作者：石川

1 前文回顧

本系列的前篇從布朗運(yùn)動(dòng)出發(fā)，介紹了布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)并解釋了為什么使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)是被投資界廣泛接受的。此外，前文給出了伊藤引理的最基本形式，它是隨機(jī)分析的基礎(chǔ)，為分析衍生品定價(jià)提供了堅(jiān)實(shí)的武器。

作為本系列的后篇，本文將從擴(kuò)展伊藤引理出發(fā)，并用它求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)，然后推導(dǎo) BS 微分方程以及 BS 公式（也稱 Black-Scholes-Merton 公式）。在介紹 BS 公式時(shí)，論述的重點(diǎn)會(huì)放在衍生品定價(jià)中的一個(gè)核心方法，即風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論。此外，我們會(huì)花一定的筆墨來(lái)解釋 BS 公式中的兩個(gè)核心要素（即 N(d_1) 和 N(d_2) 的業(yè)務(wù)含義），明白它們對(duì)理解 BS 公式至關(guān)重要。

在那之前，先來(lái)點(diǎn)輕松的，看看 Black，Scholes 和 Merton 三位大咖長(zhǎng)什么樣子。Scholes 和 Merton 因在衍生品定價(jià)方面的杰出工作于 1997 年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。Black 沒(méi)有在列的原因是他不幸地于 1995 年去世，而諾貝爾獎(jiǎng)不追授給頒獎(jiǎng)時(shí)已故 6 個(gè)月以上的學(xué)者。

2 伊藤引理的一般形式

在前篇中，我們介紹了帶有漂移（drift）和擴(kuò)散（diffusion）的布朗運(yùn)動(dòng)有如下形式的隨機(jī)微分方程。在這里，μ 和 σ 被假定為常數(shù)。

更一般的，漂移和擴(kuò)散的參數(shù)均可以是隨機(jī)過(guò)程 X(t) 以及時(shí)間 t 的函數(shù)。假設(shè)我們令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和擴(kuò)散參數(shù)（則在上面這個(gè)例子中，a(X(t),t) = μ 而 b(X(t),t) = σ）。我們稱滿足如下隨機(jī)微分方程（stochastic differential equation，或 SDE）的隨機(jī)過(guò)程為伊藤漂移擴(kuò)散過(guò)程（Itō drift-diffusion process，下稱伊藤過(guò)程）：

令 f(X(t), t) 為 X(t) 的二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（并對(duì) t 一階可導(dǎo)），由伊藤引理可知（省略自變量以簡(jiǎn)化表達(dá)）：

將 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 帶入上式，并且略去所有比 dt 更高階的小量，最終可以得到伊藤引理的一般形式：

由 f 的 SDE 可知，作為 X 和 t 的函數(shù)，f 本身也是一個(gè)伊藤過(guò)程。更重要的是，伊藤引理說(shuō)明，df 表達(dá)式右側(cè)的布朗運(yùn)動(dòng) dB 恰恰正是 dX 表達(dá)式中的那個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)。換句話說(shuō)，在 f 和 X 的隨機(jī)性由同一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)決定，而非兩個(gè)獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)。這一點(diǎn)在下文中推導(dǎo) BS 微分方程時(shí)至關(guān)重要。下面我們就利用伊藤引理求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

3 幾何布朗運(yùn)動(dòng)

對(duì)于股票價(jià)格 S，可以用滿足如下 SDE 的幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述。

上式中 μ 是股票的期望年收益率，σ 是股票年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。顯然，這是一個(gè)伊藤過(guò)程（a = μS，b = σS）。為了求解 S，令 f = lnS（S 的自然對(duì)數(shù)）并對(duì) df 使用伊藤引理（注：為了保持符號(hào)和前篇的一致性，我們用 S 而非 X 代表股票價(jià)格的隨機(jī)過(guò)程）得到 lnS 的 SDE：

這個(gè)式子說(shuō)明，lnS 是一個(gè)帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)，它的漂移率為 μ – 0.5σ^2，波動(dòng)率為 σ。由布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可知，在任何時(shí)間 T，lnS 的變化符合正態(tài)分布：

