作者：石川

摘要：使用任何一個(gè)資產(chǎn)配置模型，絕不是簡(jiǎn)單的把不能猜的參數(shù)忽略掉、把能猜的參數(shù)扔進(jìn)去，而是要明白它到底配了什么。

1 引言

The most important key to successful investing can be summed up in just two words —— asset allocation.

不夸張的說(shuō)，資產(chǎn)配置是投資中最關(guān)鍵的一環(huán)。無(wú)論我們有多少個(gè)收益源、多少因子，最終都要力爭(zhēng)在最小化投資組合風(fēng)險(xiǎn)的前提下實(shí)現(xiàn)更高的收益。這正是資產(chǎn)配置（asset allocation）。談到資產(chǎn)配置，最著名的要數(shù) Mean-Variance Optimization（MVO）模型，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中 ω 是資產(chǎn)權(quán)重向量、μ 和 Ω 分別為預(yù)期收益率向量以及協(xié)方差矩陣、δ 是風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。當(dāng)不考慮任何約束是，上述 MVO 問(wèn)題的最優(yōu)解是：

如果考慮所有資產(chǎn)權(quán)重加起來(lái)占資金量 100%，即 Σω = 1，則可以將上述最優(yōu)解中的等號(hào)換成“正比于”符號(hào)，它和最終的權(quán)重只差一個(gè) scaling factor 而已：

對(duì)于權(quán)重為 ω 的投資組合，其夏普率為：

數(shù)學(xué)推導(dǎo)可以證明，最大化投資組合夏普率的 ω 也正比于 Ω^{-1}μ，因此 MVO 的最優(yōu)解 ω_{mvo} 可以最大化投資組合的夏普率。這就是它吸引人的原因。當(dāng)然，由于對(duì)輸入（μ 和 Ω）非常敏感，且事前預(yù)測(cè)未來(lái)的 μ 和 Ω 異常困難（Ω 中包括資產(chǎn)自己的波動(dòng)率 σ_i 以及資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù) ρ_ij），MVO 在投資實(shí)務(wù)中也沒(méi)少被人詬病。為了避免猜 μ 和 Ω 的問(wèn)題，人們又相繼提出了很多其他的資產(chǎn)配置方法，諸如：equal weight、minimum variance、maximum diversification 以及 risk parity（又稱(chēng) equal risk contribution）。

在實(shí)際資產(chǎn)配置中，由于 μ_i、σ_i、ρ_ij 中的一個(gè)或多個(gè)難以預(yù)測(cè)，我們舍棄 MVO 并退而求其次選擇上述這些方法之一。無(wú)論采取哪種方法，我們都希望最大化投資組合的夏普率。事實(shí)上，當(dāng) μ_i、σ_i、ρ_ij 這些參數(shù)滿(mǎn)足特定條件時(shí)，所有上述方法均可以等價(jià)于 MVO。在資產(chǎn)配置時(shí)，我們可以對(duì)資產(chǎn)參數(shù) μ_i、σ_i、ρ_ij 所滿(mǎn)足的條件做適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，從而選擇最合適的配置方法。本文的目的就是梳理上述幾種資產(chǎn)配置方法背后的數(shù)學(xué)模型，從而搞清楚它們分別在何種參數(shù)條件下等價(jià)于 MVO，并以此指導(dǎo)我們?cè)谕顿Y實(shí)務(wù)中正確選擇它們。最后想要說(shuō)明的是，由于篇幅和我的知識(shí)有限，本文無(wú)法覆蓋所有主流的資產(chǎn)配置模型。但是本文的思路可以用來(lái)分析其他方法。

2 數(shù)學(xué)描述

本文考慮的資產(chǎn)配置方法包括：Minimum Variance、Maximum Diversification、Risk Parity / Equal Risk Contribution 和?Equal Weight。以下逐一說(shuō)明。Minimum Variance 方法的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

可以證明，它的最優(yōu)解滿(mǎn)足如下關(guān)系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：

