

最初，F(xiàn)ama and MacBeth (1973) 一文是為了檢驗 CAPM。因此，它的第一步是為了得到個股的 market β 值。而如今無論是學(xué)術(shù)界還是業(yè)界的應(yīng)用中，在使用 FM regression 時，往往跳過第一步，而直接運用它第二步中“先單期截面回歸、再從時序上取平均”的思想，以排除殘差收益率的截面相關(guān)性帶來的影響。既然跳過了第一步，那么用什么來做 factor loading 呢？對，正是 firm characteristics。比如我們熟悉的 Barra 模型，其本質(zhì)是一個 FM regression。它沒有使用第一步時序回歸計算 factor loading，而是直接使用了 firm characteristics，并進行第二步的截面回歸計算 factor risk premium。

Fama and French (2020) 也正是使用 firm characteristics 作為 factor loadings，并通過 FM regression 來提出截面因子模型?？紤] FF5 中的五個因子，除了市場因子外，其余四個風(fēng)格因子用到的 firm characteristics 包括 Market Cap（MC）、Book-to-Market（BM）、Operating Profitability（OP）以及 Change of Total Assets（INV）。以這四個指標作為 RHS，以資產(chǎn)下期收益率作為 LHS，可以寫出 FM regression：

在每一期 t – 1， 通過使用該期的指標和 t 期資產(chǎn)收益率進行截面回歸，就可以得到 t 期這些指標的因子收益率。上式中，所有 R 代表的變量均表示不同的收益率，其中 R_zt 為截距項（會在本文第三節(jié)重點說明），e_it 為殘差項。由截面回歸的性質(zhì)可知，這些收益率對應(yīng)的投資組合均為純因子組合。以 R_MCt 為例，它是 MC 因子純因子組合的收益率，該組合滿足在 MC 因子上一個單位的暴露，而在其他三個因子上零暴露。而截距項對應(yīng)的投資組合則滿足其中資產(chǎn)的權(quán)重之和為 1，而在任何風(fēng)格因子上均沒有暴露。將上式中 R_zt 挪到等式左側(cè)得到：

不妨把這個式子稱為（*）式，它是構(gòu)建 CS 定價模型的關(guān)鍵，我們會留在第三節(jié)進行說明。

3?三個模型

Fama and French (2020) 一文共考慮了四個多因子定價模型，兩個 TS 模型，兩個 CS 模型。其中第二個 TS 模型是在其更早的 working paper 版本中并沒有出現(xiàn)，它里面考慮了交叉項。但老實說這第二個 TS 模型并不是對比的重點，所以下文中不做考慮。本文僅介紹三個模型：一個 TS 模型和兩個 CS 模型。TS 模型就是我們熟悉的 FF5：

其中 R_mt 是 t 期市場收益率，R_ft 為 t 期無風(fēng)險收益率，SMB、HML、RMW 以及 CMA 這些是使用相應(yīng) firm characteristics 通過 2 × 3 double sort 構(gòu)建的多空對沖組合的收益率，代表了因子的收益率（具體方法可參考 Fama and French 2015），而小寫字母 b_i、s_i、h_i、r_i、c_i 則代表了公司 i 在這些因子上的暴露，通過時序回歸得到；a_i 是截距項，即該模型無法解釋的超額收益。

說完了 TS 模型，再來說 CS 模型。還記得（*）式嗎？它是 CS 模型的基礎(chǔ)，但它看起來不像個定價模型，原因是它是一個單期的截面回歸。如果我們把全部 T 期的截面回歸跨時間堆疊在一起（用 FF 的話叫 stacked across time），并在（*）等號右邊的表達中將收益率和作為 loading 的 firm characteristics 位置對調(diào)，就可以得到下面這個式子：

通過這個變化，F(xiàn)M regression 搖身一變，成為一個定價模型，這就是第一個 CS 定價模型（記為 CS 模型一）。它是一個四因子模型，因子為 R_MC、R_BM、R_OP 以及 R_INV，factor loading 為這些因子各自對應(yīng)的 firm characteristics。特別需要強調(diào)的是，該因子模型解釋的并不是 TS 模型中 R_it 相對 R_f 的超額收益，而是 R_it 相對 R_zt 的超額收益。

