作者：石川

摘要：近年來(lái)，實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究已經(jīng)從 factor zoo 逐漸演變成 factor war，然而在這種愈演愈烈的“競(jìng)爭(zhēng)”下，我們對(duì)市場(chǎng)的理解又增加了多少？

1 引言

這一切都源于 Hou et al. (2019a) 懟了 Fama and French (2015) 五因子模型。近年來(lái)，侯恪惟、薛辰以及張櫓三位教授在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域掀起了一股華人旋風(fēng)。如果你對(duì)這三個(gè)中文名字沒(méi)什么印象，那么對(duì)他們 Last Names 的首字母組成的三個(gè)字母縮寫(xiě) —— HXZ —— 一定不陌生。幾年前，這三位教授在一篇題為 Replicating Anomalies 的文章中驚人的復(fù)現(xiàn)了學(xué)術(shù)界的 447 個(gè)選股異象（anomalies），并指出在排除微小市值公司、考慮了 multiple testing 以及使用了“適當(dāng)”的定價(jià)模型之后，絕大部分異象都不再顯著。這篇最初的 working paper 長(zhǎng)達(dá) 146 頁(yè)，而如今它也終于即將被發(fā)表于頂刊 Review of Financial Studies（Hou, Xue, and Zhang 2018，下圖），其期刊編輯后的版本也長(zhǎng)達(dá) 115 頁(yè)。我不知道這是不是 RFS 歷史上最長(zhǎng)的一篇，但至少是最長(zhǎng)之一。

HXZ 對(duì)于實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不止于上面這篇 Replicating Anomalies。在資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域有著不同的方法論，比如人們熟悉的 consumption-based CAPM、以 Eugene Fama 和 Ken French 為代表的 empirical multi-factor asset pricing、以及最近流行的基于 behavioral finance 的 asset pricing（Stambaugh and Yuan 2017；Daniel, Hirshleifer, and Sun 2019）。而在方法論上，HXZ 三位倡導(dǎo)的則是 Investment-based CAPM。

在這方面，HXZ 的代表作是 Hou, Xue, and Zhang (2015) 這篇同樣發(fā)表于 Review of Financial Studies 上的文章，題為 Digesting anomalies: an investment approach。他們從公司投資視角出發(fā)提出 q-factor asset pricing model（學(xué)術(shù)界簡(jiǎn)稱 q-factor model）。以 The first principle of investment 為依據(jù)，q-factor model 在市場(chǎng)和 SMB 的基礎(chǔ)上加入了 profitability 和 investment 兩個(gè)維度，構(gòu)建了四因子模型。張櫓教授也在其個(gè)人主頁(yè)上強(qiáng)調(diào)了 investment CAPM 對(duì)于資產(chǎn)定價(jià)理論的貢獻(xiàn)：

My unique, big-picture perspective of asset pricing, which differs drastically from both the consumption CAPM and behavioral finance, is elaborated in my article titled The investment CAPM?published?in 2017?at?European Financial Management (Zhang 2017).

Hou, Xue, and Zhang (2015) 這篇文章在發(fā)表時(shí)曾被作為 editor's choice 以及 lead article，足見(jiàn)其影響力。而 RFS 的出版商，牛津大學(xué)出版社也曾以 A new benchmark model for estimating expected stock returns 為題撰文為其造勢(shì)。截至今日，Hou, Xue, and Zhang (2015) 已被引用超過(guò) 890 次，是 2015 年以來(lái)發(fā)表于 RFS 上的所有文章中引用量最高的一篇。顯然，這三位教授在 Investment CAPM 的道路上遠(yuǎn)沒(méi)有止步于此。最近兩年，沿著 q-factor 的思路，他們（以及合作者 Haitao Mo）可謂相當(dāng)高產(chǎn)，最新論文包括：

由于 q-factor model 和 Fama and French (2015) 五因子模型中都包括投資因子，Hou et al. (2019a) 這篇文章在比較多個(gè)因子模型之外，還用了相當(dāng)多的筆墨懟了 Fama and French (2015) 中的投資因子。終于和本文開(kāi)篇第一句呼應(yīng)上了。當(dāng)我第一次看到 Hou et al. (2019a) 對(duì) Fama and French (2015) 的抨擊時(shí)，著實(shí)懵逼了好長(zhǎng)時(shí)間 —— 雖然出發(fā)點(diǎn)不同，但兩個(gè)因子模型都有投資因子、且指標(biāo)的選取一模一樣（都是過(guò)去一個(gè)財(cái)年 total assets 的增長(zhǎng)率）；為什么 Hou et al. (2019a) 要懟 Fama and French (2015)？為了搞清楚這個(gè)問(wèn)題，我又系統(tǒng)的沿著 Hou, Xue, and Zhang (2015)、Hou et al. (2018, 2019a, 2019b) 一路讀下來(lái)，加深了對(duì) investment CAPM 的理解。不過(guò)在這個(gè)過(guò)程中，也多少感到了近年來(lái)學(xué)術(shù)界因子模型之爭(zhēng)（factor model war，簡(jiǎn)稱 factor war）的硝煙。

