作者：石川

摘要：Ehsani and Linnainmaa (2022) 是 post Fama-French 時代一篇難得的實證佳作。

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很久沒有介紹實證研究了。因為即便是大佬在另類數據的加持下發(fā)表在 top 3 上的那些，也并無太多驚艷。但今天是個例外，我想深度解讀 Ehsani and Linnainmaa (2022)，并利用 A 股數據做一些相似的實證。Ehsani and Linnainmaa (2022) 研究的是一個純粹且重要的問題：截面動量（momentum）。更確切地說，該文研究了因子動量和（個股的）動量因子之間的關聯(lián)。在我看來，這篇文章是 post Fama-French 時代一篇難得的實證佳作。這一點從它能被發(fā)表在?Journal of Finance?上就足以說明。在剛剛結束的 AFA 2023 年會上，該文被評為 2022 DFA Distinguished Paper。

如同是 Fama-French?多因子模型的“心結”一樣，個股上的截面動量（即 Carhart 1997 發(fā)現(xiàn)的 UMD 因子）也是實證資產定價繞不過去的坎兒。其在實證資產定價中的特殊地位可以由下面這句話精彩地概括：不包含動量因子的多因子模型無法解釋動量因子，而加入動量因子后，模型解釋力的提升也僅僅體現(xiàn)在能夠解釋動量因子（Fama and French 2016）。

面對無處不在的動量（Asness, Moskowitz and Pedersen 2013），Ehsani and Linnainmaa (2022) 以因子動量（factor momentum）為切入點，針對因子動量和個股動量，回答了以下問題：

問題一：因子收益率在時序上是否有自相關性？

問題二：因子滿足何種條件時，更容易出現(xiàn)自相關性？

問題三：利用自相關性、基于因子歷史收益率構造的因子動量策略（注意，它類似于 UMD，是以因子組合為 assets 的截面動量策略）和個股截面動量因子（即 UMD）有什么關系？誰是因？誰又是果？

問題四：因子動量能否解釋個股殘差動量？

問題五：如何理解 UMD 因子和其他因子時序無關的實證現(xiàn)象？

下面就通過 5 個小節(jié)介紹 Ehsani and Linnainmaa (2022) 在上述五個問題中的實證結果。此外，在問題一、三以及五中會輔以基于 A 股的實證。數據來自 BetaPlus 小組。

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因子收益率存在時序自相關性是之后以因子為 assets 構造因子動量的基礎，且自相關性應普遍存在于常見的因子之中，否則故意挑那些“好使”的因子來構造就有 data snooping 問題。為此，在實證的一開始，Ehsani and Linnainmaa (2022) 考察了美股以及全球市場中常見因子收益率的自相關性。他們以過去 12 個月的歷史收益率的正負構造了自變量：當收益率為正時，自變量取值為 1，反之為 0。

在時序回歸中，用下個月的收益率對當月的自變量進行回歸（且包含截距項）。在該回歸模型中，截距項代表了過去 12 個月的歷史收益率為負時，下個月的條件月均收益率；而自變量的回歸系數則表示當過去 12 個月的歷史收益率為正 vs. 過去 12 個月歷史收益率為負時，下個月條件月均收益率的差值。由下表中的結果（以美股中的因子為例）可知，除了動量外，其他常見因子自變量的回歸系數均為正，且絕大多數在 5% 或 10% 的顯著性水平下顯著，說明因子收益率的自相關性是普遍存在的，這為后面構造因子動量奠定了基礎。

類似的，來看一下 A 股的實證結果。BetaPlus 小組依上表構造了除 Net share issues 之外的其他因子（共 14 個），實證區(qū)間為 2000 年 1 月到 2023 年 1 月。由于計算歷史收益率需要用掉 12 期數據，因此以下回歸結果是基于 2001 年 1 月到 2023 年 1 月的數據（本文其他 A 股實證結果的實證區(qū)間類似）。

從上述結果來看，基于 A 股的結果和基于美股的并不是那么一致。這體現(xiàn)在并非絕大多數因子自變量的回歸系數顯著為正?？紤]到中美兩個市場的差異以及個股動量效應在 A 股長期來看并不顯著這樣一個經驗事實，上述結果并不意外。不過頗有意思的是，如果將定義自變量的歷史收益率換成過去 7 至 12 個月的累計收益率（而非 1 到 12 個月），則回歸結果（下表）反而更加貼近美股。

