作者：石川

摘要：比起傳統(tǒng)定義下的動(dòng)量，F(xiàn)F3-α 動(dòng)量能夠獲得顯著的超額收益。然而這背后又藏著哪些不為人知的真相？、

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由多因子模型定義可知，股票的超額收益可以分解為特質(zhì)部分以及被因子解釋的部分。如果使用特質(zhì)收益率計(jì)算動(dòng)量，就構(gòu)成了?α?動(dòng)量。Hühn and Scholz (2018) 指出以 Fama and French (1993) 三因子（FF3）為基準(zhǔn)計(jì)算的 FF3-α 動(dòng)量在美股上有很好的效果。此外，相比于傳統(tǒng)的動(dòng)量，α?動(dòng)量背后的邏輯是投資者對(duì)公司特質(zhì)信息的反應(yīng)不足所致，因此更加持續(xù)；且由于剔除了對(duì)常見(jiàn)因子的暴露，α?動(dòng)量比傳統(tǒng)動(dòng)量波動(dòng)更低。

下面我們看看 FF3-α 動(dòng)量在 A 股上的表現(xiàn)怎么樣。為了構(gòu)造 FF3-α 動(dòng)量因子，利用過(guò)去一段時(shí)間個(gè)股日超額收益對(duì) FF3 的因子超額收益回歸，得到其超額收益 α，并將其作為構(gòu)造 FF3-α 動(dòng)量因子的變量：

??

使用自 2017/01/01 到 2021/06/30 近 5 年的實(shí)證窗口；股票池為從所有在市交易的股票中剔除掉黑名單（包括待退市股票、凈資產(chǎn)為負(fù)股票、風(fēng)險(xiǎn)警示股票和次新股等）和不可交易股票（包括停牌股和一字漲跌停股票等）之后的剩余股票，并剔除異常值（詳細(xì)處理方法請(qǐng)參考《因子投資：方法與實(shí)踐》的 3.1 節(jié)）。在每月末，使用 T – 13 到 T – 2（即剔除最近 1 個(gè)月）的數(shù)據(jù)計(jì)算 FF3-α，通過(guò) portfolio sort 構(gòu)造因子多空對(duì)沖組合，其中多頭和空頭均按照市值加權(quán)。在實(shí)證窗口內(nèi)，上述 FF3-α 動(dòng)量的月均超額收益為 2.05%，因子累計(jì)收益曲線如下圖所示。

由上述介紹可知，α 動(dòng)量理論似乎基礎(chǔ)清晰，在 A 股中的實(shí)證結(jié)果也算給力，看上去是一個(gè)能夠取代傳統(tǒng)動(dòng)量的合格因子。看到這里，細(xì)心地小伙伴可能品出了上面這句話中的關(guān)鍵詞：“似乎”，“也算”，“看上去”。而且，公眾號(hào)的老朋友也許會(huì)感到困惑，因?yàn)樽罱鼛啄暝跈z驗(yàn)因子和異象的文章中，我?guī)缀醪辉偈褂美塾?jì)收益曲線圖了，取而代之的是用檢驗(yàn)結(jié)果的表格。然而，上面實(shí)證分析連 t-statistic 都沒(méi)有給出。這很不“川總寫(xiě)量化”。沒(méi)錯(cuò)，接下來(lái)的內(nèi)容才是本文的重點(diǎn)，我們就來(lái)盤一盤 FF3-α 動(dòng)量誕生之路上的三宗罪。

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先說(shuō)第一宗。John Cochrane 曾說(shuō)過(guò)：Every important number should include a standard error。在上面的檢驗(yàn)中，F(xiàn)F3-α 因子的月均收益率無(wú)疑是我們的目標(biāo)，但是卻只給出了均值（2.05%）而沒(méi)有給出 standard error（或者 t-statistic），取而代之的試圖利用一條持續(xù)上行的累計(jì)收益曲線來(lái)傳遞出它很不錯(cuò)的信號(hào)。沒(méi)有計(jì)算 standard error 就是第一宗罪。

通過(guò)計(jì)算可知，其經(jīng)過(guò) Newey and West (1987) 調(diào)整后的 t-statistic 為 3.06，超過(guò)了 Harvey, Liu, and Zhu (2016) 提出的 3.0 閾值。面對(duì)這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果（而非一條累計(jì)收益曲線），我們似乎終于能松了一口氣。但是，我沒(méi)有告訴你的是，如果不使用 Newey and West (1987) 調(diào)整，那么該因子月均收益率的 t-statistic 只有 2.70，小于 3.0 閾值。另一個(gè)我向你隱瞞的參數(shù)是，計(jì)算 Newey and West (1987) 時(shí)使用的滯后期數(shù)。下表顯示了不同滯后期（L）取值下，該 FF3-α 動(dòng)量因子月均超額收益的?t-statistic 取值。結(jié)果說(shuō)明，我們可以通過(guò)改變 L 的取值來(lái)操縱?t-statistic，使之滿足我們需要的閾值。

