作者：石川

摘要：他是華爾街的第一個寬客，他的一生就是一部金融工程發(fā)展史。

0 引言

他是華爾街的第一個寬客；他的一生就是一部金融工程發(fā)展史；他將 CAPM 視作人生信條，一生在動態(tài)均衡下研究定價問題；以他名字命名的公式遍及資產(chǎn)定價，期權(quán)定價，固定收益衍生品定價，以及資產(chǎn)配置各個領域。由于英年早逝，他遺憾無緣諾貝爾獎，但他的名字被金融領域的所有人銘記。上面這段話是在我看完 Perry Mehrling 為 Fischer Black 寫的傳記 Fischer Black and the Revolutionary Idea of Finance 之后寫下的感悟。

這本書以介紹 Fischer Black 為契機，生動的呈現(xiàn)出金融領域的各位大咖（Emanuel Derman、Eugene Fama、Michael Jensen、Harry Markowitz、Robert Merton、Paul Samuelson、William Sharpe、Jack Treynor……）之間的淵源以及他們各自精彩絕倫的理論發(fā)現(xiàn)；各學派（芝加哥、麻省理工、哈佛、斯坦福等）思想之間的區(qū)別；以及像富國銀行、高盛集團這些巨頭在金融工程發(fā)展初期就大膽嘗試、勇于創(chuàng)新的魄力。

毫無疑問，這是一部描繪金融工程發(fā)展史的鴻篇巨作（花費 7 年完成）；而之所以能夠如此，只因為 Fischer Black 在歷史的洪流中留下了太過深刻的足跡，他的那些足跡涉及這些人、這些學校和這些機構(gòu)。其實，我最初讀這本書是在兩年前，當時就對 Fischer Black 佩服的五體投地并成了他的腦殘粉。最近又機緣巧合聽到了 Fischer Black 的名字，便勾起了昔日的回憶，于是決定以這篇小文回顧下他對金融領域的貢獻。

1?Black CAPM

說起 Black 最被人熟知的成就，那自然是大名鼎鼎的期權(quán)定價公式。然而，我會把關于期權(quán)定價的介紹放到下一節(jié)。本小節(jié)，讓我們先來說說同樣對市場影響深遠的 Black CAPM。在上一節(jié)提到的 Black 傳記一書的封皮上，頁面上方的公式正是 Black CAPM。關于傳統(tǒng) CAPM，各位小伙伴都已經(jīng)熟悉了，公眾號之前的文章《CAPM 的一小段歷史》也做過介紹。CAPM 中最大的假設之一是投資者可以按照無風險利率自由借貸。然而這個假設在現(xiàn)實中往往過于嚴苛。為此， Black (1972) 和 Black, Jensen and Scholes (1972) 舍棄了該假設并提出了另外一個版本的 CAPM，后被稱作 Black CAPM。它在市場因子之外又加入了第二個因子，是一個兩因子模型：

式中 E[R_z] 是第二個因子的預期收益率。由于該因子的系數(shù)是 1 - β_i，因而被稱為 β 因子，其收益率 R_z 和市場組合的收益率 R_M 的協(xié)方差為零，即 cov(R_z, R_M) = 0。如果考察資產(chǎn)超額收益 E[R_i] - r_f 和其 β_i 的關系，則傳統(tǒng) CAPM 模型暗示這二者關系之間的斜率為市場組合的預期超額收益 E[R_M] - r_f。反觀兩因子的 Black CAPM 模型，隨著 (1 - β_i)E[R_z] 這一項的加入且這一項的收益率和資產(chǎn)的 β_i 成反比，因此 Black CAPM 隱含的資產(chǎn)預期收益 E[R_i] 和 β_i 之間的關系相比傳統(tǒng) CAPM 模型則更加平坦，而這也恰恰更符合實證數(shù)據(jù)的結(jié)果。

上圖是來自 A 股市場的實證。將股票按照其 β_i 的高低劃分成十組，并統(tǒng)計每組的（月）預期收益率。不出意外，這十組的預期收益并沒有像傳統(tǒng) CAPM 暗示的那樣隨 β_i 單調(diào)上升，而是更符合 Black CAPM 所反映的關系。由于更加符合實證數(shù)據(jù)，Black CAPM 比傳統(tǒng) CAPM 得到了更廣泛的應用，也拉開了研究的大潮。后面的故事人們都知道了，在 Black CAPM 被提出的 40 年之后，F(xiàn)razzini and Pedersen (2014) 在前人的基礎上發(fā)表了著名的 Betting against beta（BAB）。他們指出在實際投資中，不同的投資者受到不同資金使用的限制。在這種背景下，為了追求更高的收益，一些投資者（特別是機構(gòu)）會把有限的資金投資于高風險的投資品，比如高 β 的股票，這便造成了它們超額收益 α 的下降。BAB 的故事無需多表，感興趣的小伙伴可參考《BAB vs BABAB》。