本文就以梳理 investment CAPM 的發(fā)展脈絡(luò)為契機(jī)，映射學(xué)術(shù)界最近在 factor war 上面愈演愈烈的趨勢(shì)，以此表達(dá)一些對(duì)實(shí)質(zhì)資產(chǎn)定價(jià)研究的擔(dān)憂。最后需要強(qiáng)調(diào)的是，在多家因子流派“千帆競(jìng)發(fā)、百舸爭(zhēng)流”之下，factor war 是一個(gè)普遍的現(xiàn)象；因此本文雖然是透過(guò) investment CAPM 的鏡頭一窺這一現(xiàn)象，并不意味著該流派是 factor war 的眾矢之的。下面先來(lái)看 q-factor model。

2 q-Factor Model 的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理

Hou, Xue, and Zhang (2015) 提出的 q-factor model 是受到 Cochrane (1991) 的 production-based asset pricing 所啟發(fā)，從公司投資的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理出發(fā)。張櫓教授曾在清華金融評(píng)論上撰文介紹過(guò)這個(gè) q-factor model 的來(lái)龍去脈（Zhang 2016）。我在接下來(lái)兩段的介紹中不妨直接引用一下 Zhang (2016) 的闡述。

根據(jù) Zhang (2016)，q-factor model 是基于實(shí)體投資經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，又稱 q-theory（這也是該模型被稱為 q-factor model 的原因）。它體現(xiàn)了公司金融學(xué)中的凈現(xiàn)值原則（NPV rule）：如果項(xiàng)目現(xiàn)值大于投資成本，則應(yīng)當(dāng)投資該項(xiàng)目；如果項(xiàng)目現(xiàn)值小于投資成本，則不應(yīng)當(dāng)投資。起初，公司會(huì)有很多投資項(xiàng)目，此時(shí)應(yīng)優(yōu)先投資折現(xiàn)率低、盈利率高、因此現(xiàn)值最高的項(xiàng)目。隨著被投資的項(xiàng)目越來(lái)越多，投資成本會(huì)慢慢變高，盈利率會(huì)越來(lái)越低。投資的最后一個(gè)項(xiàng)目應(yīng)該是凈現(xiàn)值為零（凈現(xiàn)值原則）：投資成本 = 項(xiàng)目現(xiàn)值 = 盈利率 / 折現(xiàn)率。

上面這個(gè)凈現(xiàn)值原則說(shuō)的是：一家公司應(yīng)該持續(xù)投資，直到投資的邊際效益（被折現(xiàn)到今天）等于投資的邊際成本。這就是對(duì) Hou, Xue, and Zhang (2015) 所依托的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理的核心概括。Zhang (2016) 繼續(xù)介紹說(shuō)：q-factor model 最富想象力和創(chuàng)造力的是把公司金融原則當(dāng)作資產(chǎn)定價(jià)模型。傳統(tǒng)資產(chǎn)定價(jià)理論從投資者最優(yōu)證券組合角度出發(fā)，和公司變量沒(méi)有直接關(guān)系。但是那一老套做了近半個(gè)世紀(jì)，結(jié)果只是大量異象現(xiàn)象。q-factor model 開(kāi)辟了一個(gè)新的途徑。我對(duì)以上這段如此之高的自我評(píng)價(jià)持保留態(tài)度。

將凈現(xiàn)值原則變化一下得出：折現(xiàn)率 = 盈利率 / 投資成本。從這個(gè)式子出發(fā)，我們可以得到兩個(gè)關(guān)于折現(xiàn)率的條件預(yù)期結(jié)論：當(dāng)盈利率給定時(shí)，投資越多的公司（因此投資成本越高），折現(xiàn)率越低，股票預(yù)期收益率也越低；當(dāng)投資給定時(shí)，盈利率越高的公司，折現(xiàn)率越高，股票預(yù)期收益率也越高。由此可知，股票收益率和投資成反比；和盈利率成正比。這就是 q-factor model 中加入 profitability 和 investment 兩個(gè)維度的原因。不過(guò)我想“杠精”一下。盡管提出者對(duì) q-factor model 有著很高的自我評(píng)價(jià)；但我們卻無(wú)法從凈現(xiàn)值原則中推導(dǎo)出市場(chǎng)和 SMB 兩個(gè)因子。為什么最后 q-factor model 是四個(gè)因子而非兩個(gè)呢？退一步說(shuō)，加入市場(chǎng)因子無(wú)可厚非，但為什么 q-factor model 中不是三因子，而是偏偏加入了 SMB 湊出四個(gè)因子呢？

