作者：石川

摘要：本文解析協(xié)變量的高維數(shù)時代，實證資產(chǎn)定價研究中計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的局限性。

0 前文回顧

協(xié)變量的高維數(shù)給傳統(tǒng)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)提出了諸多挑戰(zhàn)。首先，過多的預(yù)測變量可能會存在多重共線性問題，從而使得模型參數(shù)估計變得不穩(wěn)定。有時多重共線性可能導(dǎo)致某些變量的系數(shù)估計符號與預(yù)期不符，造成結(jié)果難以被經(jīng)濟(jì)學(xué)理論所解釋。其次，當(dāng)協(xié)變量的數(shù)量接近或超過樣本大小時，模型會過度參數(shù)化（over-parameterization）。如果不施加正則化，模型會過度擬合數(shù)據(jù)中的噪聲，影響其在樣本外的預(yù)測性能。

上述挑戰(zhàn)使得能夠應(yīng)對維數(shù)災(zāi)難（curse of dimensionality）的推斷方法越來越受歡迎和重視。根據(jù) Ng (2013) 和 Chernozhukov et al. (2017) 的建議，這些方法可以被分為兩類。第一類是稀疏建模，旨在通過一些算法從大量協(xié)變量中找到最具預(yù)測信息的變量。第二類是密集建模，即認(rèn)為盡管個體影響可能很小，但所有協(xié)變量都含有預(yù)測信息。因此，密集建模仍然會使用大量協(xié)變量，但會通過正則化來防止過擬合。下文聚焦于實證資產(chǎn)定價中重要的問題，進(jìn)一步說明計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的局限性。

1 稀疏性導(dǎo)致投資機(jī)會的損失

傳統(tǒng)的多因子模型毫無疑問屬于稀疏模型。然而最新的實證研究表明，為了獲得更好的表現(xiàn)，定價模型中應(yīng)該納入更多的協(xié)變量，那么為什么傳統(tǒng)多因子模型都是稀疏的呢？為了公允的回答這個問題，我們必須意識到一些早期的模型年代久遠(yuǎn)（比如 Fama-French 三因子模型出現(xiàn)在 30 年前），因此現(xiàn)在的實證發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)非當(dāng)時能比。不過，這一事實依然無法解釋自 2010 年之后新出現(xiàn)的傳統(tǒng)模型所帶有的稀疏性約束。究其原因，可以從兩方面來回答。

第一點是對可解釋性的重視而造成的對簡約性的鐘愛。在傳統(tǒng)多因子模型中，每個模型背后都有一個令人信服的動機(jī)。例如，當(dāng) Fama 和 French 將規(guī)模和價值兩因子加入模型之后，這兩位實證研究的先驅(qū)又花費了很多的精力試圖探討它們分別代表了哪種系統(tǒng)性風(fēng)險（Fama and French 1995, 1996）。又比如 Fama and French (2015) 和 Hou et al. (2015) 這兩個最流行的傳統(tǒng)模型，它們背后的動機(jī)分別為股利貼現(xiàn)模型和實體投資經(jīng)濟(jì)學(xué)理論。再或者 Stambaugh and Yuan (2017) 和 Daniel et al. (2020)，它們的出發(fā)點則是行為金融學(xué)。從這理論出發(fā)，一個自然的結(jié)果就是模型不會包含太多的因子，否則便難以自圓其說。這也造成了不同的模型依賴于特定的（ad-hoc）稀疏性假設(shè)，即每個人選擇幾個以及哪些因子，完全是因動機(jī)而異的、缺乏普適性。

這種因人而異的稀疏性假設(shè)還體現(xiàn)在構(gòu)造因子時的變量選擇上。當(dāng) Fama and French (1993) 構(gòu)造價值因子的時候，除了賬面市值比（BM）之外，還有諸如盈利市值比（EP）等變量供選擇，而他們最終使用 BM 而非 EP 更多的是一個數(shù)據(jù)驅(qū)動的選擇。在三因子模型被提出的前一年，F(xiàn)ama and French (1992) 基于排序和回歸法同時指出，盡管 BM 和 EP 都能預(yù)測收益率，但當(dāng)同時控制它們以及公司市值后，EP 不再顯著，表明 EP 的可預(yù)測性可能源自其和 BM 以及市值的相關(guān)性。不過有意思的是，在二十多年后的一篇針對中國股票市場的論文中，Liu et al. (2019) 卻使用 EP 代替了 BM，原因是在中國股票市場中 EP 比 BM 更能顯著地解釋股票預(yù)期收益率的截面差異。站在機(jī)器學(xué)習(xí)的視角，考慮到兩個變量不同且都帶有一定的預(yù)測信息，也許更好的辦法是將它們結(jié)合起來使用，而非強(qiáng)加稀疏性約束。

