作者：石川

摘要：謹(jǐn)以此文紀(jì)念 Harry Markowitz.

美國當(dāng)?shù)貢r間 2023 年 6 月 22 日，現(xiàn)代投資組合理論發(fā)明者、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲獎?wù)?Harry Markowitz 去世，享年 95 歲。

不夸張地說，在上世紀(jì) 50 年代，Markowitz 的研究可謂從無到有，他以一己之力將數(shù)量化分析方法應(yīng)用于金融市場，并開創(chuàng)性地提出現(xiàn)代投資組合理論（mean-variance 有效前沿），讓人們對于金融市場的分析從 DCF 轉(zhuǎn)向同時關(guān)注 return 和 risk。

直到今天，資產(chǎn)配置依然是投資中（最）重要的課題（之一）。而從事量化投資的小伙伴也無不對 mean-variance portfolio allocation 以及由此衍生出來的其他配置方法如數(shù)家珍（見《淺析資產(chǎn)配置的幾種方法》）。

本文就來簡要回顧一下 Markowitz 學(xué)術(shù)發(fā)現(xiàn)背后的心路歷程。本文前半部分的歷史敘述參考羅聞全教授的?In Pursuit of the Perfect Portfolio?一書中關(guān)于 Markowitz 的章節(jié)（Lo and Foerster 2021），第三節(jié)是我個人的思考。

1?命中注定

正如所有不凡人生都有一些傳奇色彩，Markowitz 也不例外。

1950 年，就像所有迷茫的 Ph.D. candidates 一樣，正在芝加哥大學(xué)攻讀博士學(xué)位的 Markowitz 坐在他導(dǎo)師 Marschak 的辦公室外，等待和他探討博士論文選題。與此同時，同樣等在門外的是一位股票經(jīng)紀(jì)人。也許是為了打發(fā)時間，這個青澀的、投資經(jīng)營為零的博士生和這位經(jīng)紀(jì)人閑聊了起來。而正是這個契機(jī)改變了一切。當(dāng)日稍晚的時候，Markowitz 對導(dǎo)師說“門外這個人建議我研究股票市場。您覺著如何？” Marschak 思考后告訴他這是一個值得嘗試的方向。于是，這次陰差陽錯的邂逅便拉開了 Markowitz 的研究之路，他致力于將數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)方法應(yīng)用于股票市場。

這便是第一個命中注定的時刻。然而，傳奇色彩遠(yuǎn)不止于此。

在上世紀(jì) 50 年代，別說是金融學(xué)，就連定量研究在股票市場中幾乎都是聞所未聞。因此，可供 Markowitz 參考的文獻(xiàn)寥寥無幾。彼時，經(jīng)由導(dǎo)師牽線搭橋，時任商學(xué)院院長的 Marshall Ketchum 給 Markowitz 推薦了幾本幫他了解股票投資的專著，其中包括 Graham 和 Dodd 的、如今家喻戶曉的?Security Analysis。不過對 Markowitz 影響最大的則要數(shù) John Burr Williams 的?The Theory of Investment Value。也正是它極大推動了 Markowitz 的研究。

1950 年的某天下午，當(dāng) Markowitz 在芝加哥大學(xué)商學(xué)院圖書館中啃著 Williams 的這本著作時，一絲靈光乍現(xiàn)誕生了。Markowitz 發(fā)現(xiàn) Williams 的理論中忽視了股票收益率之間的相關(guān)性，此外該理論假設(shè)投資者只關(guān)心預(yù)期收益率而不關(guān)心風(fēng)險。在這個假設(shè)下，投資者只需購買預(yù)期收益率最高的單支股票來構(gòu)建投資組合即可，而不需要同時持有多支股票。

這樣的推論讓 Markowitz 十分不解，因為這和業(yè)界的共識不符。在 Ketchum 給 Markowitz 的資料中，還有一份來自 Wiesenberger 的 Survey，它顯示投資者非常在乎多樣化（diversification）并且通過買入公募基金來達(dá)到同時持有一攬子（而絕非單支）股票的目的。理論和實踐的矛盾讓 Markowitz 意識到，Williams 的理論中缺失了一個重要的因素，即投資者對投資組合整體風(fēng)險的關(guān)注。