如果一個(gè)隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)滿足正態(tài)分布，我們說(shuō)這個(gè)隨機(jī)變量本身滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布（lognormal distribution）。因此，當(dāng)我們用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股價(jià)波動(dòng)時(shí)，得到的股價(jià)滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布。通過(guò)對(duì) lnS 的 SDE 兩邊積分，再對(duì)等式兩邊取指數(shù)，便可很容易的寫出股價(jià)隨時(shí)間變化的解析式：

上式乍一看好像有悖于我們的直覺(jué)。我們已知股票的年收益率期望為 μ。但在上式中，拋開(kāi) B(T) 帶來(lái)的隨機(jī)性不談而僅看時(shí)間 T 的系數(shù)，股價(jià)的增長(zhǎng)速率是 μ – 0.5σ^2 而不是 μ。這意味著什么呢？數(shù)值 μ – 0.5σ^2 又是否是什么別的收益率呢？正確答案是，μ – 0.5σ^2 恰恰是股票每年的連續(xù)復(fù)利期望收益率。利用股價(jià) S 的對(duì)數(shù)正態(tài)特性可以說(shuō)明這一點(diǎn)。假設(shè) x 代表股票每年的連續(xù)復(fù)利收益率。因此有 S(T) = S(0)e^(xT)，或 x = (1/T)×(lnS(T) - lnS(0))。由上面的分析可知，lnS(T) – lnS(0) 符合均值為 (μ – 0.5σ^2)T、方差為 (σ^2)T 的正態(tài)分布。因此每年的連續(xù)復(fù)利收益率 x 也是正態(tài)分布并且滿足：

直觀比較股票的每年期望收益率 μ 和每年連續(xù)復(fù)利期望收益率 μ – 0.5σ^2，后者考慮了波動(dòng) σ，它們的區(qū)別就是年收益率序列算數(shù)平均值和幾何平均值的區(qū)別。來(lái)看一個(gè)例子。假設(shè)某股票在過(guò)去五年的年收益率分別為 15%，20%，30%，-20% 和 25%。這個(gè)序列的算數(shù)平均值為 14%，因此該股票的每年的（樣本）期望收益率 μ = 14%。再來(lái)看看它每年連續(xù)復(fù)利期望收益率是多少。假設(shè)我們?cè)谖迥昵盎?100 塊買入它并持有 5 年，那么在 5 年后我們的回報(bào)是 100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25 = 179.4。因此每年（樣本）連續(xù)復(fù)利期望收益率（即這個(gè)收益率序列的幾何平均值）為 12.4%，顯然它低于算數(shù)平均值。

4 Black-Scholes 微分方程

本節(jié)介紹 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)微分方程。細(xì)心如你一定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了，“隨機(jī)”兩個(gè)字被拿掉了，而 BS 方程是一個(gè)微分方程，說(shuō)明它不再具備任何隨機(jī)因素，這是喜聞樂(lè)見(jiàn)的，因?yàn)闆](méi)有多少人喜歡隨機(jī)性。讀完本節(jié)你就會(huì)明白這是為什么。首先來(lái)看推導(dǎo) BS 微分方程時(shí)用到的假設(shè)：

顯然，有些假設(shè)在真實(shí)交易中是不可能出現(xiàn)的，但是在確定期權(quán)的理論價(jià)值時(shí)，這些假設(shè)還是普遍被接受的。當(dāng)然，自 BS 模型發(fā)明以來(lái)，衍生品定價(jià)也有了長(zhǎng)足的發(fā)展。很多改進(jìn)的模型相繼被提出，用于修正 BS 模型中各種假設(shè)。下面以歐式看漲期權(quán)（European call option）為例介紹 BS 微分方程。

令 C 代表歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，顯然它是標(biāo)的股票價(jià)格 S 和時(shí)間 t 的函數(shù)，記為 C(S, t)。對(duì) C 運(yùn)用伊藤引理可得：

讓我們來(lái)看看在一個(gè)微小的時(shí)間區(qū)間 Δt 內(nèi)股價(jià) S 和期權(quán)價(jià)格 C 如何變化。為此，將 S 和 C 的隨機(jī)微分方程離散化：

