作者：石川

摘要：風(fēng)險(xiǎn)三要素公式為解釋投資組合的風(fēng)險(xiǎn)提供了清晰的框架。

1 引言

之前的文章《α 的三要素》講了主動(dòng)投資管理中組成超額收益的三個(gè)成分。誠(chéng)然，獲得超額收益是主動(dòng)管理的目標(biāo)，但在這個(gè)過(guò)程中，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的控制不亞于對(duì)收益的追求。在被動(dòng)投資中，由于僅僅買入市場(chǎng)組合，風(fēng)險(xiǎn)就是市場(chǎng)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。在主動(dòng)管理中，基金經(jīng)理通過(guò)配置得到了不同于市場(chǎng)的投資組合，因此該組合的風(fēng)險(xiǎn)也不同于市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。一個(gè)優(yōu)秀的基金經(jīng)理必須十分清楚其投資組合風(fēng)險(xiǎn)的組成部分。

《α 的三要素》給出了一個(gè)優(yōu)雅的式子：α = Volatility × IC × Score。無(wú)獨(dú)有偶，關(guān)于主動(dòng)管理中投資組合的風(fēng)險(xiǎn)（用投資組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差 σ 來(lái)衡量），同樣存在一個(gè)類似的表達(dá)式，即

為了有助于下文的討論，假設(shè)一個(gè)基金經(jīng)理構(gòu)建了一個(gè)主動(dòng)管理的投資組合 P（該組合由不同的股票以某種權(quán)重構(gòu)成），令 R 代表這個(gè)投資組合的收益率。在構(gòu)建 P 時(shí)，基金經(jīng)理通過(guò)將投資組合以特定的風(fēng)險(xiǎn)暴露（exposure）置于不同的收益源（sources of return）之中得到，因此投資組合的收益率R可以分解為：

其中 x_m?是投資組合 P 在收益源 m 上的暴露，r_m?是收益源 m 的收益率。舉個(gè)例子，假設(shè)一個(gè)基金經(jīng)理以 0.3 的暴露買入行業(yè)一并以 0.6 的暴露買入行業(yè)二，以此構(gòu)建了投資組合。在本例中，銀行和國(guó)防軍工兩個(gè)行業(yè)的收益率就是兩個(gè)收益源的收益，而 0.3 和 0.6 就是該投資組合在這兩個(gè)收益源上的暴露，即

基于投資組合收益率的分解模型（1），我們下面探討投資組合的風(fēng)險(xiǎn) σ(R)。首先來(lái)看兩個(gè)傳統(tǒng)的研究方法。

2 計(jì)算 σ(R) 的兩個(gè)傳統(tǒng)方法

第一種方法是獨(dú)立考慮每個(gè)收益源對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)。對(duì)于收益源 m，它對(duì)投資組合收益率R的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)為 σ(x_m r_m)，即我們計(jì)算收益源收益率 r_m?自身的風(fēng)險(xiǎn)，再把它按比例折算到投資組合收益率的風(fēng)險(xiǎn)中。這種做法雖然直觀，但是它沒(méi)有考慮收益源與投資組合之間的相關(guān)性（顯然，收益源與投資組合的相關(guān)性越高，它對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)度越大）。此外收益源各自獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)加在一起不等于投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，即

這導(dǎo)致投資組合的風(fēng)險(xiǎn)中無(wú)法被收益源的獨(dú)立風(fēng)險(xiǎn)之和解釋。第二種方法是考慮每種收益源對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的邊際貢獻(xiàn)（marginal contribution），它由如下的偏導(dǎo)數(shù)定義：

在這種解釋下，投資組合對(duì)收益源m的風(fēng)險(xiǎn)暴露每增加一個(gè) Δx_m?單位，投資組合的風(fēng)險(xiǎn) σ(R) 便增加 MCR_mΔx_m?個(gè)單位。不難證明，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)等于所有收益源的邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)之和（我們會(huì)在下文介紹 σ 的三要素時(shí)給出這個(gè)式子的推導(dǎo)）：

基于邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)這個(gè)方法的最大好處正如上式所示：投資組合的風(fēng)險(xiǎn)可以完全的被邊際風(fēng)險(xiǎn)解釋。然而，它的缺點(diǎn)是人們很難從業(yè)務(wù)層面理解偏導(dǎo)數(shù)：每個(gè)收益源到底對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)有多少貢獻(xiàn)？這和偏導(dǎo)數(shù)又有什么關(guān)系？諸如此類的問(wèn)題很難直觀的回答。

