作者：石川

摘要：作為系列第二篇，本文介紹了時(shí)間序列的最基本模型：白噪聲和隨機(jī)游走，說明白噪聲并不是描述收益率序列的有效模型。

1 書接前文

前文《寫給你的金融時(shí)間序列分析：基礎(chǔ)篇》介紹了金融時(shí)間序列的核心特性：自相關(guān)性；說明金融時(shí)間序列分析的核心正是挖掘該時(shí)間序列中的自相關(guān)性。一個(gè)優(yōu)秀的模型應(yīng)該能夠有效的刻畫原始時(shí)間序列中不同間隔的自相關(guān)性；而衡量一個(gè)模型是否適合原始時(shí)間序列的標(biāo)準(zhǔn)正是考察原始值和擬合值之間的殘差序列是否近似的為白噪聲。

本篇是系列的第二篇，初級(jí)篇。白噪聲正是本文的內(nèi)容之一，它是時(shí)間序列分析中最基本的模型。在它的基礎(chǔ)上延伸出的另一個(gè)基本模型便是隨機(jī)游走。通常，白噪聲和隨機(jī)游走被認(rèn)為是用來分別描述投資品收益率和價(jià)格的最簡單模型。我們稍后會(huì)看到，對(duì)于收益率來說（特別是股指的收益率），白噪聲模型并不有效。

2 時(shí)間序列建模

本質(zhì)上說講，時(shí)間序列模型是一個(gè)可以“解釋”時(shí)間序列中的自相關(guān)性的數(shù)學(xué)模型。

能夠解釋時(shí)間序列的自相關(guān)性在量化投資領(lǐng)域意義重大：

時(shí)間序列分析為我們研究投資品收益率的行為提供了有力的統(tǒng)計(jì)學(xué)框架。在投資中，對(duì)收益率的預(yù)測顯然是非常有用的。如果我們能夠預(yù)測投資品的漲跌，那么就能基于此構(gòu)建一個(gè)交易策略；如果我們能夠預(yù)測收益率的波動(dòng)率，那么就可以進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理（因此我們對(duì)時(shí)間序列的二階統(tǒng)計(jì)量——如方差——同樣感興趣）。假設(shè)原始時(shí)間序列為｛y_t｝，模型擬合出來的序列為｛p_t｝，則殘差序列｛e_t｝ 定義為原始序列和擬合序列的差值：

如果模型很好的捕捉了原始時(shí)間序列的自相關(guān)性，那么殘差序列｛e_t｝應(yīng)該近似的為白噪聲，對(duì)任何非零間隔 k，該殘差序列的自相關(guān)系數(shù) ρ_k 都應(yīng)該在統(tǒng)計(jì)意義上不顯著的偏離 0。當(dāng)然，這僅僅是我們說該模型是個(gè)優(yōu)秀模型的充分條件，因?yàn)橐粋€(gè)好模型最關(guān)鍵的還是能產(chǎn)生賺錢的交易信號(hào)。因此，模型的檢驗(yàn)最終還要看它在樣本外預(yù)測的準(zhǔn)確性。時(shí)間序列建模的過程可以總結(jié)如下。

對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，我們總是希望首先畫出它的相關(guān)圖來看看它存在什么樣的自相關(guān)性?；趯?duì)其自相關(guān)性的認(rèn)知，第二步則是選擇合適的模型，比如 AR、MA 或者 ARMA 模型，甚至于更高級(jí)對(duì)波動(dòng)率建模的 GARCH 模型等。選定模型后，接下來便需要優(yōu)化模型的參數(shù)，以使其盡可能解釋時(shí)間序列的自相關(guān)性。在這一步，我們通過對(duì)殘差進(jìn)行自相關(guān)性分析來判斷模型是否合適。在這方面，Ljung–Box 檢驗(yàn)是一個(gè)很好的方法，它同時(shí)檢驗(yàn)給殘差序列各間隔的自相關(guān)系數(shù)是否顯著的不為 0。在選定模型參數(shù)之后，仍需定量評(píng)價(jià)該模型在樣本外預(yù)測的準(zhǔn)確性。畢竟，對(duì)于樣本內(nèi)的數(shù)據(jù)，錯(cuò)誤的過擬合總會(huì)得到“優(yōu)秀”的模型，但它們往往對(duì)樣本外數(shù)據(jù)的預(yù)測效果很差。因此，只有樣本外預(yù)測的準(zhǔn)確性才能客觀的評(píng)價(jià)模型的好壞。如果模型的準(zhǔn)確性較差，這說明該模型存在缺陷，無法充分捕捉原序列的自相關(guān)性。這時(shí)必須考慮更換模型。這就構(gòu)成了上述步驟的反饋回路，直到最終找到一個(gè)既能解釋原時(shí)間序列自相關(guān)性，又能在樣本外有不錯(cuò)的準(zhǔn)確性的模型。之后，該模型將被用來產(chǎn)生交易型號(hào)并構(gòu)建量化投資策略。

