作者：石川

摘要：實證結(jié)果顯示，因子收益率的時序信息可以改進 SDF 估計。

The cross-section and time series of stock returns contains a wealth of information about the stochastic discount factor (SDF).

2020 年 5 月，Review of Financial Studies 推出了題為 New Methods in the Cross-Section 的?？?。兩位?？庉嬕蔡氐貙懥艘黄鸞1]文章（Karolyi and Nieuwerburgh 2020）介紹這期專刊。而上面這句話就出自該文摘要的第一句。它傳遞出了相當(dāng)多的信息量。

首先，人們之所以關(guān)心 SDF，是因為它和 mean-variance efficient frontier 是等價的[2]；后者決定了最大夏普率，而最大化樣本外（條件）夏普率一直都是人們的目標。所以對 SDF 的估計無疑對這方面有很大的啟發(fā)。在上面這句英文中，和本文最相關(guān)的關(guān)鍵詞是 time series，即股票收益率的時序信息。

最近兩年，在利用股票平均收益截面（cross-section）信息估計 SDF（或者 SDF 的等價物 —— 多因子模型[3]）方面出現(xiàn)了很多佳作，其中頗具代表性的見刊的文章包括 2019 和 2020 年分別獲得 Journal of Financial Economics Fama-DFA best paper award 的雄文Kelly, Pruitt, and Su (2019) 和 Kozak, Nagel, and Santosh (2020)[4]。不過，利用收益率時序信息來改進 SDF 估計方面的研究則寥若晨星。

你問為什么，因為時序收益率難預(yù)測??！我們來理一理。根據(jù) Hansen and Jagannathan (1991)，SDF 和個股 excess return 滿足如下關(guān)系：

?

其中??是 SDF，且由于??表示超額收益，因此滿足??。如果從上式出發(fā)，則意味著想要更好的估計 SDF，就需要對個股收益率進行時序預(yù)測。但這無疑是很困難的。因此，有必要把上式進行簡化。大量實證研究表明，股票的收益率和各種公司特征（firm characteristics）相關(guān)，因此可以利用有限個公司特征把上式中的??——??期 SDF 對股票的 loading 向量 —— 轉(zhuǎn)化為如下的形式：

?

?

其中??是??階矩陣，代表??個股票在??個公司特征上的取值，而 SDF 的表達式轉(zhuǎn)化為：

?

由上述對??的假設(shè)可知，??和??滿足??。看到這里就一目了然了，??（??階向量）代表了??個 managed portfolios 的收益率 —— 每個組合都是以??的某一行（即原始??的某一列，即某個公司特征）為權(quán)重的多空組合。而在上式中，??是 SDF 對這些組合的 loading 向量。通過這個變化，我們把 SDF 和??個基于公司特征構(gòu)造的投資組合 —— 因子！—— 聯(lián)系起來了。由資產(chǎn)定價原理可知，??期 SDF 的最優(yōu)權(quán)重為：

?

其中，??為因子的協(xié)方差矩陣。那么，我們是否距離利用時序信息更接近了呢？在上述最優(yōu)解中，為了更好的估計 SDF，需要估計時變的因子預(yù)期收益率。這件事兒又有另一個令人興奮的名字：因子擇時。但是因子擇時何其容易？尤其當(dāng)因子的個數(shù)??很大的時候。是否還有辦法從縮減因子個數(shù)的角度把問題進一步簡化呢？好消息是，答案是肯定的。我們請出第二個武器：Kozak, Nagel, and Santosh (2018)[5]。Kozak, Nagel, and Santosh (2018) 的研究表明，在不存在無風(fēng)險套利機會的假設(shè)下，那些能夠解釋資產(chǎn)共同運動（即協(xié)方差矩陣）的因子同樣能夠解釋資產(chǎn)的預(yù)期超額收益。在這個結(jié)論下，只需要把上述因子理解成資產(chǎn)，然后對它們的協(xié)方差矩陣做 PCA。由于前幾個主成分極大的解釋了這些因子的共同運動，因此它們也將解釋因子的預(yù)期收益。在這個假設(shè)下，對 SDF 的估計可以進一步簡化為：

??