R_zt 是什么呢？從（*）式可知，R_zt 是每個截面上 FM regression 回歸的截距項，因此它顯然和 FM regression 中 LHS 的那些資產(chǎn)的收益率有關(guān)。那么，用什么資產(chǎn)放在 LHS 呢？Fama and French (2020) 的目的是以 FF5 為基礎(chǔ)比較 TS 和 CS 定價模型。因此，顯然不能隨便挑一些無關(guān)資產(chǎn)放在 FM regression 的 LHS，那樣的話 CS 模型的因子就和 FF5 的因子不具備可比性。

從上面的描述中，你大概已經(jīng)猜到了（用紅筆劃重點已經(jīng)劃到那個份兒上了），被放在 FM regression 的 LHS 的資產(chǎn)必須和 FF5 的因子密切相關(guān)；事實上，這些 LHS 資產(chǎn)正是構(gòu)建 FF5 因子的那些投資組合。在 FF5 中，除去市場因子，其他四個因子均是由市值和某個指標 2 × 3 double sort 得到的 6 個投資組合來構(gòu)建。由于在 SMB 之外還有三個因子，因此一共有 6 × 3 = 18 個投資組合。Fama and French (2020) 正是用這 18 個投資組合作為 FM regression 的 LHS，從而求出（*）式中的因子收益率 R_MCt、R_BMt、R_OPt、R_INVt 以及截距項 R_zt。

上述 LHS 資產(chǎn)的選擇在 Fama and French (2020) 中至關(guān)重要，它也對應(yīng)著該文中很重要的一段話：Using the same portfolios (those from the 2×3 sorts) to produce TS and CS factors is important. The cross-section regressions that generate the CS factors optimize the month-by-month description of returns of these portfolios. In contract, the TS factor definitions are arbitrary. Since the same portfolios produce the TS and CS factors,?one central issue in our tests is whether the optimization of the CS factors enhances the description of average returns for test assets beyond those that produce the factors.

上面這段話的意思就是，CS 模型中，每個因子都是截面回歸最優(yōu)化得到的純因子組合，保證了在目標因子上的單位暴露和在非目標因子無暴露；而在 TS 模型中，2 × 3 double sort 得到的因子則沒有這樣的性質(zhì)，每個因子都可能在其他因子上有時變的暴露。基于這種差異，F(xiàn)ama and French (2020) 想要通過實證分析回答的問題是，構(gòu)建因子組合時的這種優(yōu)化能否更好的解釋截面預(yù)期收益率差異？由于 LHS 資產(chǎn)是這 18 個投資組合，那么在 FM regression RHS 的 firm characteristics 顯然也只能是這些投資組合的。這些投資組合的 firm characteristics 由每個組合中個股的相應(yīng)指標按市值加權(quán)得到。此外，對 CS 模型中的每個因子，F(xiàn)ama and French (2020) 將這 18 個組合的指標在截面上進行了常規(guī)的標準化，讓它們截面均值為 0，標準差為 1。

下面我們終于能夠回答 R_zt 是什么了。假設(shè)我們有一個投資組合（稱為 X）是上述 18 個組合的等權(quán)平均。令 R_X 代表這個組合的收益率。依據(jù)上述標準化方法，由于 X 組合是這 18 個組合的平均，因此它在 CS 模型中的全部四個因子上的暴露均為零。把 R_X 和這些零暴露（factor loading = 0）代入到（*）式中有：

R_zt = R_X 意味著 R_zt 正是這 18 個投資組合收益率的均值；這就是 R_zt 的含義。熟悉 Barra 模型的小伙伴也不妨回想一下，R_zt 的作用和 CNE5 中的國家因子是一樣的。由于在 Barra 模型中風(fēng)格因子用市值權(quán)重來做的標準化，因此 CNE5 中的國家因子代表了市值加權(quán)的個股收益率，也就正好是市場因子。這里的 R_zt 和 CNE5 中的國家因子有異曲同工之妙。之所以花費了如此多的筆墨解釋 R_zt，是因為在上述 CS 定價模型中，四因子解釋的是 R_it 相對 R_zt 的超額收益（即 R_it – R_zt）的截面差異。因此，從業(yè)務(wù)上搞清楚 R_zt 的含義至關(guān)重要。

