作者：石川

摘要：當(dāng)無用因子存在時，Two-Pass Regression 無法給出正確的統(tǒng)計推斷結(jié)果。利用貝葉斯統(tǒng)計能夠有效的解決這個問題。

1?Useless Factors

由多因子模型可知，資產(chǎn)預(yù)期超額收益率由其對因子的暴露和因子的風(fēng)險溢價決定。資產(chǎn)對因子的暴露??通過資產(chǎn)超額收益率對因子風(fēng)險溢價時序回歸確定。如果所有資產(chǎn)對某個因子的暴露都非常接近零，這樣的因子被稱為無用因子（useless factors 也稱 spurious factors）。在資產(chǎn)定價檢驗中，無用因子是非常討厭的存在，它能夠很大程度上影響因子溢價檢驗結(jié)果。

以我們最熟悉的 two-pass regression 或 Fama and MacBeth (1973) regression 為例，因子溢價的估計是在得到??的前提下進行的。在上述回歸的第二步，我們在截面上用資產(chǎn)收益率對因子暴露??回歸，便得到因子溢價的估計。無論使用 OLS 還是 GLS，無用因子的存在使得因子溢價估計時產(chǎn)生下列問題（Kan and Zhang 1999）：

1.?無用因子的溢價估計結(jié)果不靠譜（資產(chǎn)對無用因子的暴露??非常接近零，因而極易受到噪聲的影響。數(shù)據(jù)中的一些輕微變化可能導(dǎo)致因子暴露變號，進而造成其因子溢價正負(fù)號發(fā)生變化）；

2.?無論是無用因子還是有用因子，其溢價的統(tǒng)計推斷都受到巨大挑戰(zhàn)（不管 OLS 還是 GLS，都要對??求逆運算，所以可想而知如果某一列??接近零的影響，它和截距項還近似共線性）；

3.?檢驗結(jié)果往往 over-reject 無用因子溢價為零的原假設(shè)，即讓人們輕易得到無用因子的風(fēng)險溢價是顯著的結(jié)論而錯失真正的風(fēng)險源。

2?Bayesian Two-Pass Regression

為了解決無用因子的問題，Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 利用貝葉斯統(tǒng)計提出了 Bayesian two-pass regression。值得一提的是，這篇文章近日被?Journal of Finance?有條件的錄用了，不過其最新版本中的闡述視角也從傳統(tǒng)的截面回歸變成了估計 SDF（當(dāng)然方法論是大同小異的）。本節(jié)的介紹是基于該文早期的版本，也是我個人更喜歡的版本。另外要說的是，本小節(jié)僅是介紹了其中的“九牛一毛”。

令??代表??期資產(chǎn)超額收益向量，??代表??期??個因子取值矩陣（為簡化數(shù)學(xué)符號，假設(shè)所有因子的截面均值為零）。時序上，資產(chǎn)和因子滿足如下回歸模型：

?

假設(shè)其中??滿足獨立同分布??。通過時序回歸，我們就可以估計因子暴露矩陣??。Two-pass 的第二步是在截面上用資產(chǎn)平均收益率對??回歸：

?

為了方便后文數(shù)學(xué)推導(dǎo)，定義??，??，??，??，??。第二步截面回歸中通過 OLS 得到因子溢價估計為：

?

從以上介紹可知，無用因子問題是通過資產(chǎn)對其的因子暴露引入的。對于這個問題，在頻率主義學(xué)派視角下我們似乎無能為力了，但若使用貝葉斯統(tǒng)計就不一樣了。貝葉斯統(tǒng)計的關(guān)鍵是在上述 two-pass 估計過程中引入?yún)?shù)分布的先驗，并結(jié)合數(shù)據(jù)（即資產(chǎn)收益率和因子取值）得到其后驗，因此讓最終得到參數(shù)分布的后驗。在后驗的基礎(chǔ)上，我們就能夠有效甄別無用因子。

Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 假設(shè)時序回歸模型中的參數(shù)??滿足無信息 Jeffreys 先驗。在這一假設(shè)下，通過推導(dǎo)可知，??的后驗分布滿足：

?

