作者：石川

摘要：赫斯特（Hurst）指數(shù)和分數(shù)布朗運動大概是在國內(nèi)量化投資界最被錯誤解讀的技術(shù)。本文揭示它們的真諦。

1 引言

赫斯特指數(shù)和分數(shù)布朗運動大概是在國內(nèi)量化投資界被使用（和被濫用）的最廣泛的分析手段。它們被提出的歷史進程如下。

1951 年，英國水文學(xué)家赫斯特（Harold Edwin Hurst）在研究尼羅河水位變化時發(fā)現(xiàn)了時間序列中存在的長記憶性（long-term memory, Hurst 1951），即時間序列當前（或過去）的取值以遠超隨機擾動所能達到的程度影響該時間序列在未來的取值。進一步的，他發(fā)現(xiàn)該長記憶性存在于更廣泛的自然現(xiàn)象中，比如降雨量、樹的年輪，太陽耀斑等。為了紀念他的發(fā)現(xiàn)，后人使用赫斯特指數(shù)（Hurst exponent，記為 H）來刻畫一個時間序列的長記憶性。

1968 年，Mandelbrot and Van Ness (1968) 提出分數(shù)布朗運動（Fractional Brownian Motions，F(xiàn)BM）。對于呈現(xiàn)出長記憶性的時間序列，該數(shù)學(xué)模型結(jié)合 Hurst 指數(shù)形成了一個完善且自洽的研究體系，使人們可以研究長記憶性如何影響時間序列的變化。后續(xù)的研究表明，F(xiàn)BM 完美的適用于自然科學(xué)、工程、以及統(tǒng)計學(xué)中的許多問題。FBM 的核心性質(zhì)是該過程在任意時間窗口內(nèi)增量的穩(wěn)定性、自相似性和自相關(guān)性。

1994 年，Peters 將 Hurst 指數(shù)和分數(shù)布朗運動應(yīng)用于資本市場（Peters 1994），指出股票的（對數(shù)）價格序列服從分數(shù)布朗運動，并提出了著名的分形市場假說（Fractal Market Hypothesis）。這無疑是即有效市場假說之后，人們對資本市場價格變化的一種全新認知。

毫無疑問，Hurst 指數(shù)和 FBM 對于人們今天研究股票的價格和收益率至關(guān)重要。然而，FBM 被提出的根本目的是科學(xué)家在尋找一個更適當?shù)哪Ｐ蛠砻枋鲎匀唤缰幸恍r間序列的變化。Hurst、Mandelbrot 以及 Van Ness 大概不會想到在 FBM 被提出半個世紀后，遙遠的東方有一群人在沒有真正理解 FBM 和 Hurst 指數(shù)本質(zhì)的前提下，過度解讀、使用 FBM 增量的自相關(guān)性來構(gòu)建量化投資策略。在這方面，不嚴謹邏輯推演如下：

FBM 描述投資品價格（更嚴謹?shù)?，描述對?shù)價格），因此它的增量就是對數(shù)收益率。如果 Hurst 指數(shù) > 0.5，說明前后收益率之間有正相關(guān)，因此之前漲了之后還會漲，之前跌了之后還會跌，而這就是趨勢。

這個推演不嚴謹（甚至是錯誤）是因為：

顯然，前兩點原因是最重要的，我們在本文第五節(jié)談到 Hurst 指數(shù)和 FBM 對投資實踐的意義時會著重論述。

本文的目的就是撥開云霧、去偽存真，為讀者揭示 Hurst 指數(shù)和 FBM 的真正內(nèi)涵。相信看完本文，你會理解長記憶性到底意味著什么，以及 FBM 增量間的相關(guān)性對于構(gòu)建投資策略到底有多大用處。我們也會明白為什么投資品的收益率會呈現(xiàn)出波動率聚類以及尖峰肥尾的分布。本文假設(shè)讀者已經(jīng)熟悉標準布朗運動的概念和基本性質(zhì)。需要回顧一下的小伙伴可以參考我們之前的文章《布朗運動、伊藤引理、BS 公式（前篇）》。

2 長記憶性和 Hurst 指數(shù)

對于一個時間序列，它在一段時間內(nèi)的變化范圍（或波動）如何隨時間跨度大小而變化往往可以揭示該時間序列的特性。

讓我們從最簡單的講起。假設(shè)我們有一組相互獨立，均值為 0 方差為 1 的隨機變量按時間依次出現(xiàn)。它們夠了一個時間序列。這個時間序列在某段時間跨度 T 內(nèi)的變化范圍和 T 的 1/2 次方呈線性關(guān)系。我們熟悉的標準布朗運動的增量就滿足這個性質(zhì)（增量之間是相互獨立的）。

然而 Hurst 發(fā)現(xiàn)，對于自然界中的很多時間序列，它們在時間跨度 T 內(nèi)的變化范圍并不是和 T 的 1/2 次方成正比，而是和比 1/2 更高的次方成正比，這表明時間序列的取值之間不是獨立的，而是相互影響，即時間序列的自相關(guān)系數(shù)不為 0。我們說這樣的時間序列是有長記憶的。根據(jù) Beran (1994)，一個具有長記憶性的平穩(wěn)時間序列（比如河流水位的變化或者投資品收益率）定義如下：

