作者：石川

摘要：人們對(duì)于資產(chǎn)定價(jià)的理解離不開(kāi)層出不窮的實(shí)證挑戰(zhàn)。本文梳理當(dāng)下的一個(gè)重要的驅(qū)動(dòng)力：協(xié)變量和收益率之間的復(fù)雜關(guān)系。

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如前文《資產(chǎn)定價(jià)中的實(shí)證挑戰(zhàn) (I)》所述，現(xiàn)如今，實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究范式從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)轉(zhuǎn)向了機(jī)器學(xué)習(xí)；而這背后的驅(qū)動(dòng)因素來(lái)自（至少）兩方面的實(shí)證挑戰(zhàn)：（1）協(xié)變量的高維數(shù)；（2）公司特征和收益率之間的復(fù)雜關(guān)系。

作為第二篇，本文聚焦公司特征和收益率之間的復(fù)雜關(guān)系。

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資產(chǎn)收益率代表了投資者關(guān)于資產(chǎn)未來(lái)現(xiàn)金流的預(yù)期；這一預(yù)期建立在每個(gè)投資者各自掌握的信息集之上。大數(shù)據(jù)時(shí)代協(xié)變量的激增讓信息集不斷擴(kuò)充；協(xié)變量和收益率之間的關(guān)系也更加撲朔迷離。作為實(shí)證研究者，我們無(wú)法觀測(cè)到投資者使用的所有信息，甚至很難在模型中包含其中的哪怕一小部分信息（Cochrane 2005）。

類似地，我們無(wú)從知道投資者使用信息的具體方式，因此也就無(wú)法在參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型中做出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)性假設(shè)（Kelly and Xiu 2023）。我們可以透過(guò)模型的高度不確定性來(lái)審視協(xié)變量和資產(chǎn)收益率之間的未知復(fù)雜關(guān)系。此外，協(xié)變量之間的交互作用是上述復(fù)雜關(guān)系的重要體現(xiàn)之一。

2?模型不確定性

Giannone et al. (2021) 研究了大數(shù)據(jù)時(shí)代經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域常見(jiàn)的六大類預(yù)測(cè)問(wèn)題，其中之一就是實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)。該文在線性模型的框架下，通過(guò)兩個(gè)參數(shù)控制模型納入?yún)f(xié)變量的概率以及協(xié)變量的系數(shù)被向先驗(yàn)（零）收縮（shrinkage）的程度（此處，將系數(shù)向先驗(yàn)收縮是一種正則化手段）。

對(duì)于高維協(xié)變量，收縮是防止過(guò)擬合的有效手段。通過(guò)貝葉斯統(tǒng)計(jì)，該文得出了上述參數(shù)的后驗(yàn)聯(lián)合分布并以此給出了諸多非常有益的定量統(tǒng)計(jì)推斷。在他們考慮的資產(chǎn)定價(jià)案例中，協(xié)變量被納入概率的后驗(yàn)均值很高（0.6 左右）且分布緊密圍繞在均值周圍。其次，從聯(lián)合分布來(lái)看，被納入的概率越高，協(xié)變量系數(shù)的收縮的程度也越高（從而防止過(guò)擬合）。

Kozak et al. (2020) 的實(shí)證結(jié)果也支持這一觀點(diǎn)，即納入更多的協(xié)變量和施加必要強(qiáng)度的正則化對(duì)于模型在樣本外的表現(xiàn)至關(guān)重要。該文使用 50 個(gè)協(xié)變量構(gòu)造因子并研究了它們對(duì)于資產(chǎn)定價(jià)的作用。實(shí)證結(jié)果表明，只有當(dāng)上述兩點(diǎn)均滿足時(shí)才能在樣本外獲得更好的表現(xiàn)。

此外，Giannone et al. (2021) 還考察了每個(gè)協(xié)變量被納入模型的概率。對(duì)于我們關(guān)心的問(wèn)題，該文使用的 144 個(gè)協(xié)變量均有一定的概率被納入模型。結(jié)合所有協(xié)變量的整體被納入概率，我們可以得出實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題中并沒(méi)有明顯的稀疏性模式。換言之，每個(gè)協(xié)變量都有一定可能存在于真實(shí)的模型之中，即模型有很高的不確定性。

