作者：石川

摘要：回歸分析在量化投資中的應(yīng)用十分廣泛。但是金融時(shí)間序列中有很多不滿足平穩(wěn)性，我們必須警惕它們造成的偽回歸。

1 生活中隨處可見的偽回歸

回歸分析在量化投資中的應(yīng)用十分廣泛。比如在選股或者預(yù)測股票收益率時(shí)，人們常常使用宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)或公司基本面數(shù)據(jù)等對收益率回歸，以期找出能夠解釋收益率的自變量（又稱為因子）。由于金融數(shù)據(jù)之間的關(guān)系大多為線性，因此線性回歸往往就足夠用了；而因?yàn)榫€性回歸又足夠簡單，這就使得回歸分析更加普及。

回歸分析的目的是為了找到自變量和因變量之間的相關(guān)性。然而，當(dāng)我們對時(shí)間序列進(jìn)行回歸分析時(shí)，必須要警惕一類陷阱，它就是偽回歸（spurious regression），它指的是自變量和因變量之間本來沒有任何因果關(guān)系，但由于某種原因，回歸分析卻顯示出它們之間存在統(tǒng)計(jì)意義上的相關(guān)性，讓人錯(cuò)誤地認(rèn)為兩者之間有關(guān)聯(lián)，這種相關(guān)性稱作偽關(guān)系（spurious relationship）。

偽回歸在生活中隨處可見，來看下面兩個(gè)例子。

本文就來介紹偽回歸。了解如何識別它，才能避免在構(gòu)建量化模型時(shí)錯(cuò)誤的使用不同數(shù)據(jù)之間的偽關(guān)系。

2 成因和數(shù)學(xué)特性

偽回歸的成因一般有兩個(gè)。在上一節(jié)的第一個(gè)例子中，偽回歸的成因是存在干擾因素（confounding factor，或稱潛在變數(shù) lurking variable）。在第二個(gè)例子中，偽回歸的成因是兩個(gè)變量之間的局部隨機(jī)趨勢（local stochastic trend）。當(dāng)兩個(gè)變量同時(shí)受第三個(gè)因素影響時(shí)，這兩個(gè)變量間可能存在誤導(dǎo)性的相關(guān)性，這第三個(gè)因素稱為干擾因素。在第一個(gè)例子中，干擾因素是夏天炎熱的高溫。高溫造成了冰淇淋銷量的上升；此外高溫也使得更多的兒童去公共泳池從而造成溺水事故增多。高溫是造成冰淇淋銷量和溺水兒童數(shù)上升的共同因素；這兩者本身之間并沒有相關(guān)性。

在第二個(gè)例子中，偽回歸的成因是隨機(jī)趨勢。對于量化投資中可能出現(xiàn)的偽回歸，這種成因更普遍。從上一節(jié)的圖中可以看到，居民消費(fèi)和鸕鶿數(shù)量均隨時(shí)間呈現(xiàn)上升趨勢。這種趨勢的巧合造成了它們之間在統(tǒng)計(jì)意義上的偽關(guān)系；然而它二者之間并沒有因果關(guān)系 —— 我們無法說“由于居民消費(fèi)的增加導(dǎo)致了鸕鶿數(shù)量的上升”，反之亦然。關(guān)于隨機(jī)趨勢這個(gè)成因，來看另一個(gè)例子。考慮兩個(gè)獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，它們的時(shí)間序列如下圖所示（藍(lán)線 vs 綠線）。紅色方框畫出的區(qū)域顯示它們在局部表現(xiàn)出了同樣的上漲或者下降趨勢。如果我們用藍(lán)線當(dāng)自變量來回歸綠線，得到的回歸系數(shù)為 0.34（p-value 小于 0.001）。這顯然是一個(gè)偽關(guān)系；這兩個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立，它們之間沒有任何關(guān)系。

注意了，重要的話加粗說一遍：

如何避免偽回歸呢？在上面的例子中，無論是居民消費(fèi)、鸕鶿個(gè)數(shù)還是隨機(jī)生成的布朗運(yùn)動(dòng)，這些時(shí)間序列都是非平穩(wěn)的（non-stationary）。當(dāng)我們對非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行回歸分析時(shí)，非常容易發(fā)現(xiàn)偽回歸（例外是這些時(shí)間序列滿足協(xié)整關(guān)系，下文會(huì)說明）。當(dāng)偽回歸出現(xiàn)時(shí)，回歸分析得到的殘差序列（residual）不滿足平穩(wěn)性，我們可以以此作為判別偽回歸的依據(jù)：如果回歸分析的殘差是非平穩(wěn)的，說明發(fā)生了偽回歸。在上文的例子中，居民消費(fèi)和鸕鶿數(shù)量回歸結(jié)果的殘差序列和兩個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)回歸的殘差序列分別如下圖所示。這兩個(gè)殘差序列均不滿足平穩(wěn)性。

