作者：石川

摘要：使用收益率序列計算夏普率、并比較不同策略時應使用科學的統(tǒng)計檢驗方法并回答正確的問題。這需要合理的先驗和足夠長的數(shù)據(jù)。

1 引言

資產(chǎn)配置是投資中最重要的課題之一。很多量化手段都被用來進行資產(chǎn)配置，比如人們耳熟能詳?shù)暮唵味鄻踊?、風險平價、波動率倒數(shù)、最小波動率等方法。在《你真的搞懂了風險平價嗎？》一文中我們指出，當資產(chǎn)之間相互獨立時，應按照每個資產(chǎn)的夏普率平方來分配投資組合的風險，這能夠最大化投資組合的夏普率。令 Σ 表示資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣、SR_i = μ_i/σ_i 表示資產(chǎn) i 的夏普率、σ_p 表示投資組合的波動率、ω 為權重向量。容易證明（下圖）當投資品相互獨立時（協(xié)方差矩陣是對角陣），根據(jù)夏普率平方分配風險得到的權重 ω_i 和 μ_i/(σ_i)^2 成正比。這個比例正是大名鼎鼎的凱利準則（Kelly criterion）。在資產(chǎn)相互獨立的假設下，按此權重配置保證了投資組合的夏普率最大。

在實際資產(chǎn)配置中，涉及的資產(chǎn)一般為不同類別的大類資產(chǎn)（如股票、債券、商品、外匯等）或者是相關性很低的投資策略，資產(chǎn)間可近似假設不相關。量化配置的核心就變成是否能準確的計算不同資產(chǎn)的夏普率（或者其他風險、收益指標）。

下面以滬深 300、美國 7-10 年國債、標普 500 和黃金四種資產(chǎn)比較一下按夏普率平方分配風險配置（下文中簡稱為按夏普率配置）和簡單多樣化配置的效果。這四類資產(chǎn)在回測期內(nèi)的表現(xiàn)如下（該實證例子來自 2017 年底的《主動風險預算初探》一文，因此回測期僅到 2017 年底）。

對于按夏普率配置策略，選擇月頻交易頻率，每個月末調(diào)倉。調(diào)倉時排除最近三個月內(nèi)收益率均值為負以及由于未上市因而不可交易的資產(chǎn)（例如在 2003 年 3 月 31 日，滬深 300 指數(shù)尚未推出，不可交易）。對于滿足條件的資產(chǎn)，采用 20 周滾動窗口的周頻收益率數(shù)據(jù)計算夏普率；按照夏普率的平方來分配風險、計算最佳的配置權重。如果當期所有資產(chǎn)都被排除，則在下個月空倉。非空倉時則要求每月均滿倉配置，即 ω_i 之和為 1。按夏普率配置和簡單多樣化這兩種策略的表現(xiàn)如下圖所示。

從上述實證結果來看，按夏普率配置完勝簡單多樣化。按夏普率平方分配風險似乎 “理論完美、實證給力”，但現(xiàn)實中真的是這樣嗎？別著急，繼續(xù)往下看。上述實證結果的前提是能夠對夏普率進行正確的計算。本文的觀點是通過有限的樣本數(shù)據(jù)來對總體未知的夏普率進行推斷、以及檢驗不同策略或資產(chǎn)的夏普率是否有顯著差異（從而賦予不同的配置權重）是非常困難的一件事（是可能的，但很困難）。

來看一個假想的例子。

2 兩年 vs 二十年

使用正態(tài)分布獨立構建兩個策略的周頻收益率序列。假設兩個策略的年化真實夏普率分別為 1 和 2；周頻的波動率為 1%，通過夏普率就可以計算這兩個周頻收益率序列各自的均值，從而獲得正態(tài)分布的全部參數(shù)。假設對每個策略產(chǎn)生 1000 個樣本點（對應約為二十年的時間）。下圖首先展示了這兩個策略在前 100 個樣本點（對應兩年）的累積收益率。

你可能猜到了，我一定會故意找一個年化夏普率為 1 的策略在這前 100 周（對應兩年）跑贏那個夏普率為 2 的策略的例子。上圖中的藍色為夏普率為 1 的策略的累積收益率；黃色為夏普率為 2 的策略的累積收益率。如果我們把時間拉長到全部 1000 個樣本點（二十年），則毫無意外的，黃色策略大幅跑贏了藍色（注意下圖中縱坐標是對數(shù)坐標）。這個例子說明，即便是年化夏普率 1 和 2 這種巨大的差異，如果只有很短的樣本數(shù)據(jù)也完全能帶給我們錯誤的結論（況且兩年已經(jīng)不短）。