為了確定投資組合的風(fēng)險，Markowitz 進(jìn)一步意識到，Williams 忽視股票收益率之間的相關(guān)性也是錯誤的。因為股票的收益率之間是相關(guān)的，而非獨立的。因此，僅僅知道單一股票的風(fēng)險是不夠的，而且還要知道它們的相關(guān)性。Markowitz 事后回憶道，這個想法是他學(xué)術(shù)生涯的第一個 aha moment。每當(dāng)有人問他“你是否意識到這會為你帶來諾貝爾獎”時，他總是回答說“當(dāng)然不！但是我意識到這會給我?guī)硪粋€博士學(xué)位?！?/span>

這便是第二個命中注定的時刻。

2?現(xiàn)代投資組合理論的誕生

由于良好的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)訓(xùn)練，通過標(biāo)準(zhǔn)差刻畫單一股票風(fēng)險，通過相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差來計算投資組合的風(fēng)險對于 Markowitz 似乎就是水到渠成一般。

在第二個命中注定時刻的那天下午，Markowitz 在草稿紙上畫出了也許是世界上第一個 mean-variance 有效前沿。只不過當(dāng)時他把預(yù)期收益率放在了橫坐標(biāo)，將風(fēng)險放在了縱坐標(biāo)，因此有效前沿如下圖所示（摘自其 1952 年發(fā)表在 JF 上的文章），即對于給定的預(yù)期收益率，該組合風(fēng)險最低；或者對于給定的風(fēng)險，該組合的預(yù)期收益率最高。

1952 年，Markowitz 以 Portfolio Selection 為題將其研究成果發(fā)表在?Journal of Finance?上，這甚至比他獲得博士學(xué)位還要早了兩年。這篇文章通篇數(shù)學(xué)公式，并配合恰當(dāng)?shù)膱D例，這對于當(dāng)年的 JF 來說，是十足的異類。然而在如今看來，正是它拉開了定量研究的序幕，Markowitz 也被稱為現(xiàn)代投資組合之父。

不過有意思的是，無論是金融學(xué)的發(fā)端還是 Markowitz 的歷史功績背后，都不乏一些逸聞趣事，向世人傳遞著屬于那個時代的溫情。

在 Markowitz 博士論文答辯之前，他認(rèn)為自己不會遇到什么麻煩。然而，在答辯僅僅進(jìn)行了五分鐘之后，Milton Friedman 便打斷他說“Harry，你的論文不屬于經(jīng)濟(jì)學(xué)范疇，我們不能給你經(jīng)濟(jì)學(xué)博士學(xué)位?！笨梢韵胂?，在之后的一個半小時中，Markowitz 是在怎樣的糾結(jié)中度過。不過最終的結(jié)果并沒有像 Friedman 描述的那樣“殘酷”。在他答辯之后，學(xué)術(shù)委員會只進(jìn)行了 5 分鐘的討論便達(dá)成了共識：“Congratulations Dr. Markowitz”。Friedman 后來告訴 Markowitz，就學(xué)術(shù)成果而言，他足以獲得博士學(xué)位，只不過即使在 50 年后，F(xiàn)riedman 依然堅持自己的看法，即他的研究并不屬于經(jīng)濟(jì)學(xué)。也許正是在那個時刻，作為新興學(xué)科的金融學(xué)悄然發(fā)軔。

如今，提到現(xiàn)代投資組合理論，人們會首推 Markowitz (1952)；而 Markowitz 也被認(rèn)為是現(xiàn)代投資組合理論之父。然而無巧不成書，似乎是注定再添加一筆傳奇色彩，早在十二年前的 1940，現(xiàn)代投資組合理論的雛形就被一位意大利統(tǒng)計學(xué)家 de Finett 提出了。在其論文中，de Finetti 在保險精算問題中使用了 mean-variance analysis 但是并沒有試圖解決最優(yōu)化問題。然而由于語言壁壘（論文是意大利語而非英語）以及研究的并非是金融投資問題，他的發(fā)現(xiàn)并沒有得到足夠的重視。此外，在 Markowitz (1952) 發(fā)表后三個月，來自英國的 A. D. Roy 在?Econometrica?上也發(fā)表了類似的發(fā)現(xiàn)。

Markowitz 在事后談到這些早期或者同期的發(fā)現(xiàn)時表現(xiàn)的十分淡然（比如他用“De Finetti Scoops Markowitz”評價了 de Finetti 的文章）。也許和其他大佬一樣，追求真相的快感遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于個人所獲得的榮譽(yù)。

3?未竟的事業(yè)