在本文第二節(jié)我們?cè)?jīng)強(qiáng)調(diào)過(guò)，一個(gè)伊藤過(guò)程 X 的函數(shù) f 也是一個(gè)伊藤過(guò)程，且 f 和 X 這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程中的不確定性來(lái)自同一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可知，股價(jià)和期權(quán)價(jià)格的變化，即 ΔC 和 ΔS 中，的布朗運(yùn)動(dòng)也是同一個(gè)。認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)是非常關(guān)鍵的，因?yàn)槲覀兛梢允褂霉善焙推跈?quán)來(lái)構(gòu)建一個(gè)投資組合把這個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)完全干掉?？紤]下面這個(gè)投資組合：

該組合做空 1 份期權(quán)，并做多 ?C/?S 份股票。將期權(quán)和股票的權(quán)重帶入 ΔC 和 ΔS 可以很容易的驗(yàn)證，布朗運(yùn)動(dòng) ΔB 被完美的對(duì)沖掉了。這種構(gòu)建投資組合以消除隨機(jī)性的方法稱為 Delta 對(duì)沖。用 P 表示該投資組合的價(jià)值，則它在時(shí)間 Δt 內(nèi)的變化為：

不出意外，ΔB 不存在于 ΔP 的表達(dá)式中，它僅有一個(gè)時(shí)間項(xiàng)。換句話說(shuō)，通過(guò)賣出 1 份期權(quán)并同時(shí)買入 ?C/?S 份股票，我們?cè)?Δt 內(nèi)完美的消除了任何風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建了一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。在不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的市場(chǎng)中，該投資組合在 Δt 內(nèi)的收益率必須等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 r，即 ΔP = rPΔt。將 ΔP 和 P = -C + (?C/?S)S 帶入該式并進(jìn)過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就推導(dǎo)出：

這便是大名鼎鼎的 Black-Scholes 微分方程。由于我們通過(guò) Delta 對(duì)沖消除了隨機(jī)性，該方程中沒(méi)有任何隨機(jī)變量，所以它是一個(gè)一般的（偏）微分方程，而非隨機(jī)微分方程。求解這個(gè)微分方程需要給定的邊界條件。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，它的邊界條件為當(dāng)時(shí)間 t = T（行權(quán)時(shí)刻）時(shí)，期權(quán)的價(jià)格 C 必須滿足 C = max(S(T) - K, 0)，這里 K 是行權(quán)價(jià)格。

最后引用衍生品研究領(lǐng)域的著名學(xué)者約翰 ? 赫爾（John C. Hull）在其著作 Options, Futures, and Other Derivatives 中的一段話來(lái)總結(jié) BS 微分方程的推導(dǎo)過(guò)程：

我們之所以可以建立無(wú)風(fēng)險(xiǎn)交易組合是由于股票價(jià)格與期權(quán)價(jià)格均受同一種不定性的影響：股票價(jià)格的變動(dòng)。在任意一段短時(shí)期內(nèi)，衍生產(chǎn)品的價(jià)格與股票價(jià)格有完美的相關(guān)性；在建立了一個(gè)適當(dāng)?shù)墓善迸c期權(quán)的組合后，由股票所帶來(lái)的盈虧總是可以抵消由期權(quán)所帶來(lái)的盈虧。這樣一來(lái)，交易組合在一個(gè)短時(shí)間內(nèi)的價(jià)值變化也就成為已知而沒(méi)有不確定性。

5 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

其實(shí)，使用給定的邊界條件求解 BS 微分方程就可以得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 C。然而，在衍生品的定價(jià)理論中還有一個(gè)非常重要的方法怎么強(qiáng)調(diào)都不為過(guò)，這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論（Risk-neutral valuation）。使用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)可以繞過(guò)求解 BS 微分方程，更加方便的求出 C。

僅僅看到這里也許你會(huì)誤解：既然不用求解BS微分方程，那么費(fèi)那么大力氣推導(dǎo)它干什么？然而，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論恰恰來(lái)自 BS 微分方程中的一個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)：