事實(shí)上，第一版的 q-factor model 并不是我們?cè)?Hou, Xue, and Zhang (2015) 看到的那樣。它出現(xiàn)在 Chen and Zhang (2007) 這篇題為 Neoclassical Factors（新古典因子）的 NBER 報(bào)告中，僅包含市場(chǎng)、盈利以及投資三個(gè)因子。這篇文章后被投到 Journal of Finance 卻在幾經(jīng)修改之后還是被 rej 了。之后，Zhang 教授聯(lián)手 Hou 和 Xue，最終提出了我們看到的四因子版本的 q-factor model，它經(jīng)過(guò)兩年的審稿和修改，終于在 2015 年被發(fā)表在 RFS 上。反觀 Fama and French (2015)，他們從 discount cash flow（DCF）出發(fā) promote 五因子模型（下文稱 FF5）中新加入的 profitability 和 investment 兩個(gè)因子；而如果從 DCF 的表達(dá)式來(lái)看，也是可以推出收益率和 SMB 及 HML 之間的關(guān)聯(lián)（后文會(huì)說(shuō)明）。從這個(gè)意義上說(shuō)，F(xiàn)F5 更自洽一些。

那么，Hou, Xue, and Zhang (2015) 用了哪些指標(biāo)作為盈利率和投資的 proxy 來(lái)構(gòu)建因子呢？為此下面一小節(jié)將簡(jiǎn)單介紹 q-factor model 的數(shù)學(xué)模型。從之前的中文描述中我們已經(jīng)搞清楚了該模型背后的核心經(jīng)濟(jì)學(xué)原理。因此在介紹數(shù)學(xué)表達(dá)時(shí)會(huì)力求言簡(jiǎn)意賅。了解 q-factor model 的數(shù)學(xué)模型也會(huì)幫助我們?cè)诒疚牡谒墓?jié)更好的理解 q5 model —— 它在數(shù)學(xué)上是 q-factor model 的一步拓展。

3 q-Factor Model 的數(shù)學(xué)模型

q-factor model 背后的數(shù)學(xué)模型十分簡(jiǎn)單；它假設(shè)一個(gè)兩期（date 0 和 date 1）的公司投資決策模型。假設(shè)在 date 0，某公司 i 的資產(chǎn)為 A_i0、利潤(rùn)率是 Π_i0（假設(shè)已知）。在 date 1，該公司的利潤(rùn)率是 Π_i1，它是一個(gè)隨機(jī)變量。對(duì)于 date 0 和 1，公司的 cash flow 為每一時(shí)刻的資產(chǎn)乘以利潤(rùn)率：Π_itA_it，t = 0, 1。在這個(gè)兩期模型中，公司的決策變量是 date 0 的投資額 I_i0。該模型假設(shè)公司 date 0 的資產(chǎn) A_i0 在 t = 1 時(shí)全部折舊完，因此該公司在 date 1 的資產(chǎn)正是其在 date 0 的投資：A_i1 = I_i0。除此之外，伴隨 I_i0 而來(lái)的還包括一個(gè)調(diào)整費(fèi)用（adjustment cost）：(a/2)(I_i0/A_i0)2A_i0。有了上述設(shè)定，我們就來(lái)看看最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)是什么。

對(duì)于該公司，date 0 對(duì)于股東的回報(bào)是 cash flow 減去投資額以及投資的調(diào)整費(fèi)用，即 Π_i0A_i0 – I_i0 - (a/2)(I_i0/A_i0)2A_i0；而對(duì)于 date 1，由于不再有投資，因此其在 0 時(shí)刻的預(yù)期回報(bào)可以表達(dá)為 E_0[M_1Π_i1A_i1]，其中 M_1 是 stochastic discount factor、Π_i1A_i1 是 date 1 的 cash flow、而求期望符號(hào) E 的下標(biāo) 0 代表 date 0 時(shí)的預(yù)期。這兩期的回報(bào)相加就是最優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)：

該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解 I_i0 應(yīng)滿足：

上式的左側(cè)為投資的邊際成本（第二項(xiàng)為 marginal adjustment cost）；右邊為邊際效益預(yù)期被折現(xiàn)到 date 0。這個(gè)關(guān)系是也說(shuō)明了上一小節(jié)提到的凈現(xiàn)值原則。此外，由 the first principle of investment 可知，投資收益率 r^I（上標(biāo) I 表示投資收益率；為了區(qū)分股票收益率）應(yīng)滿足：

比較上面兩個(gè)式子就可以得到投資收益率和邊際成本以及邊際效益的關(guān)系：

根據(jù) Cochrane (1991) 和 Liu, Whited, and Zhang (2009) 的研究，在上述模型（以及更 general 的模型）設(shè)定下，公司的投資收益率等于其股票收益率（記為 r^S），因此最終可以把股票收益率和上述從公司投資角度出發(fā)的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論聯(lián)系起來(lái)：