接下來我們就來介紹一個(gè)最簡單的時(shí)間序列模型：白噪聲。

3 白噪聲

本文第一節(jié)指出，對(duì)于收益率來說，白噪聲（white noise）并不是一個(gè)十分有效的模型。那么為什么我們還要研究它呢？這是因?yàn)樗幸粋€(gè)重要的特性，即序列不相關(guān)：一個(gè)白噪聲序列中的每一個(gè)點(diǎn)都獨(dú)立的來自某個(gè)未知的分布，它們滿足獨(dú)立同分布（independent and identically distributed）。一個(gè)（離散）白噪聲的定義如下：

上面的定義并沒有假設(shè) w_t 來自正態(tài)分布。事實(shí)上，白噪聲對(duì)分布沒有要求。當(dāng) w_t 來自正態(tài)分布時(shí)，該序列又稱為高斯白噪聲（Gaussian white noise）。根據(jù)白噪聲的定義，一個(gè)白噪聲序列顯然滿足平穩(wěn)性要求。它的均值和二階統(tǒng)計(jì)量為：

我們已經(jīng)多次強(qiáng)調(diào)，當(dāng)一個(gè)模型很好的捕捉了原始時(shí)間序列的自相關(guān)性，它的殘差序列就應(yīng)該沒有任何（統(tǒng)計(jì)意義上顯著的）自相關(guān)性了。換句話說，一個(gè)優(yōu)秀模型的殘差序列應(yīng)該（近似）為一個(gè)白噪聲。因此，使用白噪聲序列的性質(zhì)可以幫助我們確認(rèn)我們的殘差序列中沒有任何相關(guān)性了，一旦殘差序列沒有相關(guān)性便意味著模型是原始時(shí)間序列的一個(gè)良好的擬合。

在白噪聲模型中，唯一的參數(shù)就是方差 σ^2。這個(gè)參數(shù)可以通過歷史數(shù)據(jù)估計(jì)得到。在本系列的第一篇文章中，我們?cè)o出了一個(gè)白噪聲序列的相關(guān)圖（如下），該序列由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布生成（因此為高斯白噪聲），共 500 個(gè)觀測值。可以看到，對(duì)圖中顯示的間隔 k 的取值，對(duì)所有 k ≥ 1 均有自相關(guān)系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上等于 0。

4 隨機(jī)游走

將白噪聲模型進(jìn)行一步延伸，便得到隨機(jī)游走（random walk）模型，它的定義如下：

由定義可知，在任意 t 時(shí)刻的 x_t 都是不超過 t 時(shí)刻的所有歷史白噪聲序列的總和，即：

隨機(jī)游走的序列均值和方差為：

雖然均值不隨時(shí)間 t 改變，但是由于方差是 t 的函數(shù)，因此隨機(jī)游走不滿足穩(wěn)定性。隨著 t 的增加，x_t 的方差增大，說明其波動(dòng)性不斷增加。對(duì)于任意給定的 k，通過以下推導(dǎo)給得出隨機(jī)游走的自協(xié)方差：

上述推導(dǎo)中使用了獨(dú)立隨機(jī)變量的方差可加性。有了自協(xié)方差和方差，便可以方便的求出隨機(jī)游走的自相關(guān)函數(shù)：

顯然，自相關(guān)系數(shù)既是時(shí)間 t 又是間隔 k 的函數(shù)。ρ 的表達(dá)式說明，對(duì)于一個(gè)足夠長的隨機(jī)游走時(shí)間序列（t 很大），當(dāng)考察的自相關(guān)間隔 k 很小時(shí)，自相關(guān)系數(shù)近似為 1。這是隨機(jī)游走的一個(gè)非常重要的特性，不熟悉它往往容易造成不必要的錯(cuò)誤。

舉個(gè)例子。我們通常假設(shè)股價(jià)的對(duì)數(shù)收益率符合正態(tài)分布，因此股價(jià)對(duì)數(shù)是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)（隨機(jī)游走的一種特殊形式）。如果當(dāng)前的（對(duì)數(shù)）股價(jià)是 x_t，由隨機(jī)游走的特性可知，t + 1 時(shí)刻的股價(jià)的條件期望為 E[x_[t+1] | x_t] = x_t，即我們對(duì)下一時(shí)點(diǎn)的股價(jià)的最好的猜測就是當(dāng)前的價(jià)格。隨機(jī)游走是一個(gè)鞅（martingale）。

假如我們有一個(gè)預(yù)測股價(jià)的模型，而該模型就是用 t 時(shí)刻的股價(jià)作為對(duì) t + 1 時(shí)刻的股價(jià)的預(yù)測，則該模型的預(yù)測值和實(shí)際值之間的相關(guān)系數(shù)就等于股價(jià)序列的間隔為 1 的自相關(guān)系數(shù)。如果股價(jià)近似的為隨機(jī)游走，那么由它的性質(zhì)可知，間隔為 1 的自相關(guān)系數(shù)非常接近 1。因此我們的股價(jià)預(yù)測模型——用今天的價(jià)格作為明天的價(jià)格的預(yù)測——的預(yù)測值和實(shí)際值之間的相關(guān)系數(shù)也非常接近 1。這會(huì)給我們?cè)斐慑e(cuò)覺：這個(gè)模型相當(dāng)準(zhǔn)確。不幸的是，這個(gè)模型猜測的收益率在任何時(shí)刻都為 0，因此它對(duì)于我們構(gòu)建交易信號(hào)毫無作用。