你可能接著會說我一定是在“cherry picking”，試了半天找出了上面這么一個有違常理的例子。下面來看看多次仿真的結果。假設進行 5000 次仿真，每次仿真生成年化夏普率分別為 1 和 2 的兩個策略，每個策略長度為 1000 個樣本點。下圖繪制了在前 n 個樣本點下（橫坐標為 n 的取值），夏普率為 1 的策略跑贏夏普率為 2 的策略的概率（縱坐標）。

上圖表明，如果我們的樣本數(shù)據(jù)很短（比如 n = 10 或 20 周，對應幾個月的情況），使用樣本數(shù)據(jù)夏普率來比較兩個策略的錯誤率（即認為真實夏普率為 1 的策略比真實夏普率為 2 的策略更好）高達 30% 以上；即使是使用 100 個樣本點（兩年），判斷的錯誤率也有 16.34%。（所以“cherry picking”并沒有花費我很多時間。）隨著樣本長度增加，錯誤率持續(xù)降低。這個例子說明，哪怕僅僅是希望定性的判斷兩個策略的夏普率孰高孰低，我們都需要足夠長的樣本數(shù)據(jù)。而如果想定量的比較不同策略的夏普率差異，則需要適合的統(tǒng)計檢驗。

3 檢驗夏普率

數(shù)學上有很多手段檢驗兩個收益率時間序列的夏普率是否顯著不同。在這方面，最早的研究大概是 Jobson and Korkie (1981)。不過該研究假設兩個策略的收益率滿足二元正態(tài)分布，而實際的收益率時間序列中難以滿足該假設。針對上述問題，Ledoit and Wolf (2008) 提出了改進的檢驗方法。本文的重點雖然不是介紹這些檢驗方法，但由于下文的舉例研究中將使用 Ledoit and Wolf (2008) 的方法，故在本節(jié)對其簡要說明。感興趣的朋友請進一步參考原文；跳過本小節(jié)也不影響后面內(nèi)容的閱讀。根據(jù)夏普率的定義，它是策略超額收益均值和其標準差的比值。而對于一個隨機變量 X，其方差滿足如下關系：

因此，對于（超額）收益率隨機變量 r，對應的夏普率可以表達為：

換句話說，夏普率可以表達為收益率 r 的一階矩（即均值 E[r]）和非中心化的二階矩（即 E[r^2]）的函數(shù)。Ledoit and Wolf (2008) 正是采用了上述表達式，極大的簡化了推導。對于兩個待比較夏普率的收益率序列 {r_i} 和 {r_n}，它們的真實（但未知）夏普率之差（用 Δ 表示）是 E[r_i]、E[r_n]、E[r_i^2] 以及 E[r_n^2] 的函數(shù)（為簡化表達式，令 μ = E[r]、γ = E[r^2]）：

在實際中，我們只有樣本數(shù)據(jù)，使用樣本數(shù)據(jù)計算出的夏普率之差為：

為了對夏普率之差進行檢驗，我們必須知道樣本夏普率之差的 standard error。為此，Ledoit and Wolf (2008) 使用了統(tǒng)計學中的 delta method。具體的，令 v = (μ_i, μ_n, γ_i, γ_n)’ —— 即向量 v 代表了計算兩個收益率序列夏普率之差的總體（population）未知參數(shù)；令向量 \hat v 對應 v 的樣本（sample）參數(shù)。Ledoit and Wolf (2008) 假設：

上式箭頭上的 d 表示依分布收斂；Ψ 表示 (μ_i, μ_n, γ_i, γ_n) 的協(xié)方差矩陣（未知、需估計）；T 為樣本長度。由于夏普率之差 Δ 是 v 的函數(shù)，直接使用 delta method 可得：

上式就是使用樣本數(shù)據(jù)計算的夏普率之差需要滿足的分布。一旦我們能夠得到協(xié)方差矩陣 Ψ 的相合估計 \hat Ψ，就可以利用下式求出 \hat Δ 的 standard error：

有了 standard error，再假設真實夏普率之差為 Δ = θ，便可以計算 t-statistic：

有了 t-statistic 就可以進一步計算 p-value 并以此接受或拒絕原假設 Δ = θ。問題的核心由此歸結為估計協(xié)方差矩陣 Ψ。為此，Ledoit and Wolf (2008) 給出了兩種方法：

由于篇幅所限，本節(jié)不再展開介紹協(xié)方差矩陣 Ψ 的估計。感興趣的朋友請參考 Ledoit and Wolf (2008)。在下一節(jié)的實驗中，由于使用的假想收益率序列出自正態(tài)分布，因此使用上述第一種方法對夏普率進行檢驗。