上述實證結果背后的含義不在本文的討論范圍之內。但是在下文針對 A 股的實證中，會同時慮兩個版本（即基于過去 12 個月收益率構造的因子動量，以及基于過去 7 – 12 個月收益率構造的因子動量）。

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接下來，Ehsani and Linnainmaa (2022) 基于?Kozak, Nagel and Santosh (2018)?的由情緒驅動的投資者理論模型討論了因子收益率存在時序自相關性的原因。具體的推導，感興趣的小伙伴請參考論文原文，這里直接說結論：

1. 投資者情緒存在很強的持續(xù)性，因而造成了因子收益率的自相關性；

2. 越是那些和股票協(xié)方差矩陣關系密切的因子，即更能解釋資產收益率共同運動的因子，其收益率的自相關性越強。

上述結論和 Kozak, Nagel and Santosh (2018) 利用“市場中不應持續(xù)存在近似無風險的套利機會”這個假設對多因子模型給出的啟示相同：雖然市場中存在套利者，但是出于對系統(tǒng)性風險的規(guī)避，他們不會對那些能夠解釋資產共同運動的因子充分套利，從而留下了收益率的自相關性。上述理論模型對于實證的啟示是，當基于個股收益率的協(xié)方差矩陣、通過 PCA 構造隱性因子（即主成分因子）時，利用高特征值（即波動更大）的那些隱性因子所構造的因子動量要比基于低特征值（即波動更低，從而更有可能被充分套利）的隱性因子的因子動量要顯著。

為了驗證這一點，Ehsani and Linnainmaa (2022) 使用了?Kozak, Nagel and Santosh (2020)?一文中涉及的 47 個風格因子，并通過 PCA 將它們轉化為 47 個主成分，并按照其對應特征值從高到底分成五組：（1）PC1 – PC10；（2）PC11 – PC20；（3）PC21 – PC30；（4）PC31 – PC40；以及（5）PC41 – PC47。通過使用五組分別構造因子動量，Ehsani and Linnainmaa (2022) 證實了理論模型的推論。

以原文 Table III Panel A 為例（上表），它匯報了整個實證區(qū)間以及前后各半個實證區(qū)間內，通過上述五組主成分組合構造的因子動量策略的月均收益率及其 t-statistics。以 PC1 – PC10（即特征值最大的 10 個主成分）為例，在構造因子動量時，在 t 期，根據這 10 個組合過去 12 個月份收益率的正負為依據，做多收益率為正的 PCs 并做空收益率為負的 PCs，以此構造因子動量的多空組合。在 full sample 中，該因子動量組合月均收益率 t-statistics 高達 7.07；這個數值在前后各半個實證區(qū)間內變?yōu)?8.49 和 2.60（a side note：即便是因子動量，也無法逃脫因更多研究被發(fā)表以及被更多人來交易而逐漸變弱這樣一個事實）。

上述結果顯示，無論在哪個實證窗口內，基于更高特征值的主成分因子所構造的因子動量都相對來說更加顯著（經濟上和統(tǒng)計上均如此）。此外，該表的 Panels B 和 C 比較了高特征值和低特征值構造的因子動量相互檢驗的結果，結果顯示前者的因子動量無法被后者解釋。

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實證的第三部分研究的是人們最關心的因子動量和個股上的動量因子之間的關系。

由?APT?可知，個股收益率在理論上可以分解為因子收益率的線性組合。以此為基礎， Ehsani and Linnainmaa (2022) 通過數學推導將個股動量的預期收益率拆解成為四個部分，其中第一部分（也是最重要的一部分）正是由因子收益率的時序自相關性的高低決定。

上述拆解表明，因子動量（部分甚至很大部分）驅動了個股的動量因子。因此，實證上可以預期加入因子動量的多因子模型能夠解釋個股動量。實證結果如下表所示。在實證中，作為被檢驗資產的除了個股動量（表中 Winners – Losers 之外，還有根據該變量排序構造的 10 個 sorted portfolios）；作為多因子模型的包括 FF5，F(xiàn)F5 + UMD 因子（對，你沒看錯，在 FF5 中加上 UMD 因子只為了額外解釋個股動量）；FF5 + 基于常見因子的因子動量（FF5 + ??? ??）以及 FF5 + 基于前 10 個主成分因子的因子動量（FF5 + ??? ??）。