BS 微分方程不涉及任何受投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量，在方程中出現(xiàn)的變量包括股票的當(dāng)前價(jià)格、時(shí)間、股票價(jià)格波動(dòng)率和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，而它們均與風(fēng)險(xiǎn)選擇無(wú)關(guān)。

從 BS 微分方程可知，標(biāo)的股票的期望收益率 μ 沒(méi)有出現(xiàn)在方程中。顯然，μ 與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好有關(guān)：投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高，對(duì)任何股票，相應(yīng)的 μ 也會(huì)越高。可喜的是在采用 Delta 對(duì)沖構(gòu)投資組合并推導(dǎo) BS 微分方程時(shí)，μ 也正好消失了！我們通過(guò) Delta 對(duì)沖想要干掉布朗運(yùn)動(dòng)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不僅布朗運(yùn)動(dòng)被干掉了，連 μ 也一起被拿下了，這真是一個(gè) happy accident！既然風(fēng)險(xiǎn)偏好在方程中不出現(xiàn)，那么意味著它的任何取值都不會(huì)影響方程的解。因此，在計(jì)算 C 時(shí)，我們可以使用任意的風(fēng)險(xiǎn)偏好，那么顯然我們想要一個(gè)最簡(jiǎn)單的，即假設(shè)所有的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。

對(duì)于任何衍生品定價(jià)來(lái)說(shuō)，我們無(wú)外乎需要知道以下兩點(diǎn)：

1. 在到期（行權(quán)日）時(shí)它的期望價(jià)格。由于衍生品的價(jià)格是標(biāo)的價(jià)格的函數(shù)，這顯然和標(biāo)的投資品的收益率參數(shù) μ 有關(guān)。

2. 我們需要根據(jù)衍生品在行權(quán)日的價(jià)格推算出在當(dāng)前時(shí)刻該衍生品的價(jià)格，這意味著必須知道適合于該衍生品的折現(xiàn)率。

不幸的是，在現(xiàn)實(shí)世界中，這兩個(gè)參數(shù)都很難被準(zhǔn)確的估計(jì)。因此能夠假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)中性對(duì)于衍生品定價(jià)至關(guān)重要。正如約翰 ? 赫爾所論述的那樣：

在每一個(gè)投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，所有投資的回報(bào)率期望均為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 r，原因是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者而言，不需要額外的回報(bào)而使他們承受風(fēng)險(xiǎn)。另外，在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值都可以通過(guò)對(duì)其期望值以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)來(lái)得到。因此，在假設(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性時(shí)能夠大大地簡(jiǎn)化對(duì)衍生產(chǎn)品的分析。

利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理對(duì)衍生品定價(jià)的過(guò)程如下：

風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)是獲得期權(quán)定價(jià)公式的一個(gè)人為工具，但它所得到的解不僅在這個(gè)虛擬的風(fēng)險(xiǎn)中性世界中成立，而且在所有世界里（自然也就包括真是世界）也都是成立的。當(dāng)我們從風(fēng)險(xiǎn)中性世界換到風(fēng)險(xiǎn)厭惡世界時(shí)，兩件事會(huì)發(fā)生：股票價(jià)格變動(dòng)的增長(zhǎng)率期望以及對(duì)衍生產(chǎn)品收益所必需使用的貼現(xiàn)率都將會(huì)變化，而這兩種變化剛好相互抵消。下面介紹如何使用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論求解歐式看漲期權(quán)的價(jià)格 C。

6 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)公式

歐式看漲期權(quán)在行權(quán)日 T 的期望價(jià)值為 E[max(S(T) – K, 0)]，其中 S(T) 為股票在 T 時(shí)刻的價(jià)格，K 為行權(quán)價(jià)。股價(jià) S 滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論下，S 的期望收益率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 r，且期權(quán)的折現(xiàn)率也等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 r。因此，期權(quán)在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)格 C 為：

根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)可以方便的計(jì)算出 E[max(S(T) – K, 0)]，從而得到著名的 BS 期權(quán)定價(jià)公式（同時(shí)給出看漲期權(quán)價(jià)格 C 和看跌期權(quán)價(jià)格 P）：