上述結(jié)論在 Bryzgalova et al. (2023) 中得到了進(jìn)一步確認(rèn)。該文以 51 個(gè)因子的超過(guò) 2 千萬(wàn)億種排列組合所構(gòu)造的模型為分析對(duì)象，發(fā)現(xiàn)不存在某個(gè)最優(yōu)的模型，而是存在數(shù)百種可能的模型設(shè)定，給出了幾乎相同的資產(chǎn)定價(jià)實(shí)證結(jié)果（即 cross-sectional model space is FLAT）。

此外，Bryzgalova et al. (2023) 指出，最終的資產(chǎn)定價(jià)模型可能由 factor selection 和 factor aggregation“雙向奔赴”構(gòu)成，即有一些因子被納入 SDF 的概率很高（確定性很高），而其他絕大多數(shù)因子都有高度的不確定性。這意味著，在公司特征層面，SDF 是非稀疏的，因此僅僅指望使用極少數(shù)變量以構(gòu)造簡(jiǎn)約的定價(jià)模型（FF3、FF5）是不切實(shí)際的。

當(dāng)然，或許你會(huì)問(wèn)，那么 PCA 以及各種 PCA 的延伸（例如 Risk Premium PCA）如何。實(shí)證結(jié)果（下圖）顯示，并非所有的 RP-PC 因子都進(jìn)入最終的模型；且在被納入的 RP-PC 因子之外，模型中依然有 standalone 公司特征。這意味著，人們依然不完全清楚如何最合理的 aggregate 公司特征；而更有可能的是處于 factor selection 和 factor aggregation 的某種“平衡”之中。

模型的高度不確定性意味著，最佳的預(yù)測(cè)往往是通過(guò)對(duì)平均帶有不同協(xié)變量的模型而獲得。這合理地解釋了模型平均技術(shù)以及更廣泛的集成機(jī)器學(xué)習(xí)方法（如提升、裝袋和隨機(jī)森林等）為什么能在實(shí)證上取得成功。此外，上述研究對(duì)于樣本外的啟發(fā)是，忽視模型不確定性且強(qiáng)加稀疏性假設(shè)會(huì)造成投資機(jī)會(huì)的損失。

3?非線性關(guān)系

近年來(lái)，收益率與協(xié)變量之間的非線性關(guān)系越來(lái)越受到重視（Kirby 2020），特別是在考慮宏觀經(jīng)濟(jì)因素、交易成本或投資者行為時(shí)。

非線性關(guān)系可能源于多種原因。首先，資產(chǎn)的收益率會(huì)隨著時(shí)間變化，受到宏觀經(jīng)濟(jì)周期、貨幣政策和全球金融危機(jī)等因素的影響。其次，交易成本和市場(chǎng)摩擦也可能導(dǎo)致非線性關(guān)系。此外，投資者的反應(yīng)過(guò)度以及反應(yīng)不足也會(huì)致使這種現(xiàn)象出現(xiàn)。投資者的異質(zhì)性和行為也可能導(dǎo)致收益率與協(xié)變量之間的非線性關(guān)系。不同的投資者可能對(duì)信息有不同的反應(yīng)，或者在不同的時(shí)間尺度上做出投資決策，從而影響資產(chǎn)價(jià)格和收益率。

從實(shí)證角度來(lái)說(shuō)，考慮協(xié)變量之間的交互作用而單一協(xié)變量的高階項(xiàng)非是捕捉這種非線性的關(guān)鍵（Bryzgalova et al. forthcoming，Gu et al. 2020，Nagel 2021，Chen et al. 2024）。例如，Gu et al. 2020 通過(guò)比較不同模型發(fā)現(xiàn)，和僅考慮變量自身高階項(xiàng)的廣義線性模型相比，考慮變量之間相互作用的回歸樹(shù)模型以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠獲得更好的樣本外實(shí)證結(jié)果。