作為解讀，讓我們關注 Winners – Losers 這一行。其 FF5-α?的 t-statistic 為 4.91（顯然 FF5 對個股動量無能為力）。當把 UMD 因子加入 FF5 之后，t-statistics 降為 2.43（依然存在 α 應是由于回歸方程左側個股動量和右側 UMD 因子構造方式不完全一致所致）。最后，當把因子動量（無論是基于常見因子，還是基于主成分因子）加入 FF5 之后，個股動量均無法獲得顯著的超額收益。當使用常見因子時，其超額收益的 t-statistic 為 0.99；而當使用主成分因子時，其 t-statistic 僅為 0.09。上述結果表明，因子動量能夠解釋個股動量。

那么反過來，加入了個股動量 UMD 因子的多因子模型能否解釋因子動量呢？下表給出了解答。請注意，在以下實證中，兩位作者除了標準的 UMD 因子（表中記為 Standard momentum）外，還考察了各種版本的花式 UMD 因子（例如 Industry-adjusted momentum 是經過行業(yè)收益率調整之后的 UMD，等）。然而，無論使用哪個版本的 UMD（甚至是全部版本一起上），其和 FF5 一起構造的多因子模型均無法解釋因子動量（考察標出來的兩列 α）。當使用常見因子構造因子動量時，其超額收益的 t-statistic 在不同版本模型下均在 4.0 以上；而當使用主成分因子構造因子動量時，除中期動量版本的 UMD 外，因子動量超額收益 t-statistic 在其他模型下均在 5.0 以上。因此，個股動量無法解釋因子動量。

下面來看看 A 股的結果?；仡櫟谝还?jié)，我們針對 A 股構造了常見的 14 個因子，除去動量本身外，我們使用剩余 13 個因子構造因子動量（即在每一期，回看過去一段時間的歷史收益率，然后做多歷史收益率為正的因子，做空歷史收益率為負的因子，以此構造因子動量）。在本節(jié)實證中，以 FF5 為基礎（FF5 數據來自 BetaPlus 小組針對 A 股構造并維護的數據，見 www.factorwar.com），先后加上 UMD 因子和因子動量作為多因子模型，即 FF5 +UMD 和 FF5 + Factor Mom。當使用 FF5 + Factor Mom 作為多因子模型時，考察 UMD 因子能否獲得超額收益。結果顯示，UMD 月均超額收益的 t-statistic 為 1.416，并不顯著，和美股一致。不過有意思的是，當使用 FF5 + UMD 作為多因子模型給因子動量定價時，后者的超額收益的 t-statistic 也僅為 1.551，也并不顯著，這和美股的結果并不一致。

以上結果是通過遵循原文的方式，即使用過去 12 個月收益率為依據構造因子動量。作為參考，下面再來看看如果使用過去 7 – 12 個月的收益率為依據構造因子動量會發(fā)生什么。在這個設定下，A 股上呈現(xiàn)出和美股一致的結果：UMD 相對 FF5 + 因子動量的超額收益 t-statistic 僅為 1.405；而因子動量相對 FF5 + UMD 的超額收益 t-statistic 高達 3.304。因此，因子動量能夠解釋個股動量，反之則不然。

由于本節(jié)介紹的內容是 Ehsani and Linnainmaa (2022) 的 main results，因此兩位作者也進行了相當充分的穩(wěn)健性檢驗，其中之一就是因子動量對具體哪些因子以及因子的個數是否敏感。以 14 個美股因子為例，該文考察了因子個數從 1 變化到 14 的情況（1 就相當于是單因子根據動量擇時；14 相當于所有因子一起上）；當因子的個數在 1 到 14 之間時，他們則考察了從所有因子中選出目標數目個因子的全部排列組合，計算每個排列組合構造的因子動量，并將它們的均值作為該個數下的結果。下圖展示了因子動量相對于 FF5 的超額收益的 t-statistic 如何隨因子個數變化。從圖中可以看出，t-statistic 隨因子的個數增加，且持續(xù)顯著。