第二個原因則是偏技術(shù)性的，和實證方法有關(guān)。Fama and French (1993) 的開創(chuàng)性讓它一舉成為實證研究的標(biāo)桿。自此開始，使用投資組合排序來構(gòu)造因子被競相效仿。在構(gòu)造因子時，為了排除市值的影響，通常的做法是使用目標(biāo)協(xié)變量和市值進(jìn)行雙重排序。有時，為了排除變量間的相互影響，甚至?xí)霈F(xiàn)三個變量進(jìn)行三重排序的情況（例如 Hou et al. 2015）。然而，當(dāng)協(xié)變量繼續(xù)增大時，使用投資組合排序構(gòu)造因子將變得無法操作。

為定量描述一個定價模型代表的投資機(jī)會并考察稀疏性假設(shè)造成的損失，我們可以用該模型的因子作為標(biāo)的，并用它們構(gòu)造均值—方差最優(yōu)化（MVE）投資組合，然后通過考察該 MVE 組合的夏普比率來衡量該因子模型代表的投資機(jī)會。為此，Baba-Yara et al. (2021) 比較了傳統(tǒng)模型和近年來基于機(jī)器學(xué)習(xí)方法提出的實證模型在樣本外能夠獲得的最大夏普比率。

表中結(jié)果清晰地傳遞出，即便是考察樣本外，基于機(jī)器學(xué)習(xí)的這些實證模型也能夠獲得較傳統(tǒng)模型更高的夏普比率。例如，在傳統(tǒng)模型大戰(zhàn)中勝出的 Hou et al. (2015)，其樣本外的夏普比率為 1.81。然而，同樣是屬于線性模型的 PCA 模型（Kozak et al. 2020）以及 IPCA 模型（Kelly et al. 2019），其樣本外的夏普比率則高達(dá) 2.77 和 3.21。這些結(jié)果表明了帶有稀疏性假設(shè)的模型在投資機(jī)會方面的不足，也意味著學(xué)術(shù)界數(shù)十年來指望用帶有特定稀疏性約束的簡約因子模型來為資產(chǎn)定價的嘗試注定是徒勞的。

2 測試資產(chǎn)選擇

在實證資產(chǎn)定價中，測試資產(chǎn)（test assets），即用來檢驗定價模型的資產(chǎn)（或為個股，或為由個股構(gòu)造的投資組合），和因子就像是一枚硬幣的兩面，缺一不可。在實證中，因子溢價的強(qiáng)弱在很大程度上依賴于測試資產(chǎn)的選擇，而非因子的固有屬性（Giglio et al. 2025）。然而，在過去的三十年中，雖然學(xué)術(shù)界先后提出了諸多實證模型，但在測試資產(chǎn)方面卻鮮有進(jìn)展。為什么？因為 Fama and French (1993)。

正如前所述，這篇文章不僅僅是多因子模型的開山鼻祖，更是為學(xué)術(shù)界之后近三十年的實證研究鋪墊了一系列基礎(chǔ)的方法論，其中就包括構(gòu)造測試資產(chǎn)的方法。在 Fama and French (1993) 中，二位作者通過雙重排序法不僅構(gòu)建了價值和規(guī)模兩個因子，也同樣構(gòu)造了用于檢驗該模型的測試資產(chǎn)。自此之后，使用市值和另一個協(xié)變量，通過 5 × 5 雙重排序構(gòu)造出 25 個投資組合作為測試資產(chǎn)就成為學(xué)術(shù)界的標(biāo)配。但是，將個股按照某個協(xié)變量排序分組實際上是一種降維處理，所產(chǎn)生的投資組合會丟失掉很多個股收益率在截面上的信息（Lewellen et al. 2010）。如果待檢驗的因子和這些測試資產(chǎn)的分組屬性正交，這種處理方法將不能保證測試資產(chǎn)對于待檢驗的因子有足夠的暴露，進(jìn)而導(dǎo)致無關(guān)因子（或弱因子）問題（Giglio et al. 2025）。以有限個通過雙重排序法構(gòu)造的投資組合作為測試資產(chǎn)，大大降低了檢驗多因子模型的門檻。

面對這種困局，通常有兩種解決辦法。第一種是擴(kuò)充作為測試資產(chǎn)的投資組合，即使用更多協(xié)變量作為排序變量來構(gòu)造投資組合（并同時將行業(yè)組合也加入進(jìn)來），從而構(gòu)造上百個測試資產(chǎn)。后續(xù)的很多實證研究都采取了這種方法（例如 Fama and French 2020）。但第種做法仍難言完美。當(dāng)使用協(xié)變量對股票排序時，往往最多同時考慮三個變量進(jìn)行三重排序。如果繼續(xù)增多排序變量的個數(shù)可能導(dǎo)致不合理的結(jié)果，例如無法保證每個組里面有足夠多的股票。