2?從 CAPM 到期權(quán)定價

1967 年 3 月下旬的某天，F(xiàn)ischer Black、Michael Jensen 和 William Sharpe 在芝加哥機場附近的一個小旅館的房間里進行了一次頗有意義的會面。他們?nèi)水敵跤懻摰膯栴}是共同基金的業(yè)績評價問題，即研究主動基金經(jīng)理能否戰(zhàn)勝市場。對于 Black 來說，這是他和 CAPM 以及有效市場假說的第一次邂逅。也正是自那一天起，CAPM 思想開始令 Black 著迷。OK，鋪墊完了，接下來讓我們說說期權(quán)定價。Black 傳記封皮下方的那個公式正是由 Black and Scholes (1973) 提出的期權(quán)定價公式。不過本小節(jié)關注的是 Black-Scholes 偏微分方程（PDE）：

上式中 r 為無風險收益率；V 和 S 分別為期權(quán)和股票的價格；股票價格 S 滿足如下幾何布朗運動（需要背景知識的小伙伴請參考《布朗運動、伊藤引理、BS 公式（前篇、后篇）》）：

在 Black and Scholes (1973) 這篇文章中，Black 在推導完 PDE 并給出期權(quán)定價公式后，也從 CAPM 出發(fā)推導出了上述 PDE，足見其對 CAPM 思想的執(zhí)著。

如何推導呢？由于 V 是 S 的函數(shù)，由伊藤引理可知：

由于 S 滿足幾何布朗運動，將 dS 的表達式兩邊取平方、利用布朗運動二次變分性質(zhì) (dW)^2 = dt、最后略去高階小量有：

將上式代入 dV 表達式的右側(cè)得到下式（記該式為 *，下文還會用到）：

(*) 式兩邊同時除以 V：

在無窮小的時間間隔 dt 內(nèi)，由定義可知，dV/V 是 dt 內(nèi)期權(quán)的收益率，等于 (r_V)dt；同理，dS/S 是 dt 內(nèi)股票的收益率，等于 (r_S)dt。將這二者替換上式中的 dV/V 以及 dS/S：

上式兩邊同時消去 dt，并同時和市場收益 r_M 計算協(xié)方差；需要注意的是，上式右側(cè)第一項中的變量和偏導數(shù)在時刻 t 均是已知的，因此是一個常數(shù)，只有右側(cè)第二項才是隨機項。因此，求和 r_M 求協(xié)方差有：

顯然，上式兩邊同時除以 var(r_M) 就可以得到喜聞樂見的 β 形式：

這正是 Black and Scholes (1973) 中的公式（15）：

接下來，對 V 應用 CAPM，該期權(quán)的預期收益率為：

將 dV/V = (r_V)dt 代入上式，并利用 β_V 和 β_S 之間的關系（記為 I 式）：

類似的，對股票 S 應用 CAPM 則有：

對 (*) 式兩邊取期望（該式右側(cè)第一項為常數(shù)、期望就是它本身），并利用上述 E[dS] 的表達式可得（記為 II 式）：

至此，我們得到了兩個 E[dV] 的表達式（I、II）。比較它們的右側(cè)可知 (I) 的第二項和 (II) 的最后一項一樣，可以抵消。在剩余項中都除以 dt，最后聯(lián)立 (I) 和 (II) 相等得到：

這正是 Black-Scholes 偏微分方程。

3?Black-Litterman

Black 的思想之所以閃耀著不朽的光芒是因為他永遠思考理論與實際如何聯(lián)系；理論必須是為了解決實際的金融問題服務的。這也解釋了為什么他會從 UChicago 和 MIT 離開，前往業(yè)界加盟高盛。在高盛，Black 和 Emanuel Derman 以及 William Toy 提出了關于短期利率的 Black-Derman-Toy 模型，可以用來對固定收益衍生品定價。當然，Black 在高盛的另一項研究成果則更被人們所熟知，那就是 Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型（見《Black-Litterman 模型 —— 貝葉斯框架下的資產(chǎn)配置利器》）。