然而，如果我不告訴你這些呢？事實(shí)上，t-statistic = 3.06 對(duì)應(yīng)的是 L = 3，而 3 這個(gè)取值是根據(jù) Newey and West (1994) 的算法得到的。因此，如果在行文中使用“考慮到因子收益率的自相關(guān)和異方差，使用 Newey and West (1987) 調(diào)整 standard error 并計(jì)算 t-statistic，在計(jì)算中根據(jù) Newey and West (1994) 確定滯后期 L”將顯得非常自然以及合情合理，不會(huì)給人數(shù)據(jù)操縱的感受。而另一方面，如果我需要的滯后期為 L 等于 4 或者 5，上述措辭又可以被“合情合理地”改為“遵循使用月頻收益率進(jìn)行實(shí)證研究的慣例，取 L = 4（或者 5）”。

一切都是那么的自然。

盡管對(duì) t-statistic 的操縱已經(jīng)令人尷尬，但這個(gè)第一宗罪僅僅是最初級(jí)的問(wèn)題。

下面來(lái)說(shuō)第二宗。實(shí)證窗口到底是怎么選的？為什么實(shí)證窗口從 2017/01/01 開(kāi)始，而不是更早？為什么因子多空組合用市值加權(quán)，而不是等權(quán)？答案分別是（1）在 2017/01/01 之前，F(xiàn)F3-α 動(dòng)量因子不好使；（2）使用等權(quán)后，F(xiàn)F3-α 動(dòng)量因子不好使。因此，第二宗罪就是：Hypothesizing After the Results are Known（HARKing），即先看數(shù)據(jù)，后提出假設(shè)。如果我們希望粉飾數(shù)據(jù)窗口的選擇，那么找一些理由似乎并不困難，比如從 2017/01/01 之后，投資者結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，機(jī)構(gòu)投資者占比上升；而如果我們想要掩飾股票權(quán)重的選擇，也可以冠冕堂皇的說(shuō)出于流動(dòng)性的考慮按照市值加權(quán)而非等權(quán)，而刻意選擇性失憶忽視過(guò)去幾年大市值跑贏小市值的事實(shí)。

寫(xiě)到這里，我想強(qiáng)調(diào)的是，投資者結(jié)構(gòu)變化導(dǎo)致因子表現(xiàn)變化以及按照市值加權(quán)構(gòu)造因子組合 per se 都是合理的。但在我們的場(chǎng)景下，如果僅僅匯報(bào)能夠獲得最顯著結(jié)果的實(shí)證設(shè)定，而隱瞞其他設(shè)定下的結(jié)果，那無(wú)疑是不負(fù)責(zé)任的。Eugene Fama 曾說(shuō)“實(shí)證研究其實(shí)就是 data description，當(dāng)你完成實(shí)證研究之后，你總是希望收集新的數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證觀點(diǎn)。”這是一種值得學(xué)習(xí)的態(tài)度。下表給出了不同實(shí)證窗口內(nèi)，分別按照等權(quán)和市值加權(quán)計(jì)算的 FF3-α 月均超額收益檢驗(yàn)結(jié)果。不出意外的是，只有在本文第一節(jié)選擇的實(shí)證設(shè)定（2017/01/01 開(kāi)始且市值加權(quán)）下，F(xiàn)F3-α 月均超額收益才是顯著的，而其他實(shí)證設(shè)定則全軍覆沒(méi)。匯報(bào)不同設(shè)定下的結(jié)果而非 HARKing，能夠幫助我們更加客觀的評(píng)判這個(gè)因子并在樣本外使用這個(gè)它。

上面兩宗罪體現(xiàn)出的數(shù)據(jù)操縱足以令人不安，但它們和最后一宗罪比起來(lái)只能算是小巫見(jiàn)大巫。因?yàn)闊o(wú)論是計(jì)算 t-statistic 還是選擇實(shí)證設(shè)定，上述結(jié)果似乎都在傳遞出一個(gè)假象，即我們?cè)谶M(jìn)行 single hypothesis test —— 似乎我們從一個(gè)合理的金融學(xué)依據(jù)出發(fā)，提出了 α 動(dòng)量，然后進(jìn)行實(shí)證分析。然而，找到 FF3-α 動(dòng)量背后的真相其實(shí)是，我們嘗試了 8 個(gè)改造后的動(dòng)量因子，然后從中精挑細(xì)選出了最好的一個(gè)，即 FF3-α。除 FF3-α 外，其他 7 個(gè)因子包括：傳統(tǒng)動(dòng)量、距離最高點(diǎn)距離、未實(shí)現(xiàn)盈利值、動(dòng)量加速度、特質(zhì)動(dòng)量、累計(jì)異常收益、左尾動(dòng)量以及相似動(dòng)量。在本文第一節(jié)的實(shí)證設(shè)定下，這些動(dòng)量的月均超額收益檢驗(yàn)結(jié)果如下表所示。