4 回答正確的問題

上述夏普率差別的檢驗回答的是 prob(\hat Δ | Δ = θ) 的問題 —— 即在原假設 H0：Δ = θ 下，我們觀測到樣本夏普率差異 \hat Δ 的概率。在實際進行資產(chǎn)配置時，即便我們能顯著的拒絕原假設，它也不是我們最關心的問題。在利用不同夏普率進行資產(chǎn)配置時，正確的問題是計算 prob(Δ = θ | \hat Δ) —— 即當樣本數(shù)據(jù)顯示出 \hat Δ 的夏普率差異時，這兩個策略真實夏普率差異是 θ 的概率。由貝葉斯法則可知，prob(Δ = θ | \hat Δ) 與 Δ = θ 的先驗概率以及統(tǒng)計檢驗結果 prob(\hat Δ | Δ = θ) 的乘積成正比：

上式說明，為了計算 prob(Δ = θ | \hat Δ) 需要知道先驗 prob(Δ = θ) 是多少。在一定程度上，它的取值和主觀經(jīng)驗判斷密切相關 —— 比如認為兩個策略夏普率沒有差異的概率最大；或者認為某個策略就是風險收益更高，因此它們年化夏普率差異為 1 的概率最大等。

下面，假設真實年化夏普率差異 θ 的取值為 0、0.5 和 1，并假設 prob(Δ = 0) = 0.6、prob(Δ = 0.5) = 0.2、prob(Δ = 1) = 0.2。我們再來看看第二節(jié)中的那兩個策略。當只有前 100 周的樣本數(shù)據(jù)，通過使用本文第三節(jié)介紹的檢驗方法得到如下結果：

從 prob(Δ = θ) 和 prob(\hat Δ | Δ = θ) 的乘積來看，最大的是 θ = 0.0 的情況，這說明僅僅通過 100 期的表現(xiàn)，我們并不能認為這兩個策略中誰更好，盡管實際情況是策略 2 的真實夏普率是策略 1 的兩倍。當使用全部 1000 個樣本數(shù)據(jù)時，可得到的結果如下。在足夠長的樣本數(shù)據(jù)下（二十年），結果顯示兩個策略最有可能的真實夏普率差別是 θ = 1.0。

這個例子雖然從收益率序列到先驗都是假想的，但通過它想要引出的觀點是：

5 結語

資產(chǎn)配置從來都不是一個容易的課題。當我們知道不同策略（或者資產(chǎn)）真實夏普率的時候，沒有理由使用簡單多樣化配置；充分利用不同資產(chǎn)的夏普率信息才可能最大化投資組合的夏普率，達到最優(yōu)的風險收益特性?？上?，真實夏普率是未知的。

使用收益率序列計算夏普率并比較不同策略時應該使用科學的統(tǒng)計檢驗并回答正確的問題。這需要合理的先驗和足夠長的數(shù)據(jù)。而基于有限的數(shù)據(jù)計算出（不確定性極大的）夏普率來配置相當于擇時。計算夏普率在一定程度上近似于計算收益率；短時間內(nèi)收益率的外推性是非常差的，因此使用短時間內(nèi)夏普率進行資產(chǎn)配置（擇時）并不十分合理的。

為什么第一節(jié)中的例子里按照滾動窗口計算出的夏普率來配置顯著戰(zhàn)勝了簡單多樣化呢？其原因是 A 股中涇渭分明的牛、熊市 —— 任何對著 A 股的擇時策略只要能躲過幾波熊市都會顯著提升樣本內(nèi)效果。在該例子中，一旦我們把 A 股從資產(chǎn)池中排除，對于余下幾種資產(chǎn)，使用滾動夏普率并沒有戰(zhàn)勝簡單多樣化（下圖）。

當使用了正確的方法和足夠的數(shù)據(jù)之后，對于夏普率的判斷（從而改變策略配置權重）是一種改變我們先驗的低頻行為。如果正確，它將會提高投資組合在未來的風險收益特征；如果錯誤，它則大概率是在樣本內(nèi)對著數(shù)據(jù)過擬合而已。基于有限的收益率序列、滾動計算夏普率（或其他風險、收益指標）并配置資產(chǎn)，到底是在配置風險收益還是在配置噪聲？

參考文獻

Andrews, D. W. K. (1991). Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation. Econometrica 59(3), 817 – 858.

Jobson, J. D. and B. M. Korkie (1981). Performance hypothesis testing with the Sharpe and Treynor measures. Journal of Finance 36(4), 889 – 908.

Ledoit, O. and M. Wolf (2008). Robust performance hypothesis testing with the Sharpe ratio. Journal of Empirical Finance 15(5), 850 – 859.

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