其中??表示由若干主成分構(gòu)成的投資組合的收益率向量，而 SDF 最優(yōu)權(quán)重為：

??

將其帶回 SDF 的表達式，就可以得到利用了時序信息的 SDF 估計：

??

我們來回顧一下上述兩步走，來看看是怎么得到的最終的 SDF 的估計。第一步把股票收益率轉(zhuǎn)化為因子的收益率（每個因子組合是按照 firm characteristic 構(gòu)造的 managed portfolio），并指出通過對因子收益率擇時在理論上可以更好的估計 SDF；而第二步中將上述因子視作資產(chǎn)，進一步通過 PCA 將需要估計的時變收益率個數(shù)從??個因子轉(zhuǎn)化成比??小的多的有限個主成分的個數(shù)，使得擇時成為可能。上述推論意味著，一旦能夠比較準確地預(yù)測??，就可以利用時序信息更好的估計 SDF。

那么實證結(jié)果是否支持這個猜想呢？Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 這篇發(fā)表在本文開篇提到的 RFS ?？系恼撐慕o出了肯定的答案。在實證中，該文利用美股中常見的 50 個因子為出發(fā)點。通過 PCA 發(fā)現(xiàn)，前 10 個主成分就可以解釋將近 75% 的波動。

在接下來的實證中，他們最終選擇了前 5 個主成分。再加之市場組合，一共六個“資產(chǎn)”。它們的收益率就對應(yīng)了最終 SDF 表達式中的??。為了預(yù)測它們，該文使用了一個最為基本的 predictor —— BM spread。由于每個主成分組合僅僅是原始 50 個因子的線性組合，因此只需要先計算原始因子的 BM spread 再按特征向量為權(quán)重計算每個主成分的 BM spread。實證數(shù)據(jù)表明，BM spread 在樣本外預(yù)測??的效果很不錯。

另一方面，下圖給出了利用 BM spread 預(yù)測不同主成分在樣本內(nèi)外的效果（因為一共有 50 個原始因子，因此一共有 50 個主成分）。不難看出，實證結(jié)果顯示樣本外的預(yù)測效果僅僅對前幾個主成分有效。但這并不影響，因為圖中灰色虛線（右軸）顯示了每個主成分解釋的方差的比例，可見前幾個主成分極大解釋了原始因子資產(chǎn)的共同運動。這個實證結(jié)果完美的符合 Kozak, Nagel, and Santosh (2018) 的結(jié)論，即只有前幾個主成分（最能解釋波動的那些）才有用。

我很欣賞的是，Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 并沒有試圖用更多的變量或更復(fù)雜的模型，而是僅僅用了 BM[6]，來預(yù)測??。由資產(chǎn)定價理論可知，SDF 的最優(yōu)參數(shù)??同時是 mean-variance efficient portfolio 的權(quán)重，因此可以通過夏普率來判斷時序信息是否對估計 SDF 提供了增量貢獻。為此，Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 考慮了以下五種不同的處理方式：

Factor investing：不擇時，用 unconditional 估計；

Market timing：僅對市場因子擇時，對五個主成分不擇時；

Factor timing：同時對市場和五個主成分因子擇時；

Anomaly timing：對市場不擇時，對五個主成分擇時；

Pure anom. timing：市場權(quán)重設(shè)為 0，主成分因子權(quán)重由 conditional 預(yù)期相對 unconditional 預(yù)期的偏離決定。

這五個處理方式的樣本內(nèi)外夏普率如下表所示。以樣本外夏普率為例，最好的結(jié)果是 anomaly timing 和 factor timing 兩種，這說明利用對因子擇時是有益的（能夠增大夏普率）。不過有意思的是，anomaly timing 戰(zhàn)勝了 factor timing 則說明，雖然對因子擇時是有益的，但是對（美股）市場擇時（似乎）是徒勞的。

除了從夏普率角度來評估，我們自然也關(guān)心對 SDF 的估計。由 Hansen and Jagannathan (1991) bond[7]可知，任何資產(chǎn)的夏普率的上限由??決定。在我們的設(shè)定下，由于??，所以任何資產(chǎn)夏普率的上限為??。因此，通過考察 SDF 的條件方差的大小，就可以判斷利用時序信息是否改進了 SDF 估計。