我也對 A 股進行了同樣的實證。下圖展示了兩種構造因子動量的方法。當使用和美股一樣的方法時（即根據過去 12 個月的收益率），當因子的個數不少于 4 時，因子動量就能獲得相對 FF5 的顯著超額收益；而當使用過去 7 – 12 個月收益率時，當因子不少于 2 個時，即可獲得相對 FF5 的顯著超額收益。此外，第二種方法的超額收益持續(xù)優(yōu)于第一種方法。

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本節(jié)來看看殘差動量。這雖然不是 Ehsani and Linnainmaa (2022) 的 main results，但卻是我格外感興趣的一個內容，因為我一直對殘差動量持懷疑態(tài)度（見《殘差動量——有理有據還是數據挖掘》）。Ehsani and Linnainmaa (2022) 的研究表明，殘差動量是遺漏變量造成的。

為了從直覺上理解，舉個最簡單的例子。假設個股收益率和兩個因子有關，而分析者只觀測到其中一個因子，而把另一個因子當作特質性收益率的一部分。在這種情況下，即便個股特質性收益率滿足 IID，那個被遺漏的因子的動量也會被錯誤地視為殘差動量。

Ehsani and Linnainmaa (2022) 通過模擬和實際數據證實了上述猜想。在模擬中，他們假設資產收益率由 10 個因子決定，并考慮了兩個情景：（1）10 個因子的自相關性相似，且對資產收益率波動的解釋大小也相似；（2）10 個因子中第一個因子解釋資產的波動是其他每個因子的 5 倍，且第一個因子的收益率在時序上是不相關的（所以第一個因子可以理解為市場因子）。在每個情境中，他們分別考慮已知 N 個因子（N 取值 1 到 10）的情況，只要 N < 10，就說明計算殘差動量時遺漏了 10 – N 個因子。

下表展示了模擬的結果，其中 Symmetric Factors 表示情景一；Uncorrelated Market Factor 表示情景二。以情景一為例，在計算殘差動量時，遺漏的變量越多（即 Number of Known Factors 越?。?，殘差動量的 t-statistic 則越大。當模型不存在遺漏變量時，殘差動量也隨之消失。此外，表中另一個非常重要的結果是，在情景二中，個股動量的 t-statistic 為 4.68（表格最下方），而當把市場因子剔除后計算殘差動量時，其 t-statistic 則上升到 5.62（表格第一行）。這是因為，當剔除掉這個沒有自相關的市場因子后，資產收益率的剩余部分更好地捕捉了被遺漏的那 9 個因子的自相關性，從而造成殘差動量相比于包含市場因子計算的個股動量更加顯著。

基于實際數據的實證結果又如何呢？下表中分別考察了原始的 UMD 以及基于 CAPM、FF3 和 FF5 計算的殘差動量。觀察 Average Return 那一列，不難發(fā)現(xiàn)基于 CAPM 的殘差動量要比原始 UMD 更加顯著，這背后的原因恰恰就是上一自然段最后所指出的。再來看控制了因子動量后的結果，無論是以常見因子構造因子動量，還是以主成分因子構造動量，基于 CAPM、FF3 以及 FF5 的殘差動量均不再顯著。而這一結果在使用主成分因子構造因子動量時尤其精彩（三個版本的殘差動量的 t-statistics 分別為 -0.38、0.04 以及 -0.03）。這一結果的含義是，盡管人們不知道 FF5 中到底遺漏了哪些因子，但可以推斷這些被遺漏因子和這 10 個主成分因子密切相關。

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現(xiàn)在，讓我們來看實證的最后一塊拼圖。

本文開篇曾提到 FF5 無法解釋動量（UMD）因子。事實上，任何一個不包含動量因子的 ad-hoc 簡約多因子模型似乎都很難解釋動量。這背后的原因是動量因子和其他因子在時序上的非條件相關性很低。然而，這一經驗事實低估了 UMD 和其他因子的關系。