第二個解決辦法是直接使用個股作為測試資產(chǎn)。不過，這給因子暴露的參數(shù)估計帶來了巨大的挑戰(zhàn)。人們之所以鐘愛使用投資組合作為測試資產(chǎn)，是因為比起個股，它們的因子暴露估計不容易受到變量誤差（EIV）問題的影響。反觀個股，EIV 問題是個無法逃避的挑戰(zhàn)。為此，Jegadeesh et al. (2019) 通過引入工具變量的方法，在一定程度上降低了 EIV 問題的影響。此外，Clarke and Momeni (2021) 使用雙層自助法實現(xiàn)了利用個股作為測試資產(chǎn)的目標(biāo)。盡管使用投資組合作為測試資產(chǎn)時，因子暴露的估計更加準(zhǔn)確，但是 Ang et al. (2020) 從指出，這個好處并不能直接導(dǎo)致在估計因子溢價時獲得更低的標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error）。這是由于因子風(fēng)險溢價的標(biāo)準(zhǔn)誤是由因子暴露的截面分布以及殘差風(fēng)險決定的。使用投資組合作為測試資產(chǎn)破壞了因子暴露的分散度所涵蓋的信息，從而導(dǎo)致了較大的標(biāo)準(zhǔn)誤。

3 模型設(shè)定偏誤

模型設(shè)定偏誤往往是帶有稀疏性約束的實證模型所面臨的問題。模型設(shè)定偏誤包括遺漏變量和無關(guān)變量兩方面。例如，F(xiàn)ama and French (2015) 曾指出 Fama and French (1993) 三因子模型是不完整的，以及加入了盈利和投資兩因子后，價值因子似乎變得多余。

首先來看前者。遺漏變量問題指的是模型中遺漏了重要的解釋變量。對實證資產(chǎn)定價而言，遺漏變量可導(dǎo)致因子溢價的估計存在偏差，且偏差的方向可正可負(fù)。為理解這一點，考慮下面這個簡單的模型，即假設(shè)在真實數(shù)據(jù)生成過程中??和??以及??滿足如下線性回歸模型：

??

接下來，假設(shè)我們分析中遺漏了變量??，而認(rèn)為??只是??的模型并通過 OLS 估計二者的關(guān)系。由計量經(jīng)濟(jì)學(xué)知識可知，??的回歸系數(shù)的偏差如下：

式中??是真實模型中??對??的回歸系數(shù)，??是??對??的回歸系數(shù)。上式說明，??的偏差由??和??共同決定，它的符號受這兩部分的影響。當(dāng)我們通過 OLS 來估計因子溢價時，遺漏變量的存在會使得因子溢價的估計有偏，即遺漏變量偏差。從計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度來說，遺漏變量問題可以通過加入更多的解釋變量來解決；此外，也可以通過加入固定效應(yīng)（fixed effect）來消除時不變的遺漏變量。然而，在模型中塞入太多的因子容易造成樣本內(nèi)的過擬合。

為了檢驗一個給定的多因子模型中是否存在遺漏變量，Gagliardini et al. (2019) 提出了一個簡單有效的方法。如果不存在遺漏變量問題，則測試資產(chǎn)對多因子模型回歸的殘差中就不應(yīng)該存在殘留的因子結(jié)構(gòu)。殘留的因子結(jié)構(gòu)可以通過分析殘差協(xié)方差矩陣最大的特征值來確定。若該特征值超過了一定閾值就可以認(rèn)為殘差并不獨立，存在遺漏變量問題。不過很顯然，這種方法也在很大程度上受到測試資產(chǎn)選擇的影響。

再來看后者，即無關(guān)變量問題。由計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的知識可知，回歸模型中存在不相關(guān)的變量雖然不會影響其他解釋變量回歸系數(shù)的無偏性，但是會增大回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，從而降低估計量的效率。在多因子模型的場景下，上述過度識別問題的表現(xiàn)為模型中加入了弱因子，即和資產(chǎn)相關(guān)性非常微弱的因子。在這樣的模型設(shè)定下，一個常見的結(jié)果是弱因子的因子溢價很顯著，而真實的因子的溢價不顯著，從而造成真實的因子被舍棄（Gospodinov et al. 2014）。就這一問題，Bryzgalova et al. (2023) 通過貝葉斯方法給出了弱因子存在的前提下如何準(zhǔn)確估計因子溢價的方法。

4 What's Next

上述分析表明，當(dāng)面對時序和截面收益率數(shù)據(jù)量有限、同時存在大量具有預(yù)測信息的協(xié)變量、并且協(xié)變量之間可能通過交互作用對收益率產(chǎn)生非線性影響時，傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法往往顯得低效甚至難以適用。在這種背景下，機(jī)器學(xué)習(xí)算法或許不再是錦上添花，而是成為解決問題的關(guān)鍵工具。

那么，機(jī)器學(xué)習(xí)將如何應(yīng)對上述計量經(jīng)濟(jì)學(xué)所面臨的種種困難？而其自身在實證資產(chǎn)定價中的應(yīng)用又將遇到哪些挑戰(zhàn)？且聽下回分解。

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