上式就和本文第二節(jié)的文字解釋一致了：當(dāng)預(yù)期盈利 E_0[Π_i1] 給定時(shí)，股票收益率和投資 I_i0/A_i0 成反比；當(dāng)投資給定時(shí)，股票收益率和預(yù)期盈利成正比。注意，在這個(gè)關(guān)系式中，投資 I_i0/A_i0 是 date 0 的，因此是歷史投資，而非未來(lái)的預(yù)期投資（expected investment）。q-factor model 背后的理論用的是 past investment，而非 expected investment，這是它和 FF5 在投資因子上最大的差異（FF5 從 DCF 模型出發(fā) promote 出來(lái)的 expected investment）。之所以強(qiáng)調(diào)這個(gè)，因?yàn)樗歉闱宄?Hou et al. (2019a) 懟 FF5 的關(guān)鍵。

在實(shí)證研究中，Hou, Xue, and Zhang (2015) 使用 ROE 和 Total Assets 的增長(zhǎng)率作為代表盈利和投資的指標(biāo)。在構(gòu)建因子時(shí)，為了體現(xiàn)上述條件預(yù)期收益率的關(guān)系，他們特意選擇了通過(guò) size、I/A 以及 ROE 將股票池獨(dú)立進(jìn)行 2 × 3 × 3 的 triple sort（使用 ROE 和 I/A 將股票分成三組時(shí)使用學(xué)術(shù)界常用的 30% 和 70% 分位數(shù)，中間的 40% 為 Middle 組），一共得到 18 個(gè)投資組合（每個(gè)投資組合中的股票都是按市值加權(quán)）。最終三個(gè)風(fēng)格因子的定義為：

以上三個(gè)因子，再結(jié)合市場(chǎng)因子，就構(gòu)成了 q-factor model。至于它和其他主流因子模型相比效果如何？我們留在本文的第七節(jié) factor war 見(jiàn)分曉。有了對(duì) q-factor model 數(shù)學(xué)模型的理解，將它進(jìn)行一步擴(kuò)展，就得到 q5。

4 q5

Hou et al. (2018) 這篇文章雖然目前仍然只是 working paper，但 q5 這個(gè)題目絕對(duì)標(biāo)新立異。q5 在 q-factor model 的四因子基礎(chǔ)上加入了第五個(gè)代表 expected investment growth 的因子，得到一個(gè)五因子模型。在數(shù)學(xué)上，它是 q-factor model 的直接延伸。而我更關(guān)注的是這第五個(gè)因子被加入的動(dòng)機(jī)。Hou et al. (2018) 一開(kāi)篇就以 Cochrane (1991) 來(lái) motivate 出這第五個(gè)因子：

Cochrane (1991) shows that in a multiperiod investment framework, firms with?high expected investment growth should earn higher expected returns?than firms with low expected investment growth, holding current investment and expected profitability constant.

顯然，這句話引入了 expected investment growth，同時(shí)它也指出了這是在 multiperiod investment framework 之下。由于 Hou, Xue, and Zhang (2015) 僅使用了簡(jiǎn)單的二期模型（因?yàn)?date 1 不再投資，因此它實(shí)際上是一個(gè) one period investment framework），所以 q-factor model 中是沒(méi)有投資增長(zhǎng)的。因此，在 q5 這篇文章中，Hou et al. (2018) 把投資模型擴(kuò)展到了多期。上面這個(gè)理論上的延展看來(lái)是把 q 升級(jí)到 q5 背后的主要?jiǎng)訖C(jī)。不過(guò)有意思的是，Zhang 教授和另外兩位 co-authors 早在 Liu, Whited, and Zhang (2009) 一文（發(fā)表于經(jīng)濟(jì)學(xué)頂刊 Journal of Political Economy）中就研究過(guò)多期投資模型。雖然該文的重點(diǎn)不是 empirical asset pricing，但 expected investment growth 這個(gè)維度早就出現(xiàn)過(guò)（Liu, Whited, and Zhang 2009, pp 1126, eq. 10）。所以……

我無(wú)從得知為什么 Hou, Xue, and Zhang (2015) 在 q-factor model 里沒(méi)有加入 expected investment growth；而是等到 q5 這篇才加入。也許在 q-factor model 被提出時(shí)，它已經(jīng)能解釋很多當(dāng)時(shí)已有因子不能解釋的異象了。而這幾年一些新的因子模型有在效果上超過(guò)了 q-factor model，所以需要一個(gè)升級(jí)版。這當(dāng)然純屬我的“陰謀論”，不過(guò) Hou et al. (2018) 中的下面這句話也十分耐人尋味：

Improving on the q-factor model substantially, the q5 model is?the best preforming model among all the factor models.