舉例來說，假如規(guī)模（Size）因子在過去表現(xiàn)很好，那么人們在構造 UMD 因子時也會做多小市值的股票而做空大市值的股票。由于 Size 和 UMD 都做多小市值的股票且做空大市值的股票，因此可以預期它們的收益率在下一期是正相關的。反之，如果 Size 表現(xiàn)很差，那么 UMD 則會做多大市值的股票而做空小市值的股票，因此這兩者下一期則很有可能負相關。同樣的機制可以被用于分析 UMD 和其他別的因子之間的關系：當一個因子在過去一段時間表現(xiàn)很好，那么它和 UMD 在未來就更有可能正相關，反之則負相關。這個分析表明，如果以任意給定因子過去一段時間的表現(xiàn)為條件，來考察 UMD 和該因子的條件相關性，那么將會得到不同的答案。

下表給出了實證結果。其中??表示 UMD 和給定因子的非條件相關系數；??表示當給定因子過去 12 個月收益率為正時，它和 UMD 的相關系數；??表示當給定因子過去 12 個月收益率為負時，它和 UMD 的相關系數。結果清晰的展示出，雖然非條件相關性不高，但一旦分別考察??和??，結果則完全不同。以美股因子為例，除了反轉外，其他所有因子的??均大于零，而所有因子的??均小于零。此外，兩位作者還對??進行了統(tǒng)計檢驗，對于所有因子而言，原假設均能被拒絕。

針對 A 股的實證結果如下。雖不如美股那么明顯，但也在很大程度上是一致的。這些結果均表明，UMD 因子和其他因子之間并非無關，而是它和其他因子時變的條件相關性讓它顯得和這些因子非條件無關，從而也就造成了非條件時序回歸時其他因子無法解釋它的謎團。

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以上就是我對 Ehsani and Linnainmaa (2022) 的解讀。雖然前面五個小節(jié)已經分別回答了本文一開始列出的五個問題，但是在最后還是讓我再把它們放在一起總結一下：

問題一：因子收益率是否有時序自相關性？

回答一：絕大多數因子的收益率存在自相關性。

問題二：因子滿足何種條件時，更容易出現(xiàn)自相關性？

回答二：和個股收益率協(xié)方差矩陣更相關的因子，自相關性更強。

問題三：利用自相關性、基于因子歷史收益率構造的因子動量策略（注意，它類似于 UMD，是以因子組合為 assets 的截面動量策略）和個股截面動量因子（即 UMD）有什么關系？誰是因？誰又是果？

回答三：因子動量能夠解釋個股動量（及其各種變化版本），但個股動量（及其各種版本）無法解釋因子動量。個股動量效應背后的驅動（之一）是因子動量。

問題四：因子動量能否解釋個股殘差動量？

回答四：殘差動量是多因子模型中存在遺漏變量所致，僅僅是被遺漏的因子的動量。一旦不存在模型設定偏誤，殘差動量消失。

問題五：如何理解 UMD 因子和其他因子時序無關的實證現(xiàn)象？

回答五：當控制了歷史收益率之后，UMD 因子和其他因子有很強的正相關或負相關。UMD 因子和其他因子時變的條件相關性使其看上去和其他因子非條件無關。

這篇文章的實證之細致、結果之豐富、推論之重要，無一不令人拍案叫絕。它無愧于?Journal of Finance，也值得每一個研究和使用動量的小伙伴仔細品味，相信你一定會有收獲。Ehsani and Linnainmaa (2022) 于 2019 年 2 月投稿，歷時兩年，2021 年3 月被接收，2022 年最終見刊。然而，一切等待都值得。

參考文獻

Asness, C. S., T. J. Moskowitz, and L. H. Pedersen (2013). Value and momentum everywhere.?Journal of Finance?68(3), 929 – 985.

Carhart, M. M. (1997). On persistence in mutual fund performance.?Journal of Finance?52(1), 57 – 82.

Ehsani, S. and J. T. Linnainmaa (2022). Factor momentum and the momentum factor.?Journal of Finance?77(3), 1877 – 1919.

Fama, E. F. and K. R. French (2016). Dissecting anomalies with a five-factor model.?Review of Financial Studies?29(1), 69 – 103.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models.?Journal of Finance?73(3), 1183 – 1223.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section.?Journal of Financial Economics?135(2), 271 – 292.

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