我看到過無數(shù)的學(xué)術(shù)論文（大多是碩士論文）中，針對(duì)投資品價(jià)格本身構(gòu)建自回歸模型。獨(dú)立變量就包括歷史價(jià)格，用它們和其他一些基本面或宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)來預(yù)測下一個(gè)交易日的股價(jià)。從上面的分析可知，這樣的模型將會(huì)“精準(zhǔn)的毫無用處”，因?yàn)榛貧w模型中歷史價(jià)格的系數(shù)之和將會(huì)非常接近 1。

任何價(jià)格序列的自回歸模型都是耍流氓。

利用本文第三節(jié)例子中的白噪聲序列，便可以構(gòu)建一個(gè)人工隨機(jī)游走序列的例子。它的軌跡如下圖所示。

不出意外，當(dāng)間隔 k 相對(duì)于時(shí)間序列的長度很小時(shí)，它的自相關(guān)系數(shù)（下圖）非常接近 1，這源自隨機(jī)游走的性質(zhì)。不要忘了，隨機(jī)游走是對(duì)股價(jià)的對(duì)數(shù)建模。因此，這種自相關(guān)性對(duì)于基于收益率預(yù)測的投資策略并沒有幫助。

事實(shí)上，如果（對(duì)數(shù)）股價(jià)嚴(yán)格的符合隨機(jī)游走，那么該時(shí)間序列的方差將會(huì)隨時(shí)間線性增長。這說明，長期來看它將呈現(xiàn)出巨大的波動(dòng)。下圖為來自同一個(gè)分布的 15 條隨機(jī)游走的軌跡。隨著時(shí)間的推進(jìn)，這些軌跡上對(duì)應(yīng)觀測值的波動(dòng)越來越大，充分的展現(xiàn)出隨機(jī)性。

5 用白噪聲對(duì)收益率建模

如果股票的對(duì)數(shù)收益率為白噪聲，那么它的自相關(guān)系數(shù)應(yīng)該在任何非零的間隔上都在統(tǒng)計(jì)意義上等于零。下面我們就來看看真實(shí)的股票收益率是否滿足這一點(diǎn)。為此，考慮一支個(gè)股（萬科）和一個(gè)股指（上證指數(shù)）。以日頻為例，通過交易日的復(fù)盤后收盤價(jià)可以算出對(duì)數(shù)收益率：

首先來看看萬科，當(dāng)考察期為過去 10 年時(shí)，萬科的對(duì)數(shù)收益率的相關(guān)圖為：

上圖指出，在間隔為 2 和 4 時(shí)，該收益率序列表現(xiàn)出了統(tǒng)計(jì)意義上顯著的相關(guān)性。當(dāng)然，由于圖中的藍(lán)色區(qū)域僅僅是 95% 的置信區(qū)間，因此僅僅根據(jù)隨機(jī)性也很可能出現(xiàn)在一個(gè)或者兩個(gè)間隔上的自相關(guān)系數(shù)處于置信區(qū)間之外的情況。因此，根據(jù)上面的結(jié)果，我們并不能一定就說白噪聲不是萬科收益率的一個(gè)適當(dāng)?shù)哪Ｐ汀?/span>如果我們把考察的窗口縮短到過去 5 年，則萬科的對(duì)數(shù)日收益率序列的相關(guān)圖變?yōu)椋?/span>

當(dāng) k = 1，2，3，4 以及 14 的時(shí)候，自相關(guān)系數(shù)都超過了置信區(qū)間，即在 5% 的顯著性水平下不為零。我們無法再無視這樣的結(jié)果而把它們都?xì)w結(jié)于隨機(jī)性。該相關(guān)圖清晰地說明白噪聲不能有效的解釋收益率序列中的自相關(guān)性。

對(duì)于上證指數(shù)，這種結(jié)論則更加明顯。無論是考察 10 年還是 5 年的窗口，上證指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率均在不同的間隔上表現(xiàn)出了顯著的自相關(guān)（下圖），且它比個(gè)股的自相關(guān)性更加顯著。

這個(gè)結(jié)果說明上證指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率序列無法用白噪聲來建模。更有意思的是，當(dāng) k 較小或者較大時(shí)，上證指數(shù)的收益率均表現(xiàn)出了自相關(guān)性，這說明它既有短記憶又有長記憶。

6 下文預(yù)告

本文的分析引出如下的結(jié)論：

因此，我們必須考慮更加高級(jí)的時(shí)間序列模型來對(duì)自相關(guān)性建模。在這方面，自回歸模型（AR）和移動(dòng)平均模型（MA），以及它們二者的組合——自回歸移動(dòng)平均模型（ARMA）——都是非常有力的工具。它們將是本系列下一篇的內(nèi)容。

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