OK，八卦結(jié)束，讓我們從數(shù)學(xué)上看看這個(gè) q5 模型。Hou et al. (2018) 在 Hou, Xue, and Zhang (2015) 的基礎(chǔ)上考慮無(wú)限期的模型。由于是多期模型，因此他們假設(shè)資產(chǎn)從 t 到 t + 1 期的折舊率為 δ（在 q-factor model 中，資產(chǎn)從 date 0 到 date 1 折舊完，因此在該模型中 δ = 1）。投資決策是每一期的投資 {I_it+s}, s = 0, 1, …。在任何時(shí)點(diǎn) t，目標(biāo)函數(shù)是最大化股東權(quán)益的現(xiàn)值。根據(jù) the first principle of investment 可知從 t 到 t + 1 期的邊際投資成本應(yīng)該等于邊際效益折現(xiàn)到 t，因此 t 到 t + 1 的投資收益滿足：

對(duì)于 Hou, Xue, and Zhang (2015) 考慮的兩期模型，由于折舊率 δ = 1 且 date 1 的投資 I_i1 = 0，因此上式分子中僅有第一項(xiàng)，而上式也就變成了本文第三節(jié)介紹的 q-factor model 的情況。對(duì)于多期模型，Hou et al. (2018) 如法炮制，指出股票收益率等于投資收益率。由此，從上式我們可以找到股票收益率和投資以及盈利的關(guān)系。上式中第一項(xiàng)近似對(duì)應(yīng)“dividends”，第二項(xiàng)平方項(xiàng)與邊際調(diào)整費(fèi)用有關(guān)（由于是高階小量故忽略），第三項(xiàng)近似對(duì)應(yīng)“capital gain”，即 expected investment-to-asset growth（expected I/A growth）。從多期模型出發(fā)，股票收益率除了和 q-factor model 中已經(jīng)考慮的 ROE 以及 I/A （條件）相關(guān)，也和 expected I/A growth 正相關(guān)。因此，該因子作為第五個(gè)因子被補(bǔ)充到 q-factor model 中，最終得到了 q5。

在實(shí)際構(gòu)造 expected I/A growth 因子時(shí)，Hou et al. (2018) 使用了 predictive regression 外推的方法。即這個(gè)因子和我們了解的直接利用歷史財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)的因子均不同，它是使用歷史數(shù)據(jù)構(gòu)建了一個(gè)截面回歸預(yù)測(cè)模型，然后使用最新的財(cái)務(wù)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)下一期?expected I/A growth。從數(shù)學(xué)復(fù)雜度上來(lái)說(shuō)，我個(gè)人對(duì)這種構(gòu)建因子的方法不是很感冒。因?yàn)檫@里面有模型設(shè)定以及參數(shù)估計(jì)誤差等太多的問(wèn)題。Hou et al. (2018) 自然意識(shí)到了這些問(wèn)題；在文中他們也特別提到：

Our goal is a conceptually motivated yet?empirically validated specification?for the expected investment-to-assets changes. To this end, we turn to the investment literature in macroeconomics and corporate finance for guidance.

然而不可否認(rèn)的是，在構(gòu)造 expected I/A growth 因子時(shí)，由于可挖的數(shù)據(jù)太多，因此 data snooping 的風(fēng)險(xiǎn)也很高。本文不再贅述該因子的具體構(gòu)造方法，感興趣的小伙伴可以查看 Hou et al. (2018)。最后想要強(qiáng)調(diào)的是，我在上面提及這第五個(gè)因子時(shí)，不厭其煩的使用了 expected 這個(gè)詞。這是因?yàn)閺?q-theory 出發(fā)，該因子是（未來(lái)）預(yù)期投資增長(zhǎng)率，而非過(guò)去的投資增長(zhǎng)率。是否帶有 expected 一詞，含義截然不同。

5 FF5

說(shuō)說(shuō) FF5 吧；它被 q-factor model 當(dāng)成靶子打。從 DCF 出發(fā)并利用 Miller and Modigliani (1961) 的結(jié)果可知 t 時(shí)刻公司市值 M_t 滿足如下關(guān)系：

上式中，Y_t+τ 是 t+τ 期的 total earnings，dB_t+τ 是未來(lái) t+τ 時(shí)刻相對(duì)其前一期的 total book value 的變化，r 是 IRR。將上式兩邊同時(shí)處以 t 時(shí)刻公司的 book value B_t 可得：

Fama and French (2015) 通過(guò)上式 motivate 出 FF5：

在實(shí)證中如何圍繞預(yù)期盈利和預(yù)期投資構(gòu)建因子呢？這方面的研究可以追溯到 Fama and French (2006)。2006 年，F(xiàn)ama 和 French 在 Journal of Financial Economics 上發(fā)表了一篇題為 Profitability, investment and average returns 的文章，專門(mén)檢驗(yàn)了預(yù)期盈利和預(yù)期投資這兩個(gè)維度和 expected return 的關(guān)系：

Given B/M and expected profitability, higher expected rates of investment imply lower expected returns. But controlling for the other two variables, more profitable firms have higher expected returns, as do firms with higher B/M. These predictions are confirmed in our tests.