Black-Litterman 模型可以被視作是 Black 在探索一般均衡的實踐中的一個小的里程碑。該模型在數(shù)學上的本質(zhì)是一種貝葉斯收縮。它從市場的供需出發(fā)，認為投資品在整個市場中按其市值的占比體現(xiàn)了當前市場供需關系的均衡狀態(tài)。投資品市值與市場總市值的比值就是該投資品在這個市場均衡組合中的權(quán)重。在這個基礎上，該模型進一步假設各投資品在市場組合中的配置比例是由投資者追求效用的最大化所致，并由此反推出市場均衡狀態(tài)下各投資品的收益率，把它作為預期收益率的先驗。

另一方面，Black-Litterman 模型將新息定義為投資者對于投資品收益率相對強弱的主動判斷（稱為 views，即觀點）。最后，在貝葉斯框架下，將先驗和新息結(jié)合起來，就得到預期收益率的后驗。將其代入到 mean-variance optimization（MVO）中就能求出最優(yōu)的資產(chǎn)配置。Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型解決了 MVO 模型在應用中的兩個痛點：（1）投資品的期望收益率很難預測；（2）模型對輸入?yún)?shù)太敏感，導致投資者無法理解模型給出的最佳投資組合中投資品的配置權(quán)重。Black-Litterman 模型從市場均衡配置出發(fā)，有效的結(jié)合了投資者對投資品的主動判斷，求出的配置結(jié)果符合投資者的預期。在華爾街，Black-Litterman 模型在高盛以及其他金融機構(gòu)都有著廣泛的應用。

4?Noise

1985 年，F(xiàn)ischer Black 當選美國金融協(xié)會（AFA）主席。依照 AFA 目前的慣例，每位主席任期一年，且在卸任時發(fā)表主席演講。而 Black 演講的題目則是 Noise（Black 1986）。比起 Black CAPM、Black-Scholes 期權(quán)定價公式以及 Black-Litterman 資產(chǎn)定價模型，Noise 這篇演講無疑更貼近我們每一個人。

金融市場的信噪比很低。大量的噪聲包圍著微弱的信號，使得從它們之中剝離出信號難上加難。在 Black 看來，噪聲交易者的存在為市場提供了流動性，是市場充滿活力的原因也是市場的必要組成部分。但另一方面，由于噪聲交易者根據(jù)“噪聲”而非“信息”來交易，因此資產(chǎn)的價格中同時反映出信息和噪聲。Black 關于噪聲交易者的觀點與 Robert Shiller 一致。后者提出的噪聲交易者模型則拉開了行為金融學的序幕。然而，與 Shiller 因這個觀點而堅定的認為市場是非有效不同，Black 在演講中拋出的觀點則要溫和一些。他認為在絕大多數(shù)情況下，價格以 2 為系數(shù)圍繞著價值波動。這大概和他金融學術生涯早期受到源自芝加哥大學的有效市場假說的影響有關。

We might define an efficient market as one in which price is within a factor of 2 of value, i.e., the price is more than half of value and less than twice value. The factor of 2 is arbitrary, of course. Intuitively, though, it seems reasonable to me, in the light of sources of uncertainty about value and the strength of the forces tending to cause price to return to value. By this definition, I think almost all markets are efficient almost all of the time. "Almost all" means at least 90%.

在 Noise 這篇演講中，給我留下印象最深刻的一句話是下面這句：

Noise causes markets to be somewhat inefficient, but often prevents us from taking advantage of inefficiencies.

這讓我想起之前讀到的 Statman (2018) 這篇題為 Behavioral Efficient Markets?的論文。該文曾獲得 The 20th Annual Bernstein Fabozzi/Jacobs Levy Awards 最佳論文獎。它認為有效市場假說包括 price-equals-value market hypothesis 和 hard-to-beat market hypothesis 兩層含義。這兩層含義完美的對應著 Black 上面那句話的前、后半句。正如人們觀察到的那樣，在市場中，資產(chǎn)價格并不總是等于其內(nèi)在價值（盡管內(nèi)在價值是難以觀測的），而是可以偏離價值。這意味著 price-equals-value market hypothesis 通常不成立，說明了市場在一定程度上是非有效的。而另一方面，市場又確實很難被戰(zhàn)勝。從這個意義上說，hard-to-beat market hypothesis 是成立的。