根據(jù)公式并利用計(jì)算機(jī)，只要輸入五個(gè)變量——當(dāng)前股價(jià) S(0)、行權(quán)價(jià)格 K，行權(quán)日距現(xiàn)在的時(shí)間（按年計(jì)算）T，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 r，以及標(biāo)的股票的年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差 σ —— 就可以計(jì)算出歐式看漲（看跌）期權(quán)的理論價(jià)格，這無(wú)疑非常方便。然而我們需要了解定價(jià)公式背后的含義。

對(duì)于任何一個(gè)期權(quán)，在定價(jià)時(shí)有兩個(gè)不確定性需要考慮：

這兩個(gè)不確定性恰恰就對(duì)應(yīng)著由 BS 定價(jià)公式中的 N(d_1) 和 N(d_2)。以看漲期權(quán)為例來(lái)解釋這一點(diǎn)。在 BS 公式中，N 代表了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)，因此 N(d_1) 和 N(d_2) 就代表兩個(gè)概率。其中，N(d_2) 正是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)被行權(quán)的概率，即 prob(S(T) > K)。因此 C 公式中的第二項(xiàng) Ke^(-rT)N(d_2) 就是在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)、考慮了行權(quán)概率后的行權(quán)費(fèi)的期望（即為了在 T 購(gòu)買股票所需的期望成本）。

至于 N(d_1)，對(duì)于它的理解遠(yuǎn)沒(méi)有 N(d_2) 直觀。先拋開(kāi) N(d_1) 不說(shuō)，而來(lái)看看 C 公式中的第一項(xiàng)。由于第二項(xiàng)代表著期望成本，那么第一項(xiàng)必然代表著行權(quán)得到股票的期望收益。由于只有 S(T) 大于 K 才會(huì)行權(quán)，因此在行權(quán)的條件下，股票在行權(quán)時(shí)的期望價(jià)值是一個(gè)條件期望，即 E[S(T) | S(T) > K]。用這個(gè)條件期望乘以行權(quán)的概率 N(d_2) 再把它折現(xiàn)到今天（乘以 e^(-rT)）就應(yīng)該是 C 公式中的第一項(xiàng)。因此有：

將 S(0) 替換為 e^(-rT)E[S(T)] 并帶入上式可知：

由于 E[S(T) | S(T) > K] > E[S(T)]，因此 N(d_1) > N(d_2)（這從 d_1 大于 d_2 且 N 是單調(diào)增函數(shù)也可以驗(yàn)證）。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，我們可以把 N(d_1) 理解為風(fēng)險(xiǎn)中性世界中、按照股票價(jià)格加權(quán)的行權(quán)概率。這是因?yàn)楹凸潭ǖ男袡?quán)成本 K 不同（K 是獨(dú)立于股價(jià) S 的），收益和股價(jià)之間不是獨(dú)立的。N(d_1) 在數(shù)學(xué)上還有另外的解釋，它是“以股票波動(dòng)率 σ 為市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)，并在以股票為計(jì)價(jià)單位時(shí)，期權(quán)被行權(quán)的概率”。如果你覺(jué)著這句話是天書也沒(méi)有任何問(wèn)題，因?yàn)橐忉屗枰婕暗綔y(cè)度變換、等價(jià)鞅、以及計(jì)價(jià)單位變換等高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。這些顯然超出本文的范疇。

如果我們使用 C 的公式對(duì) S 求偏導(dǎo)數(shù)，那么不難發(fā)現(xiàn) N(d_1) 恰恰等于 ?C/?S。因此在現(xiàn)實(shí)中，投資者把 N(d_1) 理解為看歐式漲期權(quán)價(jià)格 C 對(duì)標(biāo)的股票價(jià)格 S 的變化的敏感程度。