Fama and French (2020) 在上述 CS 定價模型的基礎(chǔ)上又提出了第二個 CS 模型（記為 CS 模型二）：

相比前者，這個版本的 CS 模型就非常好理解了。它實際上是用了時序回歸 + CS 因子。在這個模型中，作為因子的仍然是通過 FM regression 得到的 R_MCt、R_BMt、R_OPt、R_INVt；除此之外還加入了 R_mt – R_ft 這個市場因子，因此該模型是一個五因子模型。它解釋的也是 R_it 相對 R_ft 的超額收益 —— 在這個模型中沒有 R_zt 什么事兒！最重要的是，這個模型也是通過時序回歸求出上述五個因子的 factor loadings。從上面的描述不難看出，第二個 CS 模型直接對標了 FF5。這二者唯一的區(qū)別就是在四個風(fēng)格因子的構(gòu)建上：FF5 使用 18 個 2 × 3 double sort 的投資組合構(gòu)建；而在 CS 模型二中，使用 FM regression 求解純因子模型來構(gòu)建。

作為回顧，下表總結(jié)了這三個不同的定價模型：

4?CS 因子做定價模型？

看到這里，有的小伙伴也許會困惑：FF5 和 CS 模型二非常好理解，它們只是 factor returns 的差異，從定價模型的角度來說，以這些 factor returns 作為解釋變量，只需要對每個 LHS 資產(chǎn)單獨進行時序回歸就能得到其無法被模型解釋的超額收益（時序回歸中的截距 a_i）。而 CS 模型一則有所不同，它的 factor loadings 是 firm characteristics，它只不過是把不同的截面回歸跨時間堆疊在一起使它看起來像一個定價模型。但它從始至終都不進行時序回歸，如何獲得 pricing error 呢？

It is important to be clear about how model (2) is applied in the asset pricing tests of panels B5 and B6 of Table 3.?Panels B5 and B6 do not test model (2) with time-series regressions.

上面這段話出自 Fama and French (2020)，其中 model (2) 就是本文的 CS 模型一。為了使用該模型進行 asset pricing 并求出 pricing error，該文采用了如下兩步：

按照上述兩步就可以得到每個資產(chǎn)每期的 pricing error；將它們在時序上平均就得到該資產(chǎn)在 CS 模型一下的平均 pricing error。為了比較這三個定價模型，需要使用足夠多有代表性的資產(chǎn)放在因子模型的 LHS。Lewellen, Nagel, and Shanken (2010) 指出應(yīng)使用足夠多的投資組合作為 LHS 以避免這些 LHS 資產(chǎn)有非常強的 factor structure、造成檢驗失效；而 Jegadeesh et al. (2019) 更是倡導(dǎo)使用個股作為 LHS 檢驗定價模型。

在 Fama and French (2020) 中，二位作者（自然）沒有使用個股作為 LHS，但是使用了多達 210 個投資組合。構(gòu)建這些投資組合背后的指標即來自構(gòu)建因子的指標，也來自學(xué)術(shù)界常見的異象。比如，對于 BM、OP、INV 這些指標，他們分別使用市值和這些指標進行 5 × 5 double sort 構(gòu)建了 25 個組合（因此 3 個指標一共有 75 個組合），此外 Fama and French (2020) 還考慮了動量指標，也構(gòu)建了 25 個組合。在異象方面，他們考慮了諸如 Black, Jensen, and Scholes (1972) 的 market β 和 Ang et al. (2006) 的低波動異象，構(gòu)建了一共 110 個組合。關(guān)于這些 LHS 組合的具體描述，請參考原文，下面來看實證結(jié)果。

5?實證結(jié)果

為對比不同的 TS 和 CS 定價模型，F(xiàn)ama and French (2020) 使用了大量的實證并進行了充分的穩(wěn)健性檢驗。此外，在評價模型時，他們采用了不同的 metrics，如 Gibbons, Ross, and Shanken (1989) test statistic 以及 pricing error 絕對值均值等。本小節(jié)僅以 Table 3 為例介紹實證結(jié)果。首先來看 Table 3 的 Panel A。

雖然僅僅是 Panel A，但它又細分為 A1 到 A4，包含的信息量非常大。我把最關(guān)鍵的用紅框標出來了。這里，我們只需要關(guān)注 Panels A1 和 A2（因為 A3 和 A4 是關(guān)于那個帶交叉項的模型，本文并不涉及）。Panels A1 和 A2 的區(qū)別只是在于 LHS 投資組合的數(shù)量差異，除此之外它們均是比較了 Fama and French (2020) 中的模型（3）和模型（4），分別對應(yīng)本文中的 TS 模型（FF5）和 CS 模型二（對標 FF5 的那個）。