雖然看著復(fù)雜，但上式解讀起來十分直觀。其中??和??是時序 OLS 估計的結(jié)果。上式意味著，給定資產(chǎn)收益率和因子取值（data）后，??的后驗分布滿足 inverse-Wishart 分布；而給定 data 和??之后，我們所關(guān)心的因子暴露??的后驗分布滿足多元正態(tài)分布。當(dāng)然，人們最終關(guān)心的是因子溢價估計??的后驗分布。但我們注意到，一旦給定了??、??以及 data 之后，??的取值也就隨之確定了，即??（這里假設(shè)使用 OLS 估計；GLS 估計的版本請見原論文）。因此，只要不斷地從??和??的后驗分布中抽取二者的取值，就可以得到??的分布。

因此，因子溢價的 Bayesian two-pass regression estimator 步驟可以總結(jié)為：

1.?和傳統(tǒng) two-pass regression 一樣進行第一步時序回歸，得到??，??以及??；

2.?根據(jù) data，從??的后驗分布抽取它的取值；

3.?根據(jù) data 和上一步中抽取的??，從??的后驗分布中抽取它的取值；

4.?利用第 3 步抽取的??和第 1 步的??，計算??；

5.?重復(fù)上述 2-4 步，得到??的后驗分布，其均值就是因子溢價的貝葉斯估計。

本節(jié)最后通過例子說明貝葉斯 two-pass estimator 在因子溢價估計時的優(yōu)勢。

先看上圖中 Panel (a)，其中有一個 data generating process 已知的無用因子（因此其真實收益率為零）。在圖中所示的這個 realization 中，由于因子暴露的 estimator error，導(dǎo)致一些資產(chǎn)對該因子的暴露大于零，另一些小于零，最終在頻率主義學(xué)派視角下經(jīng)過 OLS 估計得到該月均因子收益率 -1.19%（t-statistic = -2.55），圖中紅色曲線為它的漸近分布。因此，以頻率主義學(xué)派來看，會拒絕原假設(shè)。

反觀貝葉斯方法，藍色虛線繪制了該因子溢價的后驗分布，它幾乎完美地圍繞真實因子收益率（零）呈現(xiàn)對稱形狀。從該分布不難看出，其均值和零非常接近，且真實值（零）也輕松地落在置信區(qū)間之內(nèi)。因此，若采用 Bayesian two-pass estimator，我們便會接受原假設(shè)。之所以會出現(xiàn)這種情況，其背后的原因如下。由于 OLS 估計的??非常接近零，因此當(dāng)我們不斷從??和??的后驗分布中抽取時，得到的??會隨機的大于零或者小于零；而基于它計算的因子溢價??也將有正有負(fù)，并最終使它圍繞零分布。上圖中 Panel (b) 給出了一個真實因子的情況。在這時，兩種方法均能給出正確的推斷結(jié)果。

3?結(jié)語

Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 提出的 Bayesian two-pass estimator 是將貝葉斯統(tǒng)計應(yīng)用于因子溢價估計以及多因子模型選擇的一個有益嘗試。該文也是這近兩年來讓我印象非常深刻的論文之一。其實，貝葉斯統(tǒng)計在金融投資中一直有著廣泛的應(yīng)用。比如，收益率和協(xié)方差矩陣的貝葉斯收縮，以及家喻戶曉的?Black-Litterman 資產(chǎn)配置模型，均是貝葉斯統(tǒng)計的典型應(yīng)用，發(fā)揮了很大的作用。此外，從 Campbell Harvey 和 Yan Liu 的一系列文章來看，它在研究 p-hacking 問題上也很有前景。

參考文獻

Bryzgalova, S., J. Huang, and C. Julliard (2020). Bayesian solutions for the factor zoo: We just run two quadrillion models. Working paper.

Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests.?Journal of Political Economy 81(3), 607 – 636.

Kan, R. and C. Zhang (1999). Two-pass tests of asset pricing models with useless factors.?Journal of Finance 54(1), 203 – 235.

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