作為比較，Campbell and Cochrane (1999) 對 SDF 方差的估計為 0 到 1.2 之間。而 Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 的估計遠遠高于這個區(qū)間，也高于不進行因子擇時的結(jié)果（下圖）。結(jié)果顯示，若不進行因子擇時，??的估計為 1.67，而若只進行市場擇時，這個數(shù)值僅僅上升至 1.71。而一旦加入因子擇時，?? 則高達 2.96。

進一步的，下圖顯示了??如何隨時間波動。當(dāng)考慮因子擇時后，??的波動范圍較僅考慮市場擇時要大得多。這說明如果不考慮因子擇時，將會丟失掉很多 SDF 的信息。

最后，該文還研究了 SDF 方差和宏觀經(jīng)濟之間的關(guān)系（下圖）。不過，幾位作者也強調(diào)，這部分研究是偏實證性質(zhì)的。人們不應(yīng)急于從回歸系數(shù)的正負中盲目得出因果推斷，而是應(yīng)該以這些客觀存在的實證數(shù)據(jù)為起點，更好的研究 SDF 和股票預(yù)期收益的截面差異。

以上就是 Haddad, Kozak, and Santosh (2020) 一文的核心結(jié)果。其實，這篇文章的標題正是 Factor Timing —— 因子擇時。然而，我沒有選擇因子擇時作為這篇小文的標題。其原因是，這四個字實在是太火，我怕一些小伙伴會被這個標題吸引進來，但在看完后卻留下一句“這不是我想要的”。正如當(dāng)初我看完這個這篇論文的標題就激動的讀下去，但卻發(fā)現(xiàn)它的內(nèi)容 —— 雖然夠硬核 —— 但是并不是你我心中想象的那種因子擇時（RFS 畢竟不是 JPM……），你懂的。

Anyway，Campbell Harvey 曾說過，因子擇時這件事兒雖然非常難，但卻是值得研究。因此，雖然是從估計 SDF 入手，但考慮到 SDF 和 mean-variance efficient frontier 以及多因子模型的等價性，該文的實證結(jié)果以及通過 PCA 的處理方式依然能給我們啟發(fā)。

最后，再忍不住吐槽一句：也許不久的將來，我們就能看到有人把 A 股的數(shù)據(jù)套在相似的方法中，然后搖身一變成為另一篇（次）頂刊論文也不一定，就像最近剛被 JFE 接收的某篇（還是賣個關(guān)子吧）。

備注：

[1] 不完全一樣，論文的名字是 New methods for the cross-section of returns，?？瘶祟}是 New methods in the cross-section。

[2] 見《尋找 Mean-Variance Frontier》。

[3] 見《FF3 們背后的資產(chǎn)定價理論》。

[4] 忍不住吐個槽，這兩篇真是 JFE 這兩年在資產(chǎn)定價方面的扛把子，其它的大部分……

[5] 見《Which Beta (III) ?》。

[6] 當(dāng)然，我們僅僅看到了發(fā)表出來的版本。

[7] 見《尋找 Mean-Variance Frontier》。

參考文獻

Campbell, J. Y. and J. H. Cochrane (1999). By force of habit: A consumption-based explanation of aggregate stock market behavior. Journal of Political Economy 107(2), 205 – 251.

Karolyi, G. A. and S. V. Nieuwerburgh (2020). New methods for the cross-section of returns. Review of Financial Studies 33(5), 1879 – 1890.

Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su (2019). Characteristics are covariances: A unified model of risk and return. Journal of Financial Economics 134(3), 501 – 524.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models.Journal of Finance 73(3), 1183 – 1223.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section. Journal of Financial Economics 135(2), 271 – 292.

Haddad, V., S. Kozak, and S. Santosh (2020). Factor timing. Review of Financial Studies 33(5), 1980 – 2018.

Hansen, L.?P. and?R. Jagannathan (1991). Implications of security market data for models?of dynamic economics.?Journal of Political Economy?99(2), 225 – 262.

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