毫無(wú)疑問(wèn)，從上述變量中挑出 FF3-α 動(dòng)量并不困難；雖然其顯著性略遜累計(jì)異常收益一籌，但其高達(dá) 2.05% 的月均收益率比起累計(jì)異常收益的 0.72% 要高得多（因此經(jīng)濟(jì)意義上更加顯著），且累計(jì)異常收益是一個(gè) PEAD 類的因子。所以綜合考慮，F(xiàn)F3-α 脫穎而出。試了 8 個(gè)，卻只挑出了最好的，這無(wú)疑是 multiple hypothesis testing（MHT）。然而，如果我們只像第一節(jié)那樣介紹 FF3-α 動(dòng)量而對(duì)試過(guò)的其他 7 個(gè)諱莫如深，就會(huì)給人一種 single hypothesis testing 的錯(cuò)覺(jué)，這就是如今學(xué)界大力呼吁的 p-hacking 問(wèn)題。只有如實(shí)匯報(bào)全部 8 個(gè)因子，才能夠在合理的 MHT 框架下對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正（當(dāng)然，面對(duì)原始的 t-statistic，依然有前面兩宗罪的問(wèn)題）。

p-hacking 就是第三宗罪。

如果你和我一樣也關(guān)注了?[Chihiro Quantitative Research] 公眾號(hào)，那么一定發(fā)現(xiàn)了今天的文章使用的是連長(zhǎng)最新文章《動(dòng)量 Plus（上）》里面的數(shù)據(jù)。在這里我特地給連長(zhǎng)打個(gè) call，該文計(jì)算了 standard errors，如實(shí)匯報(bào)了上述 8 個(gè)因子和傳統(tǒng)動(dòng)量（一共 9 個(gè)因子）在不同窗口內(nèi)以及等權(quán)和市值加權(quán)下的檢驗(yàn)結(jié)果。這是應(yīng)有的研究態(tài)度。我在本文中的分析僅僅是使用他的實(shí)證數(shù)據(jù)借花獻(xiàn)佛。

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我曾經(jīng)非常糾結(jié)于本文的標(biāo)題，因?yàn)樗隙〞?huì)劇透，從而讓行文中的反轉(zhuǎn)效果打些折扣（其它曾經(jīng)使用的題目就包括 FF3-α 動(dòng)量），但最終還是保留了 Being Honest with Backtest Reporting 這個(gè)標(biāo)題（但我盡量讓摘要顯得不那么直接），這是本文希望傳遞出的態(tài)度。而這個(gè)標(biāo)題也是借鑒了 Fabozzi and Lopez de Prado (2018) 發(fā)表在 Journal of Portfolio Management 上的同名文章。（我也要 be honest with my title picking。）為了降低 MHT 的影響，該文主張?jiān)诨販y(cè)中如實(shí)匯報(bào)如下幾點(diǎn)：

Family of trials

Family size

Familywise error rate (FWER)

Power of the test

Robustness analysis

其中 family of trails 和 family size 可以理解為嘗試次數(shù)（或變量個(gè)數(shù)）以及嘗試的有明顯差異的實(shí)驗(yàn)（或變量）的個(gè)數(shù)，具體解釋見(jiàn)截圖如下。

由本文關(guān)于改造動(dòng)量因子的例子可知，僅匯報(bào)通過(guò)數(shù)據(jù)操縱得到的最顯著結(jié)果是不負(fù)責(zé)任的，而上述 checklist 能夠從一定程度上幫助規(guī)避文中提到的幾宗罪，讓我們對(duì)實(shí)證結(jié)果更加安心。最后，本文和?Fabozzi and Lopez de Prado (2018) 都傳遞出和 Campbell Harvey 教授的《Tortured Data》同樣的觀點(diǎn)：“數(shù)據(jù)不會(huì)發(fā)聲，而是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的人通過(guò)數(shù)據(jù)發(fā)聲。而在這背后，又有多少不同的動(dòng)機(jī)、原因、理由來(lái)追求人們希望看到的結(jié)論，或者希望講述的故事呢？”

Be honest with your backtest reporting.

參考文獻(xiàn)

刀疤連，動(dòng)量 Plus（上），https://mp.weixin.qq.com/s/_LBmaL2JRdARCZg4Ce7UAA

Fabozzi, F. J. and M. Lopez de Prado (2018). Being honest in backtest reporting: A template for disclosing multiple tests. Journal of Portfolio Management 45(1), 141 – 147.

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Newey, W. K. and K. D. West (1987). A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix.?Econometrica?55(3), 703 – 708.

Newey, W. K. and K. D. West (1994). Automatic lag selection in covariance matrix estimation.?Review of Economic Studies 61(4), 631 – 653.

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