如今，mean-variance 投資組合理論歷經(jīng)了 70 余載，而資產(chǎn)配置也早已成為投資中最重要的課題。

現(xiàn)代投資組合理論雖然在數(shù)學(xué)上十分優(yōu)雅，但是在實踐中，由于需要估計的參數(shù)誤差很大（包括預(yù)期收益率非常難以估計，且協(xié)方差的逆運算也有很多實操的坑），因此其在業(yè)界往往被吐槽。不過，質(zhì)疑也好，吐槽也罷，本節(jié)還是讓我們客觀的來評價一下 mean-variance 最優(yōu)化。

讓我們從一個簡單的實證說起。

我以 BetaPlus 小組針對 A 股市場構(gòu)造的 Fama-French 五因子為待配置的標(biāo)的（數(shù)據(jù)可在 www.factorwar.com 下載）。假設(shè)歷史數(shù)據(jù)計算的??和??就是真實的??和??，而下圖中藍(lán)線是根據(jù)該??和??計算而來的有效前沿。接下來，假設(shè)這五個組合的收益率滿足 multivariate normal（參數(shù)為上述??和??），并生成模擬樣本。對于每次模擬，使用模擬樣本計算??和??，并使用它們計算投資組合的最優(yōu)權(quán)重??。得到最優(yōu)權(quán)重??之后，將其代入到真實的參數(shù)??和??中，便得到了圖中的綠線（一共考慮了 50 組模擬，因此一共有 50 條綠色曲線）。

由于真實的參數(shù)是??和??，而我們計算最優(yōu)權(quán)重使用的是??和??，因此每個模擬中的綠色有效前沿都要比藍(lán)色曲線差。它們的差異表明了參數(shù)估計誤差對實際投資組合的影響。這往往就是人們抱怨 mean-variance 最優(yōu)化的原因。然而，另一個更重要的因素是，資產(chǎn)的預(yù)期收益率（以及協(xié)方差）不滿足平穩(wěn)性（e.g.，結(jié)構(gòu)性變化）。和參數(shù)估計不準(zhǔn)確相比（參數(shù)估計準(zhǔn)確性可以通過更多的歷史樣本來提高），DGP 變化導(dǎo)致的參數(shù)變化對于 mean-variance 最優(yōu)化在樣本外的表現(xiàn)影響更大。

在 Markowitz (1952) 中，下面這兩段話其實非常重要。Markowitz 在文章中將資產(chǎn)配置過程分為兩個步驟，第一步是對??和??的估計，第二步才是構(gòu)造 mean-variance 最優(yōu)組合。盡管第一步不是他關(guān)注的，但下面這段話還是反映出他的觀點，即僅僅使用歷史數(shù)據(jù)來估計未來的??和??是不夠的，而一些包含其他信息的 judgment 是必要的。

這自然而然的就讓我想到了?Black-Litterman?這個貝葉斯框架下的資產(chǎn)配置利器。該模型從市場均衡狀態(tài)出發(fā)確定預(yù)期收益率的先驗，并結(jié)合投資者的主觀判斷（以此捕捉 DGP 的變化）形成預(yù)期收益率的后驗。將其作為預(yù)期收益率的估計代入到 mean-variance 最優(yōu)化問題中，往往能夠獲得比直接使用歷史數(shù)據(jù)更好的結(jié)果。

此外，由于 mean-variance 最優(yōu)化中協(xié)方差需要估計的參數(shù)太多，Markowitz 也嘗試提出一種簡化模型來實現(xiàn) portfolio selection。而正是這個契機(jī)成就了 Sharpe 的研究，造就了后來家喻戶曉的?CAPM。

另一方面，考慮到事前估計??和??十分困難，人們又通過合理假設(shè)來規(guī)避掉某些需要估計的參數(shù)，并相繼提出了很多其他的資產(chǎn)配置方法，如 minimum variance、maximum diversification 以及?risk parity?等。這些模型均對實踐中的資產(chǎn)配置產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，而它們都源自 Markowitz 的現(xiàn)代投資組合理論。

和那個年代的許多大師一樣，Markowitz 作為奠基者之一見證了金融學(xué)從 0 到 1。而他也是當(dāng)之無愧的現(xiàn)代投資組合理論之父。

謹(jǐn)以此文紀(jì)念 Harry Markowitz。

參考文獻(xiàn)

Lo, A. W. and S. R. Foerster (2021).?In Pursuit of the Perfect Portfolio: The Stories, Voices, and Key Insights of the Pioneers Who Shaped the Way We Invest. Princeton University Press.

Markowitz, H. (1952). Portfolio selection.?Journal of Finance?7(1), 77 – 91.

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