與 FF5 一樣，F(xiàn)ama and French (2006) 也是從 DCF 出發(fā)。它在檢驗(yàn)預(yù)期盈利和預(yù)期投資時(shí)，既檢驗(yàn)了使用歷史數(shù)據(jù)作為預(yù)期的 na?ve estimate，又考慮了使用 predictive regression 構(gòu)建因子。以預(yù)期投資為例，在使用歷史數(shù)據(jù)直接外推時(shí)，該文使用 dA/A —— total asset 的變化率 —— 作為 expected investment。截面回歸結(jié)果（下圖）顯示出它和收益率之間顯著的負(fù)相關(guān)性。

而當(dāng) Fama and French (2006) 采用 predictive regression 計(jì)算 expected investment 時(shí)，卻并沒(méi)有獲得統(tǒng)計(jì)上顯著的關(guān)系（下圖中 F(dA_t+τ/A_t)）：

上面的結(jié)果顯示，預(yù)測(cè)的 F(dA_t+τ/A_t) 與收益率的相關(guān)系數(shù)為正（而這和從 DCF 推出的 expected investment 和收益率之間的負(fù)相關(guān)性是相左的！），但統(tǒng)計(jì)上非常不顯著。以預(yù)測(cè)未來(lái)一年的 F(dA_t+1/A_t) 為例，它的回歸系數(shù)僅為 0.04，t-statistic 為 0.05。對(duì)于這兩種方法的差異，F(xiàn)ama and French (2006) 從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度進(jìn)行了大量的探討，并最終選擇了使用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行 na?ve estimate 的方法計(jì)算預(yù)期投資（對(duì)于預(yù)期盈利，使用歷史數(shù)據(jù)和 predictive regression 的差異很小，故也采用歷史數(shù)據(jù)）。上述處理方法也最終被保留到了 FF5 中。

值得一提的是，按照上述 DCF 模型，代表投資的變量應(yīng)該是 dB_t+τ/B_t，即 book value 的預(yù)期變化，而非 total asset。Fama and French (2015) 坦言他們比較了使用 book value 和 total asset 兩種方法，發(fā)現(xiàn)使用后者排序的話，股票收益率在截面上的差異更大，因此選擇了 total asset 的變化。以上就是 FF5 背后的來(lái)龍去脈。下面就來(lái)看看 Hou et al. (2019a) 是怎么懟 FF5 的。

6 q vs FF5

Hou et al. (2019a) 這篇文章使用 spanning test 比較了他們提出的 q 和 q5 以及其他幾個(gè)主流的多因子模型，包括：

結(jié)論自然不出意外，q 和 q5 完勝。不過(guò)，除了 empirical test 之外，這篇文章還從 valuation theory 的角度狠狠的懟了 FF5，而我一切的困惑和寫(xiě)作本文的動(dòng)機(jī)皆源于此。下面開(kāi)始解惑之旅。如果我們仔細(xì)查看 q-factor model 和 FF5 中構(gòu)建投資因子的指標(biāo)，會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)指標(biāo)完全一致（下圖 1 來(lái)自 Hou, Xue, and Zhang 2015；圖 2 來(lái)自 Fama and French 2015）。

雖然指標(biāo)一致，但背后的出發(fā)點(diǎn)截然不同：

Hou et al. (2019a) 懟 FF5 的兩個(gè)核心觀點(diǎn)是：

結(jié)合上述兩點(diǎn)，F(xiàn)F5 使用 past investment 構(gòu)建的 CMA 因子（且該因子有效）其實(shí)是陰差陽(yáng)錯(cuò)的利用了 past investment 和收益率之間的負(fù)相關(guān)（q-theory）；而非他們從 DCF 推出的 expected investment 和收益率之間的負(fù)相關(guān)性。這無(wú)疑直接撼動(dòng)了 FF5 中投資因子的根基，也質(zhì)疑了 FF5 在學(xué)術(shù)界的地位。

因子大戰(zhàn)，硝煙彌漫。

對(duì)于上面第一點(diǎn)，Hou et al. (2019a) 的論述如下，感興趣的小伙伴可以看看。

客觀的說(shuō)，關(guān)于 expected investment 和 expected return 的關(guān)系，我也認(rèn)為 Hou et al. (2019a) 比 FF5 更合理。但上面這種“競(jìng)賽”還是讓人感到不安。它似乎傳遞出一個(gè)信號(hào)：我們總能使用不同的金融學(xué)或經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，推導(dǎo)出截然相反的關(guān)聯(lián) —— 上面的模型較 DCF 模型，通過(guò)把 IRR 換成單期收益率，巧妙的干掉了 dB 前面的負(fù)號(hào)，因此把“負(fù)相關(guān)”逆轉(zhuǎn)為“正相關(guān)”。從實(shí)證結(jié)果出發(fā)總能講出最適合的故事，但對(duì)著歷史數(shù)據(jù)講故事真的讓我們離真相更進(jìn)一步了嗎？