3 σ 的三要素

由于上述兩種傳統(tǒng)方法在解釋投資組合的風(fēng)險(xiǎn) σ(R) 都不盡如人意，Davis and Menchero (2010) 提出了投資組合風(fēng)險(xiǎn)的三要素，即?σ = Exposure?×?Volatility?×?Correlation。該公式的數(shù)學(xué)表達(dá)為：

三要素的解釋如下：

由上述說(shuō)明可知，風(fēng)險(xiǎn)三要素公式（2）的含義是：如果收益源收益率和投資組合收益率的相關(guān)性越高、收益源收益率自身的波動(dòng)越大、投資組合在該收益源上的暴露越大，那么該收益源對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)就越高。此外，投資組合的風(fēng)險(xiǎn) σ(R) 可以完全被所有收益源的風(fēng)險(xiǎn) σ(r_m) 按上式分解。

風(fēng)險(xiǎn)三要素公式的正確性由下面的證明給出：

上面的推導(dǎo)中僅僅用到了協(xié)方差公式的定義，以及協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系。

4 優(yōu)于傳統(tǒng)解釋

在解釋投資組合的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，三要素公式較第二節(jié)中的兩種傳統(tǒng)解釋有明顯的優(yōu)勢(shì)。第一種方法將收益源與投資組合隔絕開來(lái)，不考慮收益源與投資組合的相關(guān)性，也不考慮收益源之間的相關(guān)性，無(wú)法正確的解釋收益源對(duì) σ(R) 的貢獻(xiàn)。另一方面，對(duì)比第二種方法中 σ(R) 的計(jì)算公式以及三要素公式（2）易知 MCR_m?= σ(r_m)ρ(r_m, R)。這可以由如下推導(dǎo)驗(yàn)證：

兩邊同時(shí)對(duì) x_m?求偏導(dǎo)數(shù)并利用鏈?zhǔn)椒▌t以及協(xié)方差公式的定義有：

可見，收益源 m 的邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn) MCR_m?等于其自身的波動(dòng) σ(r_m) 乘以它和投資組合收益率的相關(guān)系數(shù) ρ(r_m, R)。顯然，比起偏導(dǎo)數(shù)的解釋，σ(r_m) 與 ρ(r_m, R) 乘積的解釋要更加清晰。此外，這種對(duì) MCR_m?的分解可以為基金經(jīng)理提供更好的判斷。

舉個(gè)例子，假設(shè)兩個(gè)收益源的邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)都是 1%（且投資組合對(duì)這兩個(gè)收益源的暴露相同）?；贛CR的解釋方法無(wú)法區(qū)分它們。進(jìn)一步假設(shè)第一個(gè)收益源自身的波動(dòng)為 10%，它與投資組合的相關(guān)系數(shù)為 0.1（10%×0.1 = 1%）；第二個(gè)收益源自身的波動(dòng)為 2%，它與投資組合的相關(guān)系數(shù)為 0.5（2%×0.5 = 1%）。MCR_m?= σ(r_m)ρ(r_m, R) 說(shuō)明，雖然 MCR_m?相同，但是收益源 1 自身有更大的波動(dòng)。這雖然并不意味著收益源 1 更加危險(xiǎn)（因?yàn)檫@兩個(gè)收益源的邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)相同），但是不要忘記，所有的這些參數(shù)都是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計(jì)得到的。由于收益率自身的波動(dòng)比收益率之間的協(xié)方差更容易估計(jì)，因此收益源 1 對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)的影響很有可能比收益源 2 更大。此外，如果基金經(jīng)理想要排除他的投資組合對(duì)這兩個(gè)收益源中某一個(gè)的暴露，那么僅僅依靠 MCR_m?是不夠的，σ(r_m) 與 ρ(r_m, R) 顯然為他提供了更多的依據(jù)。

5 從風(fēng)險(xiǎn)角度看收益相關(guān)性

風(fēng)險(xiǎn)三要素公式說(shuō)明，收益源和投資組合的相關(guān)性對(duì)風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)至關(guān)重要。收益源和投資組合的相關(guān)性又和收益源之間的相關(guān)性有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。通常情況下，用來(lái)構(gòu)建投資組合的收益源之間或多或少存在相關(guān)性（可以是正相關(guān)也可以是負(fù)相關(guān)）。比如，如果銀行行業(yè)和低 β 是兩個(gè)收益源，那么它們之間顯然存在一定的正相關(guān)性。兩個(gè)收益源 m 和 n 的收益率之間的相關(guān)性可以由它們的相關(guān)系數(shù) ρ(r_m, r_n) 表示。風(fēng)險(xiǎn)三素公式為解讀 ρ(r_m, R) 和 ρ(r_m, r_n) 的關(guān)系提供了全新的思路。首先給出數(shù)學(xué)推導(dǎo)：