另外值得一提的是，在 FF5 的基礎(chǔ)上，F(xiàn)ama and French (2020) 也考慮了 UMD 動量因子。當加入動量因子后，其 TS 模型便加入了 UMD 因子，而 CS 模型就加入了 R_MOM 因子。上表中，紅框標出來的 metric（A|α|）是給定定價模型下，所有 LHS 資產(chǎn)的 pricing errors 絕對值的均值。這個值越接近零說明定價模型越出色。從結(jié)果不難看出，無論是五因子還是加入了 UMD 和 R_MOM 的六因子模型，無論是考慮 185 個還是 210 個 LHS 資產(chǎn)，CS 模型二均優(yōu)于其對應(yīng)的 TS 模型。

接下來再看看 Panel B。相比于 Panel A 對比了 TS 模型和 CS 模型二，Panel B 僅僅關(guān)注 CS 模型一，但它巨大的信息量卻更令人“懵逼”。

為了解釋它，我不得不先回顧一下 CS 模型一：

首先，這個模型解釋的是 R_it 相對 R_zt 而非 R_ft 的超額收益；其次，該模型中作為 factor loadings 的是 firm characteristics，而且它們是時變的，而非常數(shù)。記住了這兩條，就可以來看 Panel B 了：

有了上述說明就可以來看結(jié)果了。上表顯示，無論采用哪些 LHS 資產(chǎn)來評價不同模型，我們都可以觀察到這樣的結(jié)果：Panels B5/6 優(yōu)于 Panels B3/4 優(yōu)于 Panels B1/2。進一步的，比較 Panels B5/6 和 Panel A 中的 TS 和 CS 模型二可知，CS 模型一的效果是最好的。比如，當采用 185 個 LHS 資產(chǎn)時，這三個模型的平均定價錯誤絕對值為：

從以上各種對比的結(jié)果中可以得到 Fama and French (2020) 一文的核心結(jié)論：

最后用 Fama and French (2020) 原文對上述結(jié)論做一個總結(jié)：

We close by addressing a central question: What explains the dominance of model (2)? All the models we consider target cross-section variation in average returns related to the same size, value, profitability, investment, and momentum characteristics. And the CS factors of model (2) are constructed from returns on the same 2 × 3 MC-BM, MC-OP, MC-INV, and MC-MOM portfolios that produce the TS factors of model (3).?The way these returns are related to produce the TS factors is, however, arbitrary. In contrast, monthly cross-section FM OLS regressions combine returns and characteristics on the 2 × 3 portfolios to produce CS factors that?optimize?the month-by-month description of returns on these portfolios.

一句話概括：截面回歸得到的純因子組合的 factor returns 比各種 double sort 得到的 factor returns 能夠更好的解釋資產(chǎn)的截面差異。Barra 大概要笑出聲了。

6?結(jié)語

Fama and French (2020) 是一篇典型的 Eugene Fama 的文章，它把 empirical analysis 做到了極致并得出了非常清晰的結(jié)論。不過，我最初精讀完它的 working paper 版本的時候感受也是懵逼的，因為它的信息量太大，而且在各種模型之間切換，給人一種腦容量不夠的感覺。而后來得知這篇文章被 RFS 接受后也是懵逼的。我想大概只有 FF 寫這么一篇文章才能被頂刊接受吧。它實在是太 empirical 了，最終的結(jié)論 —— 雖然異常清晰 —— 也僅僅是建立在 empirical results 之上的。

當然，不管怎樣，該文回答了無論是學(xué)術(shù)界還是業(yè)界都非常關(guān)心的問題，即到底應(yīng)該用什么作為 factor returns 以及用什么作為 factor loadings。從 Fama and French (2020) 的研究結(jié)果來看，CS 純因子組合或大有可為。也許在不久的將來，我們就能看到用 CS 因子來構(gòu)建的因子模型來 PK 掉所有靠各種 sort 獲得的 TS 因子模型了（學(xué)術(shù)界主流 TS 因子模型見 Hou et al. 2019）。So, which beta? 我們也許已經(jīng)有了答案。

參考文獻

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Lewellen, J., S. Nagel, and J. Shanken (2010). A skeptical appraisal of asset pricing tests. Journal of Financial Economics 96(2), 175 – 194.

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