OK，拋開(kāi)理論上的差異不說(shuō)，從實(shí)證結(jié)果來(lái)看，雖然 FF5 和 q-factor model 使用了同樣的歷史 total asset 增長(zhǎng)率構(gòu)建投資因子，但由于構(gòu)建方法不同，q-factor model 中投資因子的溢價(jià)也完勝 FF5。從 q-theory 出發(fā)，投資和收益率的負(fù)相關(guān)是在控制了 ROE 之后的。因此，q-factor model 在構(gòu)建投資因子時(shí)利用 size，ROE 和 total assets 增長(zhǎng)率三個(gè)指標(biāo)使用 2 × 3 × 3 triple sort，從而更好的反映了在控制 ROE 之后，投資和收益率的關(guān)系。反觀 FF5，它僅使用 size 和 total asset 增長(zhǎng)率做了 2 × 3 double sort，沒(méi)有考慮控制 ROE 的影響，效果不如 q-factor model。這似乎佐證了 q-factor model 背后的 q-theory 能更好的解釋 past investment 和 expected return 之間的關(guān)系。解惑之旅結(jié)束。

7 Factor War

讓我們最后來(lái)看看近幾年學(xué)術(shù)界的 Factor War。以下先后順序使用論文的發(fā)表時(shí)間為基準(zhǔn)。在 Hou, Xue, and Zhang (2015) 提出 q-factor model 時(shí)，他們使用了 80 個(gè)異象（那篇寫(xiě) Replicating Anomalies 花的功夫絕對(duì)不會(huì)被浪費(fèi)）比較了 q-factor model 和 Fama and French (1993) 三因子模型和 Carhart (1997) 四因子模型。結(jié)論自然是 q-factor model 戰(zhàn)勝了它們。由于當(dāng)時(shí) FF5 還沒(méi)有發(fā)表，因此并沒(méi)有被拿來(lái)比較。

頗有意思的是，關(guān)于 q-factor model 和 FF5 寫(xiě)作背后的時(shí)間先后也拿來(lái)被當(dāng)作 factor war 的炮彈。Zhang (2016) 介紹了兩篇文章寫(xiě)作的背景（下圖），指出 Fama 和 French 在 2013 年 6 月首先加入了盈利因子，然后才又加入了投資因子、構(gòu)建了 FF5，而這個(gè) timeline 遠(yuǎn)遠(yuǎn)晚于 q-factor model 的發(fā)展歷程（見(jiàn)本文第二節(jié)），因此巨人 Fama 是站在了他們的肩膀上。不過(guò) Zhang (2016) 似乎忘記了 Fama and French (2006) 這篇早就對(duì)盈利和投資進(jìn)行檢驗(yàn)的文章 —— 雖然 Hou et al. (2019a) 懟 FF5 的時(shí)候想起了它。

2017 年，Stambaugh 和 Yuan 在 Review of Financial Studies 上提出了兩個(gè) mispricing factors（Stambaugh and Yuan 2017），并結(jié)合市場(chǎng)和 SMB 構(gòu)建了四因子模型。新的模型也少不了和已有的做一番對(duì)比，而結(jié)論也自不必說(shuō)：

2018 年，Barillas 和 Shanken 在 Journal of Finance 上發(fā)表了題為 Comparing asset pricing models 的文章。該文提出了一個(gè) Bayesian asset pricing test 檢驗(yàn)不同的定價(jià)模型（Barillas and Shanken 2018）。通過(guò)對(duì)比，q-factor model 和 FF5 都敗下陣來(lái)，而 Barillas and Shanken (2018) 也根據(jù)他們的結(jié)果提出了一個(gè)六因子模型，包括：市場(chǎng)因子、FF5 的 SMB、q-factor model 的 ROE 和 I/A，Asness and Frazzini (2013) 提出的按月更新的 HML，以及 UMD。

同年，在美國(guó)金融協(xié)會(huì)年會(huì)上，Daniel, Hirshleifer, and Sun (2019) —— 這里引用使用了即將發(fā)表于 RFS 的版本 —— 提出了基于行為金融學(xué)的兩個(gè)因子，并結(jié)合市場(chǎng)因子構(gòu)建了一個(gè)復(fù)合三因子模型（見(jiàn)《一個(gè)加入行為因子的復(fù)合模型》）。在 AFA 年會(huì)的報(bào)告中，Daniel, Hirshleifer, and Sun (2019) 將該模型和主流模型進(jìn)行了對(duì)比，除了考察因子模型解釋異象及其他因子的能力，也特別從模型復(fù)雜度角度進(jìn)行了對(duì)比（見(jiàn)《Anomalies, Factors, and Multi-Factor Models》）。在 AFA 年會(huì)報(bào)告的討論環(huán)節(jié)，Stambaugh 質(zhì)疑 Daniel, Hirshleifer, and Sun (2019) 的三因子模型無(wú)法解釋 SMB 因子，但他們卻沒(méi)有加入這個(gè)因子。我現(xiàn)在來(lái)看，這反而是 Daniel, Hirshleifer, and Sun (2019) 的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。該模型從行為金融學(xué)的理論 promote 出長(zhǎng)、短兩個(gè)周期的行為因子；而從行為金融學(xué)的理論是無(wú)法引出 SMB 的因子的。所以該模型僅使用三個(gè)因子無(wú)可厚非；如果生硬的加入了 SMB，反而更有 data mining 之嫌。