看到這里，也許你會(huì)發(fā)問(wèn)：BS 定價(jià)公式僅僅給出了一個(gè)基于各種嚴(yán)格假設(shè)的理論價(jià)格，它在現(xiàn)實(shí)中到底有沒(méi)有用？真的會(huì)有人因?yàn)槔碚搩r(jià)格和實(shí)際交易價(jià)格不同來(lái)構(gòu)建策略并且賺錢嗎？BS 定價(jià)公式的核心價(jià)值在于它構(gòu)建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，以此我們可以求出期權(quán)的各種風(fēng)險(xiǎn)敞口，這對(duì)于將期權(quán)（或任何衍生品）作為配置資產(chǎn)的投資者至關(guān)重要。由 BS 公式出發(fā)可以方便的求出期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)、時(shí)間、利率、波動(dòng)率的偏導(dǎo)數(shù)，從而確定期權(quán)在這些因素上的風(fēng)險(xiǎn)敞口。在投資中，常用的風(fēng)險(xiǎn)敞口有五類（通常用希臘字母來(lái)表示），它們是：

我們會(huì)在后續(xù)的文章中進(jìn)一步介紹這些風(fēng)險(xiǎn)敞口。除此之外，BS 公式的另一個(gè)核心作用是計(jì)算標(biāo)的資產(chǎn)的隱含波動(dòng)率。在 BS 公式中，除去 σ 之外的輸入?yún)?shù)的取值都比較確定，唯有 σ 可能會(huì)隨著使用者的不同而不同。根據(jù)期權(quán)的實(shí)際交易價(jià)格，可以利用 BS 公式反推出標(biāo)的波動(dòng)率 σ，稱為隱含波動(dòng)率，這往往代表著市場(chǎng)對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的普遍觀點(diǎn)。隱含波動(dòng)率最有名的應(yīng)用大概是芝加哥交易所針對(duì)標(biāo)普 500 指數(shù)，利用未來(lái) 30 天的看漲和看跌期權(quán)計(jì)算的 VIX 指標(biāo)，又稱為恐慌指數(shù)。它被投資者廣泛參考。

7 結(jié)語(yǔ)

和本系列前篇一樣，再次恭喜你看到這里……下面，讓我們來(lái)簡(jiǎn)單總結(jié)一下本文都說(shuō)了點(diǎn)啥。本文首先定義了伊藤過(guò)程，并給出了伊藤引理的一般形式，通過(guò)它可以方便的寫出伊藤過(guò)程的函數(shù)的隨機(jī)微分方程。伊藤引理說(shuō)明伊藤過(guò)程的函數(shù)也是一個(gè)伊藤過(guò)程，且它的隨機(jī)性和原始的伊藤過(guò)程來(lái)自同一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，這對(duì)于推演 BS 微分方程至關(guān)重要。

利用伊藤引理，可以很容易的求解幾何布朗運(yùn)動(dòng)，從而得到股價(jià)的描述模型。在幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，股價(jià)滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，這也是 BS 定價(jià)模型的假設(shè)之一。在股價(jià)模型中，年收益率期望和連續(xù)復(fù)利收益率期望是兩個(gè)不同的概念，它們的區(qū)別相當(dāng)于收益率序列的算數(shù)平均值和幾何平均值的區(qū)別。

最后利用 Delta 對(duì)沖，利用標(biāo)的股票和期權(quán)構(gòu)建投資組合從而完美的消除了布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性，從而得到了 BS 微分方程，這是衍生品定價(jià)的基礎(chǔ)。此外，在 Delta 對(duì)沖下，和投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好相關(guān)的參數(shù) μ 也從 BS 方程中消失了。由此引出了衍生品定價(jià)中的一個(gè)非常重要的方法：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論。根據(jù)該理論求出了歐式期權(quán)的價(jià)格，并以看漲期權(quán)為例解釋了價(jià)格表達(dá)式中每一項(xiàng)的業(yè)務(wù)含義。文章最后介紹了 BS 公式在實(shí)際投資中的核心作用：它可以量化期權(quán)的各種風(fēng)險(xiǎn)敞口，這對(duì)于配置期權(quán)的投資者至關(guān)重要。

免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險(xiǎn)，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見(jiàn)并不構(gòu)成對(duì)任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對(duì)任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說(shuō)明外，文中圖表均直接或間接來(lái)自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。