5?遺憾

1959 年，F(xiàn)ischer Black 從 Harvard 本科畢業(yè)。在申請研究生時，他唯一感興趣的方向其實是物理學。然而，在讀了一年之后，他便被人工智能所吸引而更換了方向。但即便到此時，金融依然尚未和他產(chǎn)生交集。Black 的博士生涯頗具坎坷，但最終還是在幾經(jīng)波折之后于 1964 年獲得 Harvard 應用數(shù)學的博士學位。從 Harvard 畢業(yè)之后，他加入了 Arthur D. Little 這個成立于 1886 年的、世界上最古老的管理咨詢公司。而正是在 Arthur D. Little，他遇到了將其帶入金融領域、也是后來對他的研究思想產(chǎn)生巨大影響的人 —— Jack Treynor。從此，Black 便在金融領域開啟了開掛的人生……

1997 年，諾貝爾經(jīng)濟學獎授予了 Myron Scholes 和 Robert Merton，以表彰他們在期權(quán)定價上的發(fā)現(xiàn)。令人感到遺憾的是，由于 Black 英年早逝、加上諾獎不頒發(fā)給已故學者，因此他未能獲獎。但諾獎委員會還是在當年的獲獎公告中特地強調(diào)了 Fischer Black 所發(fā)揮的關鍵作用（以下為節(jié)選，公告全文中超過 10 次提及了 Fischer Black 的名字），以此表達對他的肯定。

盡管如此，還是有大佬對諾獎委員會表達了不滿。Emanuel Derman 在 My life as a quant（寬客人生）中就表達了以下的觀點。金融圈內(nèi)所有人都認為期權(quán)定價公式獲得諾獎只是早晚的事兒。而且，人們也知道 Black 于 1994 年不幸被診斷出致命的喉癌。因此，人們都迫切希望諾獎委員會能及時把經(jīng)濟學獎頒給期權(quán)定價公式，以免留下遺憾。然而，諾獎委員會似乎不愿意把諾貝爾獎頒給在業(yè)界工作的人，特別是一個來自投行的人。雖然這僅僅是猜測，但它還是令人唏噓不已。

不過，學術界對業(yè)界的“不屑”可能也由來已久。Black 和 Scholes 早在 1970 年 11 月就將期權(quán)定價論文提交到 Journal of Political Economy，當時 Black 還在 Arthur D. Little 工作。由于文章在當初來看有些晦澀難懂，再加上第一作者來自一個咨詢公司而非金融名校，該文在開始時反復被拒。所幸，最后“金子還是發(fā)光了”。該文被 Merton Miller（Eugene Fama 的導師）留意到，并一眼看出了它的重要性。在 Miller 的推薦下，該文最終被錄用和發(fā)表。

1994 年，F(xiàn)ischer Black 被 IAFE 授予年度金融工程師稱號（該獎項自 1993 年設立，第一個獲獎者是 Robert Merton），以表彰他對金融工程實踐應用方面的卓越貢獻。毫無疑問，F(xiàn)ischer Black 的一生是傳奇的一生，他也絕對無愧于華爾街第一寬客的頭銜。他對均衡模型的畢生追求在金融領域創(chuàng)造了一個又一個經(jīng)典，永遠被后人銘記。最后，讓我用 Black 自己的話來結(jié)束本文，并向他致敬。

I like the beauty and symmetry in Mr. Treynor's equilibrium models so much that I started designing them myself. I worked on models in several areas：Monetary theory, Business cycles, Options and warrants. For 20 years, I have been struggling to show people the beauty in these models to pass on knowledge I received from Mr. Treynor.?In monetary theory ——?the theory of how money is related to economic activity ——?I am still struggling. In business cycle theory ——?the theory of fluctuation in the economy ——?I am still struggling. In options and warrants, though, people see the beauty.

世上再無 Black。

參考文獻

Black, F. (1972). Capital market equilibrium with restricted borrowing. Journal of Business 45(3), 444 – 455.

Black, F. (1986). Noise. Journal of Finance 41(3), 528 – 543.

Black, F., M. C. Jensen, and M. Scholes (1972). The capital asset pricing model: Some empirical tests. In M. C. Jensen (Eds), Studies in the Theory of Capital Markets. New York, NY: Praeger.

Black, F. and R. Litterman (1992). Global portfolio optimization. Financial Analysts Journal 48(5), 28 – 43.

Black, F. and M. Scholes (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81(3), 637 – 645.

Frazzini, A. and L. H. Pedersen (2014). Betting against beta.?Journal of Financial Economics 111(1), 1 – 25.

Statman, M. (2018). Behavioral efficient markets.?The Journal of Portfolio Management 44(3), 76 – 87.

免責聲明：入市有風險，投資需謹慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機構(gòu)不對任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負任何責任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。