在學(xué)術(shù)發(fā)現(xiàn)中，有關(guān)協(xié)變量交互作用的一項(xiàng)經(jīng)典實(shí)證研究要數(shù) Stambaugh et al. (2015)。該文從套利風(fēng)險(xiǎn)的角度研究了特質(zhì)性波動(dòng)率（idiosyncratic volatility）和收益率的關(guān)系。套利風(fēng)險(xiǎn)指的是套利活動(dòng)常常因?yàn)楦鞣N原因被阻止。關(guān)于套利風(fēng)險(xiǎn)的來(lái)源，最常見(jiàn)的便是噪聲交易者的行為。套利交易者在價(jià)格高估時(shí)會(huì)賣空股票，但此時(shí)噪聲交易者可能繼續(xù)買入，進(jìn)一步推高價(jià)格，甚至最終迫使套利交易者因追加保證金的壓力等原因而止損。

鑒于上述假設(shè)，該文提出了關(guān)于特質(zhì)性波動(dòng)率、套利風(fēng)險(xiǎn)以及錯(cuò)誤定價(jià)三者之間關(guān)系的猜想，即特質(zhì)性波動(dòng)率越高，套利風(fēng)險(xiǎn)也就越高，因而股票的錯(cuò)誤定價(jià)就更難以被消除。此外更重要的是：（1）對(duì)于被低估的股票而言，其錯(cuò)誤定價(jià)越嚴(yán)重，則該股票的價(jià)格相對(duì)其內(nèi)在價(jià)值越低，因此未來(lái)的預(yù)期收益率越高，這意味著特質(zhì)波動(dòng)性和預(yù)期收益率正相關(guān)；（2）反觀被高估的股票來(lái)說(shuō)，其定價(jià)錯(cuò)誤越嚴(yán)重，則該股票的價(jià)格相對(duì)其內(nèi)在價(jià)值越高，其未來(lái)的預(yù)期收益率越低，這意味著特質(zhì)波動(dòng)性和預(yù)期收益率成反比。從以上論述不難看出，錯(cuò)誤定價(jià)的程度導(dǎo)致了特質(zhì)波動(dòng)性和收益率之間的非線性關(guān)系。實(shí)證結(jié)果證實(shí)了他們的猜想。

上述結(jié)果對(duì)于實(shí)證研究的另一個(gè)啟示是，我們可以在控制一個(gè)協(xié)變量的前提下，研究另一個(gè)協(xié)變量和收益率之間的關(guān)系。這對(duì)應(yīng)著學(xué)術(shù)界在構(gòu)造因子是廣泛使用的雙重排序法（該方法因被 Fama and French 1993 用來(lái)構(gòu)造因子而得以發(fā)揚(yáng)光大）。

與之對(duì)應(yīng)的另一個(gè)手段是將協(xié)變量的交乘項(xiàng)加入到回歸模型之中。然而，哪些變量之間存在交互作用呢？金融學(xué)先驗(yàn)在這方面似乎沒(méi)有給出太多的指引。此外，在協(xié)變量的高維數(shù)時(shí)代，想要窮盡兩兩變量的雙重排序或是交乘項(xiàng)也是不切實(shí)際的。在這種困境下，通過(guò)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法捕捉隱藏在數(shù)據(jù)之中的潛在非線性關(guān)系或許是可行之道。

以上簡(jiǎn)要梳理了當(dāng)下資產(chǎn)定價(jià)研究的第二個(gè)實(shí)證挑戰(zhàn)。本文和前文勾勒的兩個(gè)實(shí)證挑戰(zhàn)也在很大程度上驅(qū)動(dòng)了實(shí)證研究從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)向機(jī)器學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)型。

在下一篇，我們將會(huì)對(duì)比這二者在實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究中的異同。

Stay tuned.

參考文獻(xiàn)

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Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section. Journal of Financial Economics 135(2), 271-292.

Nagel, S. (2021). Machine Learning in Asset Pricing. Princeton University Press.

Stambaugh, R. F., J. Yu, and Y. Yuan (2015). Arbitrage asymmetry and the idiosyncratic volatility puzzle. Journal of Finance 70(5), 1903-1948.

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