將其和 ω_{mvo} 比較不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有資產(chǎn)的收益率 μ 相等時(shí)，minimum variance 方法等價(jià)于 MVO。接下來(lái)是 Maximum Diversification。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中 σ = [σ_1, σ_2, …, σ_N]' 表示 N 個(gè)資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差（波動(dòng)率）的向量。該方法最大化資產(chǎn)線性加權(quán)波動(dòng)率與投資組合波動(dòng)率的比值，故稱(chēng)為最大分散化資產(chǎn)配置組合。它的最優(yōu)解滿(mǎn)足如下關(guān)系（Clarke, de Silva, and Thorley 2013）：

同樣的，將其和 ω_{mvo} 比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)所有資產(chǎn)的收益率 μ_i 和它們對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j）時(shí)，maximum diversification 方法等價(jià)于 MVO。再來(lái)看看 Risk Parity / Equal Risk Contribution。它要求每個(gè)資產(chǎn)對(duì)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)等貢獻(xiàn)，即：

其中 σ_p 代表投資組合的波動(dòng)率。該條件可以轉(zhuǎn)化為如下數(shù)學(xué)優(yōu)化問(wèn)題：

其中 (Ωω)_i 表示向量 Ωω 的第 i 行，即一個(gè)標(biāo)量。Maillard,?Roncalli,?and?Te?letche (2010) 一文對(duì) Equal Risk Contribution（ERC）配置方法進(jìn)行了非常詳盡的數(shù)學(xué)論述，得出了很多有益的結(jié)論。其中，最重要的是，當(dāng)所有 N 個(gè)資產(chǎn)兩兩相關(guān)系數(shù)相等（即所有 ρ_ij 都等于某常數(shù) ρ）時(shí)，ERC 的最優(yōu)解為：

除了 ERC 之外，另一個(gè)與其十分接近的配置方法是 equal risk budget（ERB）。根據(jù)定義，ERB 的最優(yōu)解滿(mǎn)足 ω_i = σ_i^{-1}/(Σ_jσ_j^{-1})。換句話說(shuō)，當(dāng)所有資產(chǎn)兩兩相關(guān)系數(shù)均相等時(shí)，ERC 和 ERB 一樣。Carvalho, Lu, and Moulin (2012) 指出，當(dāng)資產(chǎn)夏普率相同，且相關(guān)系數(shù)均相同時(shí)，ERB 等價(jià)于 MVO。由此可以推斷出 ERC 等價(jià)于 MVO 的條件：所有資產(chǎn)的收益率 μ_i 和它們對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率 σ_i 比值均相同（即 μ_i/σ_i = μ_j/σ_j，意味著夏普率相同）、且所有資產(chǎn)兩兩相關(guān)系數(shù)相同。

最后來(lái)看看 Equal Weight。這種等權(quán)方法沒(méi)什么可優(yōu)化的，其權(quán)重為：ω_{ew} = [1/N, …, 1/N]'，即每個(gè)資產(chǎn)占 1/N 的比例。當(dāng)所有資產(chǎn)的波動(dòng)率相同時(shí)，ω_{ew} 可以看成 ERB 的一種簡(jiǎn)單形式。由此可以推導(dǎo)出，equal weight 如果想等價(jià)于 MVO 則要求資產(chǎn)的 μ_i、σ_i、ρ_ij 滿(mǎn)足以下三方面非常苛刻的條件：

下圖對(duì)上述配置方法進(jìn)行了總結(jié)。

下一節(jié)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)說(shuō)明當(dāng)參數(shù)滿(mǎn)足不同條件時(shí)，這些方法的差異。

3 實(shí)證研究

從上節(jié)末的表格中不難看出，除了 minimum variance 之外，其他三種方法對(duì)參數(shù)的要求依次增強(qiáng)。因此，我們可以構(gòu)建一系列實(shí)驗(yàn)，從最苛刻的條件開(kāi)始，并逐一放松約束，以此觀察這三種方法的配置結(jié)果和 MVO 配置結(jié)果的差異。（稍后會(huì)單獨(dú)比較 minimum variance 和 MVO。）由于 equal weight 配置方法需要三個(gè)條件才等價(jià)于 MVO，因此下面一共考慮四個(gè)實(shí)驗(yàn)：