自 2015 年 q-factor 被提出后，由于其理論上的創(chuàng)新和實(shí)證方面的優(yōu)秀表現(xiàn)，獲得了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。但是，隨著新的模型被發(fā)表，它又被別人比了下去。在這種背（yin）景（mou）之（lun）下，q5 橫空出世。Hou et al. (2019a) 的實(shí)證結(jié)果顯示，q5 戰(zhàn)勝了上述全部 candidates。

從現(xiàn)有的實(shí)證結(jié)果來(lái)看，出自 investment CAPM 的 q5 的五因子模型是當(dāng)下“最強(qiáng)”的實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)模型。當(dāng)然，在不遠(yuǎn)的將來(lái)，學(xué)術(shù)界一定會(huì)搞出新的 factor model 來(lái)打敗它。近年來(lái)，隨著 John Cochrane 所提的 factor zoo 越來(lái)越深入人心，學(xué)術(shù)界對(duì)挖異象的熱潮似乎有所減退，轉(zhuǎn)而把研究重點(diǎn)放到了 factor war。然而，如果僅以各種 test 的結(jié)果或者誰(shuí)解釋的異象更多為標(biāo)準(zhǔn)，非要在眾多模型中分出高下，又有多少意義？如果僅以“打贏” factor war 、而非推動(dòng)人們對(duì)市場(chǎng)的理解為目標(biāo)，而使用不同的金融學(xué)或經(jīng)濟(jì)學(xué)理論 promote 出一個(gè)“更好使”的因子或者互相“懟”，這又有多少意義？

因子大戰(zhàn)，烽鼓不息。

8 結(jié)語(yǔ)

在上一節(jié)介紹 factor war 時(shí)，我特意保留了一篇，它就是 Fama and French (2018) 這篇題為 Choose Factors 的文章，發(fā)表于 Journal of Financial Economics。這篇文章拓展了 Gibbons, Ross, and Shanken (1989) test，提出使用模型所包含因子能夠構(gòu)成的 max squared Sharpe ratio 來(lái)比較不同的模型。之所以保留這篇文章是因?yàn)樗鼪](méi)有和別人比，而是“自己和自己比”。該文比較了 CAPM，F(xiàn)ama and French (1993) 三因子、Fama and French (2015) 五因子以及 Fama and French (2018) 六因子模型。除了方法論之外，Eugene Fama 在這篇文章中表達(dá)出來(lái)的對(duì) factor war 的擔(dān)憂深深引起了共鳴。

Fama and French (2018) 認(rèn)為，雖然 CAPM 以及 consumption-based CAPM 被 empirical data 拒絕了，但是這些理論模型在收益和風(fēng)險(xiǎn)之間建立了有效的聯(lián)系。而另一方面，實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)中的 factor models 是來(lái)自對(duì)歷史平均收益率中某種模式的發(fā)掘。因此，factor model 背后必須有理論支撐。一旦缺乏理論，那么因子模型就會(huì)退化成以提升事后 mean-variance-efficient（MVE）tangency portfolio 為目標(biāo)對(duì)著歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行挖掘：

There is an obvious danger that, in the absence of discipline from theory, factor models degenerate into long lists of factors that come close to spanning the?ex post?MVE tangency portfolio of a particular period.

出于這個(gè)原因，F(xiàn)ama and French (2018) 在 FF5 加入動(dòng)量因子的時(shí)候顯得異常小心謹(jǐn)慎：

We include momentum factors (somewhat reluctantly) now to satisfy insistent popular demand. We worry, however, that opening the game to factors that seem empirically robust but lack theoretical motivation has a destructive downside — the end of discipline that produces parsimonious models and the beginning of dark age of data dredging that produces a long list of factors with little hope of sifting through them in a statistically reliable way.

對(duì)于一個(gè)因子模型來(lái)說(shuō)，它是為了解釋股票收益率如何共同運(yùn)動(dòng)的，因此必須和個(gè)股的協(xié)方差矩陣密切相關(guān)（Pukthuanthong, Roll, and Subrahmanyam 2019）。僅靠因子模型之間相互 spanning tests，或者用一籮筐其實(shí)相關(guān)性都不低的異象（全都是投資組合；連個(gè)股都沒(méi)有用）來(lái)檢驗(yàn)因子模型，恐怕和前面的目標(biāo)還有一定的距離。如此 factor war 意義十分有限。最后，我想用 Fama and French (2018) 里的一段話作為本文的結(jié)尾。他們二位呼吁高質(zhì)量和有意義的因子模型比較。此外，對(duì)于 factor modeling，必須要有理論依據(jù)，避免建模本身成為對(duì)著歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)挖掘。然而，實(shí)現(xiàn)這一切需要我們對(duì)市場(chǎng)更深的理解。

In general, if inference is to have content, the list of models considered in a study must be relatively short. Moreover, if factor modeling is not to degenerate into meaningless dredging for the ex post MVE portfolio, the number of factors in models must also be limited. Establishing ground rules, however, awaits more experience.

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