偽回歸告訴我們：我們不能僅僅因?yàn)閮蓚€(gè)時(shí)間序列共同運(yùn)動(dòng)就說它們之間一定存在相關(guān)性。

3 檢驗(yàn)平穩(wěn)性

本節(jié)就來介紹如何檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性。掌握了這個(gè)技術(shù)，我們就可以檢驗(yàn)一個(gè)回歸分析得到的殘差序列是否是平穩(wěn)的，從而推斷是否發(fā)生了偽回歸。

簡單的說，如果一個(gè)時(shí)間序列 {y_t} 在每一時(shí)刻 t 的取值的概率分布都一樣、該分布與 t 無關(guān)，那么該時(shí)間序列就是平穩(wěn)的。關(guān)于時(shí)間序列平穩(wěn)性的詳細(xì)解釋，請參考《寫給你的金融時(shí)間序列分析：基礎(chǔ)篇》中的第四節(jié)：時(shí)間序列的平穩(wěn)性。為了說明如何判斷平穩(wěn)性需要講到以下三個(gè)概念：unit root（單位根）、order of integration（單整階數(shù)）、以及 ADF 檢驗(yàn)。

3.1 單位根

單位根（unit root）是非平穩(wěn)時(shí)間序列的特性之一。對于一個(gè)時(shí)間序列 {y_t, t = 0, 1, …}，假設(shè)它可以寫成 p 階自回歸函數(shù)如下：

其中 ε_t 是殘差序列；a_1，……，a_p 為回歸系數(shù)。該時(shí)間序列的特征方程（characteristic equation）為：

如果 m = 1 是該特征方程的一個(gè)解，則稱該時(shí)間序列存在單位根。

3.2 單整階數(shù)

單整階數(shù)（order of integration）是和單位根密切相關(guān)的一個(gè)概念。在時(shí)間序列特征方程的解中，如果 m = 1 是一個(gè)單重根（即在特征方程的所有解中，m = 1 這個(gè)解僅出現(xiàn)一次），那么該時(shí)間序列是一階單整的（integrated of order one，記為 I(1)）；如果 m = 1 是一個(gè)多重根（重?cái)?shù)為 d），則該時(shí)間序列是 d 階單整的（記為 I(d)）。單整階數(shù)在實(shí)際中的含義是什么呢？對于一個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列，我們總可以捅過差分把它變成平穩(wěn)的；差分的次數(shù)就是單整階數(shù)。如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過一次差分就變成平穩(wěn)的，那么它就是一階單整的；如果一個(gè)時(shí)間序列需要通過 d 次差分才能變成平穩(wěn)的，那么它就是 d 階單整的。對于我們熟悉的股票價(jià)格序列，它的一階差分為股票的收益率；由于收益率滿足平穩(wěn)性，因此股票價(jià)格序列是一階單整的。

3.3 ADF 檢驗(yàn)

從上面的介紹可知，要想判斷一個(gè)時(shí)間序列是否滿足平穩(wěn)性，核心就是看它有沒有單位根。為此，可以采用 ADF 檢驗(yàn)（全稱為 Augmented Dickey-Fuller test）。將 {y_t} 的自回歸函數(shù)轉(zhuǎn)化為 y_t 增量 Δy_t 的形式：

在上式中，如果時(shí)間序列 {y_t} 存在單位根，則 λ = 0。ADF 檢驗(yàn)的原假設(shè)是 λ = 0、備擇假設(shè)是 λ < 0。

對于回歸分析得到的殘差序列，通過 ADF 檢驗(yàn)考察其是否存在單位根。如果能夠在給定的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，則可以認(rèn)為殘差序列滿足平穩(wěn)性，從而推斷出回歸分析得到的相關(guān)性可信、沒有發(fā)生偽回歸。

4 協(xié)整 —— 處理非平穩(wěn)時(shí)間序列的利器

在量化投資領(lǐng)域，收益率序列滿足平穩(wěn)性，而價(jià)格序列不滿足平穩(wěn)性。收益率滿足平穩(wěn)性僅僅說明價(jià)格呈現(xiàn)隨機(jī)游走，它對于構(gòu)建賺錢的投資策略幾乎沒有什么用。我們想要的是價(jià)格序列呈現(xiàn)出平穩(wěn)性。不幸的是，現(xiàn)實(shí)中投資品價(jià)格基本上都呈現(xiàn)（幾何）布朗運(yùn)動(dòng)（見《布朗運(yùn)動(dòng)、伊藤引理、BS 公式》系列文章）。這意味著投資品的價(jià)格均不滿足平穩(wěn)性的要求，因此如果我們想用其他數(shù)據(jù) —— 比如宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù) —— 來預(yù)測投資品價(jià)格（比如上證指數(shù)）的走勢就沒什么意義，因?yàn)闀?huì)發(fā)生偽回歸。