在這四個(gè)實(shí)驗(yàn)中比較 equal weight、equal risk contribution、maximum diversification 以及 MVO 四種方法。每個(gè)實(shí)驗(yàn)中假設(shè)有三個(gè)資產(chǎn)，作為實(shí)驗(yàn)輸入給定它們的 μ_i、σ_i 以及 ρ_ij，并考察不同資產(chǎn)配置方法得到的最優(yōu)配置權(quán)重（所有方法均需要滿(mǎn)足約束 Σω = 1）以及夏普率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表所示。

隨著參數(shù)滿(mǎn)足的條件逐漸去除，equal weight、equal risk contribution 以及 maximum diversification 依次在與 MVO 的比較下敗下陣來(lái)。上述結(jié)果說(shuō)明，對(duì)參數(shù)（無(wú)論是 μ、σ 還是 ρ）的準(zhǔn)確估計(jì)對(duì)資產(chǎn)配置結(jié)果是至關(guān)重要的；等權(quán)（或簡(jiǎn)單多樣化）只是一種無(wú)法（準(zhǔn)確）估計(jì)參數(shù)時(shí)的無(wú)奈之舉。一旦有了任何關(guān)于 μ、σ、ρ 的（靠譜）信息都應(yīng)該充分利用，并合理對(duì)未知參數(shù)可能滿(mǎn)足的條件進(jìn)行假設(shè)，從而選擇最合適的資產(chǎn)配置方法。

最后下圖展示了 minimum variance 和 MVO 的比較。由于兩組實(shí)驗(yàn)中，只改變了 μ 的取值而協(xié)方差矩陣不變，因此 minimum variance 配置給出了相同的結(jié)果；但是僅當(dāng)所有資產(chǎn) μ 相同時(shí)，minimum variance 才等價(jià)于 MVO。

4 結(jié)語(yǔ)

寫(xiě)今天這篇文章源于我最近看了 Bender, Blackburn, and Sun (2019)。該文比較了不同的配置方法在構(gòu)建因子投資組合時(shí)的效果（包括一些本文沒(méi)有涉及的方法，見(jiàn)下表）。

對(duì)于 MVO，Bender, Blackburn, and Sun (2019) 的態(tài)度是，雖然輸入的準(zhǔn)確性至關(guān)重要，但我們也沒(méi)有必要急于否定最優(yōu)化在資產(chǎn)（因子）配置中的作用，因?yàn)槠渌椒ǘ际窃谀撤N假設(shè)下對(duì) MVO 的近似。資產(chǎn)配置有很多不同的方法。本文希望傳達(dá)的態(tài)度是：無(wú)論選擇哪種方法，都應(yīng)該搞清楚其數(shù)學(xué)模型背后的對(duì)參數(shù)的假設(shè)是什么。搞清楚每個(gè)模型在什么情況下等價(jià)于 MVO 至關(guān)重要。使用一個(gè)模型，絕不是簡(jiǎn)單的把不能猜的參數(shù)忽略掉、把能猜的參數(shù)扔進(jìn)去，而是要明白它到底配了什么。

參考文獻(xiàn)

Bender, J., T. Blackburn, and X. Sun (2019). Clash of the titans: factor portfolios versus alternative weighting schemes. The Journal of Portfolio Management 45(3), 38 – 49.

Carvalho, R. L., X. Lu, and P. Moulin (2012). Demystifying equity risk-based strategies: a simple alpha plus beta description. The Journal of Portfolio Management 37(3), 56 – 70.

Clarke, R., H. de Silva, and S. Thorley (2013). Risk parity, maximum diversification, and minimum variance: an analytic perspective. The Journal of Portfolio Management 39(3), 39 – 53.

Maillard, S.,?T. Roncalli,?and?J. Te?letche (2010). The properties of equally weighted risk contribution portfolios. The Journal of Portfolio Management 36(4), 60 – 70.

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