此公式說(shuō)明任何一個(gè)收益源 m 和投資組合的相關(guān)性 ρ(r_m, R) 相當(dāng)于 rm?與所有收益源?rn?的相關(guān)性 ρ(r_m, r_n) 以權(quán)重 x_n(σ(r_n)/ σ(R)) 的加和。收益源 n 對(duì) ρ(r_m, r_n) 的貢獻(xiàn)度取決于投資組合對(duì)收益源n的暴露程度 x_n，收益源 n 對(duì)于投資組合的相對(duì)波動(dòng)率 σ(r_n)/ σ(R)，以及收益源 n 與 m 之間的相關(guān)性 ρ(r_m, r_n)。只有當(dāng)

1、x_n?足夠大；

2、r_n?的波動(dòng)與 R 的波動(dòng)有可比性；

3、r_n?與 r_m?足夠相關(guān)

三個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，收益源 n 才足以影響到收益源 m 與投資組合的相關(guān)性。通過(guò)比較不同收益源的 x_n(σ(r_n)/σ(R))ρ(r_m, r_n)，就可以方便的判斷哪個(gè)收益源 n 對(duì) ρ(r_m, R) 貢獻(xiàn)最大。這可以為基金經(jīng)理控制投資組合的風(fēng)險(xiǎn)提供新的思路。

在理想情況下，如果投資組合的收益可以完全被若干個(gè)收益源解釋，且這些收益源之間都是無(wú)關(guān)的（uncorrelated），即對(duì)于不同 m 和 n 有 ρ(r_m, r_n) = 0，在這種情況下（并且由定義有 ρ(r_m, r_m) = 1），上式簡(jiǎn)化為

乍一看，這似乎與三要素公式（2）矛盾（因?yàn)椋?）里面用到所有收益源的求和，且 ρ(r_m, R) 不是分母）。但簡(jiǎn)單的計(jì)算加上運(yùn)用最小二乘法回歸的性質(zhì)不難驗(yàn)證上式與（2）是完全一致的。將上式兩邊同時(shí)乘以 ρ(r_m, R) 的平方得到：

上式對(duì)所有收益源 m 都成立。將對(duì)應(yīng)所有收益源 m 的上式相加，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)便可以得到風(fēng)險(xiǎn)三要素公式：

在上面的推導(dǎo)中，Σ_m ρ(r_m, R)^2?= 1 是利用到了多元線性回歸中 coefficient of determination（就是我們回歸中常說(shuō)的 R-squared 或 R^2）的性質(zhì)。由于我們假設(shè)投資組合的收益率完全由這些收益源解釋，因此 R^2?= 1；又因?yàn)槲覀兗僭O(shè)了所有的收益源都是不相關(guān)的，即 ρ(r_m, r_n) = 0，在這種情況下 R^2?等于投資組合收益率與每一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)源收益率的相關(guān)系數(shù)的平方和。因此有 1 = R^2?= Σ_m ρ(r_m, R)^2。

6 三要素公式在風(fēng)險(xiǎn)多因子模型中的應(yīng)用

在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)多因子模型中，個(gè)股的收益率（刨除無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率后）r_n?往往被寫成若干個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子的收益率和其自身的特異性收益率的組合（這些風(fēng)險(xiǎn)因子和股票的特異性便對(duì)應(yīng)上文中的收益源）：

其中 X_{nk} 是股票 n 在因子 k 上的暴露，f_k?是因子收益率，u_n?是股票 n 的特異性收益率。所有股票相對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的超額收益都可以用上式表示。如果按照一定的權(quán)重 w_n?將股票組合成一個(gè)投資組合，那么該投資組合的收益率也可以由這些風(fēng)險(xiǎn)因子收益率和所有股票的特異性收益率表示：

對(duì)上式直接運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)三要素公式便可方便的求出投資組合的風(fēng)險(xiǎn)的組成：

投資組合的風(fēng)險(xiǎn)由因子模型的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和個(gè)股特異性風(fēng)險(xiǎn)兩部分組成。個(gè)股特異性風(fēng)險(xiǎn)源于個(gè)股的特異性收益 u_n，它是風(fēng)險(xiǎn)因子無(wú)法解釋的那部分收益。使用風(fēng)險(xiǎn)多因子模型時(shí)，為了正確計(jì)算投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，上面兩個(gè)組成部分缺一不可。

參考文獻(xiàn)

Davis, B. and Menchero, J. (2010). Risk Contribution is Exposure times Volatility times Correlation. Technical Report. MSCI Barra Research.

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