好消息是，這里有一個(gè)例外：雖然單一投資品的價(jià)格不滿足平穩(wěn)性，但有時(shí)我們可以把多個(gè)投資品（通常是兩個(gè)）線性組合在一起構(gòu)成一個(gè)價(jià)差序列，而這個(gè)價(jià)差序列滿足平穩(wěn)性。在數(shù)學(xué)上，如果多個(gè)非平穩(wěn)的時(shí)間序列通過線性組合得到一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列，則把滿足這種關(guān)系稱為協(xié)整（co-integration）。為什么會(huì)發(fā)生協(xié)整的？考慮兩個(gè)投資品的價(jià)格序列為 {X_1t} 和 {X_2t}，它們的走勢可以表述為：

其中 ε_1i 和 ε_2i，i = 1，……，t 為構(gòu)成 X_1t 和 X_2t 的隨機(jī)過程。假設(shè)這兩個(gè)價(jià)格序列的一個(gè)線性組合為：

如果存在 β 使得這兩個(gè)價(jià)格序列中的隨機(jī)過程恰好能夠抵消掉，則價(jià)差序列 Z_t 滿足平穩(wěn)性。在這種情況下，X_1t 和 X_2t 滿足參數(shù)為 β 的協(xié)整關(guān)系。β 在什么情況下存在呢？在第二節(jié)的例子中，兩個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性由不同的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)主宰，它們的局部共同運(yùn)動(dòng)純屬巧合。而當(dāng)協(xié)整發(fā)生時(shí)，這兩個(gè)價(jià)格序列的隨機(jī)過程能夠抵消掉的根本原因是它們的隨機(jī)性來自同一個(gè)隨機(jī)過程（共同的因素）。只有在這種情況下，兩個(gè)價(jià)格序列才可能發(fā)生協(xié)整，它們的價(jià)差序列才能滿足平穩(wěn)性。

在量化投資領(lǐng)域，協(xié)整的例子雖然不是隨處可見，但也絕非寥若晨星。在不同交易所交易的追蹤同一投資品（比如標(biāo)普 500 指數(shù)或者比特幣）的金融工具，它們的價(jià)差就滿足平穩(wěn)性，因?yàn)樗鼈儍r(jià)格的波動(dòng)來自同一投資品。又如股指 ETF 和成分股之間線性組合得到的價(jià)差，股指 ETF 的隨機(jī)性來自成分股的波動(dòng)。協(xié)整的存在使得構(gòu)建出的價(jià)差序列滿足平穩(wěn)性；更形象的說，價(jià)差序列圍繞零呈現(xiàn)均值回歸（也稱均值回復(fù)）的特性。這種特性構(gòu)成了量化投資領(lǐng)域的一大類策略 —— 均值回歸策略（見《均值回歸：循規(guī)蹈矩，偶發(fā)癲狂》）。

EWA 和 EWC 的配對交易就是一個(gè)經(jīng)典的例子。他們分別代表澳大利亞（EWA）和加拿大（EWC）股指的兩個(gè)ETFs。由于這兩個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)都主要依靠商品，因此可以認(rèn)為這兩個(gè)股指的波動(dòng)來自共同的因子。下圖為這兩個(gè) ETFs 的價(jià)格序列（左圖）和回歸得到的價(jià)差序列（右圖）。

對價(jià)差進(jìn)行 ADF 檢驗(yàn)，得到的統(tǒng)計(jì)值為 -4.09（p-value 為 0.0065），小于顯著性 1% 對應(yīng)的閾值 -3.96，這說明我們可以在 1% 的顯著性水平下拒絕原假設(shè)。ADF 檢驗(yàn)說明該價(jià)差序列滿足平穩(wěn)性，即 EWA 和 EWC 滿足協(xié)整關(guān)系。

5 結(jié)語

對時(shí)間序列做回歸時(shí)，一定要檢驗(yàn)平穩(wěn)性。

在量化投資領(lǐng)域，做回歸分析時(shí)，收益率和價(jià)格是兩類因變量。對于收益率，它已經(jīng)滿足了平穩(wěn)性，因此我們只需要保證回歸中的自變量也滿足平穩(wěn)性。這就是為什么在使用宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測收益率時(shí)，我們通常會(huì)使用同比或者環(huán)比（都是一階差分了）作為自變量，而非經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的累計(jì)值。

對于投資品價(jià)格來說，它自身是一階單整的，不滿足平穩(wěn)性。在回歸時(shí)，應(yīng)爭取找到和它協(xié)整的另外一個(gè)（或一組）投資品價(jià)格，用它們的線性組合得到一個(gè)滿足平穩(wěn)性的價(jià)差序列，從而構(gòu)建均值回歸策略。另外我們見到的做法（通常很危險(xiǎn)）是使用宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)直接預(yù)測股票的價(jià)格走勢。由于宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)和股票價(jià)格很難滿足協(xié)整關(guān)系，因此這種回歸得到的往往是偽關(guān)系。

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