長記憶性是和短期相關(guān)性（short-term dependency）相對應(yīng)的。一個具有短期相關(guān)性的時間序列它的自相關(guān)系數(shù)隨著間隔（lag）的增大很快衰減為 0 或者按指數(shù)衰減；而對于具有長記憶性的時間序列，它的自相關(guān)系數(shù)衰減的更慢。這個定義說明，如果一個平穩(wěn)時間序列的自相關(guān)函數(shù) ρ(k) 的衰減速度服從冪律衰減（即比指數(shù)衰減慢），那么這個時間序列就具備長記憶性。記憶性體現(xiàn)在自相關(guān)函數(shù)的非獨立性上，而“長”體現(xiàn)在衰減的慢。

Hurst 指數(shù) H 就用來刻畫這種長記憶性；它被用來測量一個時間序列的波動范圍如何隨時間跨度變化，即：

其中，n 是時間序列觀測點的個數(shù)，代表時間跨度大??；R(n) 是這 n 個觀測點的變化范圍；S(n) 是這些點的標準差。使用 S(n) 對 R(n) 進行標準化，得到 R(n)/S(n)，它是以標準差重新標度過的范圍，稱為重標極差（rescaled range）；A 是常數(shù)；H 就是Hurst 指數(shù)。H 的取值范圍在 0 和 1 之間（不包括 0 和 1）。當 H = 1/2 時，該時間序列沒有相關(guān)性。當 H > 1/2 時，該時間序列有長記憶性；當 H < 1/2 時，該時間序列表現(xiàn)出反持續(xù)性，因此它表現(xiàn)出比純隨機更強的波動。

雖然有了 Hurst 指數(shù)，但我們?nèi)匀粵]有分析這類時間序列的模型。分數(shù)布朗運動應(yīng)運而生。

3 分數(shù)布朗運動

分數(shù)布朗運動 FBM（又稱為分形布朗運動）脫胎于標準布朗運動。FBM 是一個定義在時域上的連續(xù)隨機過程 B_H(t)，它滿足：

其中 H 就是描述這個 FBM 增量間關(guān)系的 Hurst 指數(shù)。FBM 的核心性質(zhì)是其增量的平穩(wěn)性、自相似性和自相關(guān)性（H = 0.5 除外；當 H = 0.5 時，F(xiàn)BM 變化為標準布朗運動）。首先來看自相似性（self-affinity property）。它指的是對于兩個成比例的時間跨度，記為 τ 和 kτ（k 是比例縮放系數(shù)），F(xiàn)BM 在這兩段時間跨度上的增量依照 k^H 的縮放比例滿足統(tǒng)計上的同分布，即：

如果我們使用 FBM 來描述投資品（對數(shù)）價格，則這個性質(zhì)說明不論我們看 5 分鐘線、30 分鐘線、日線、或者周線，投資品價格在不同時間尺度上的變化（即不同頻率上的收益率）按照 Hurst 指數(shù)刻畫的縮放比例 k^H 呈現(xiàn)出統(tǒng)計上的同分布。即如果我們把投資品價格的 5 分鐘收益率按照 6^H 比例放大后和 30 分鐘收益率比較，我們是無法區(qū)分它們的，因為他們在統(tǒng)計上滿足相同的分布。

再來看增量的自相關(guān)性（這是被國內(nèi)量化投資界過度錯誤使用的性質(zhì)）具有如下性質(zhì)：

Mandelbrot and Van Ness (1968) 對增量之間的相關(guān)性進行了定量的計算。令 [-t/2 – t2, -t/2] 和 [t/2, t/2 + t1] 代表兩個不重合的時間跨度（因此這兩個跨度的長度分別為 t1 和 t2），則 FBM 在這兩個跨度上的增量之間的相關(guān)系數(shù)為（記為 C(t,t1,t2)）：

可以證明，無論 t，t1 以及 t2 的取值，當 H > 0.5 時，該相關(guān)系數(shù)都大于 0；當 H < 0.5 時，該相關(guān)系數(shù)都小于 0。

我們在上式的基礎(chǔ)上做一些有用的推導(dǎo)。令 t1 = t2，即我們考慮 FBM 在兩個相同跨度上增量的自相關(guān)性。另外，令 t = s × t1，s = 0，1，2，…，即這兩段增量之間的間隔是它們跨度的 s 倍。如此處理后再計算這兩段增量的相關(guān)性，實際上是在計算原始 FBM 按照 1/t1 頻率進行一階差分后的序列的自相關(guān)性，其間隔就是 s。經(jīng)過簡單的代數(shù)運算很容易得到：

可見，這個 FBM 一階差分序列的自相關(guān)性僅和間隔 s（以及 Hurst 指數(shù) H）有關(guān)，而與計算自相關(guān)性的時間點無關(guān)。這就證明了 FBM 增量的平穩(wěn)性。特別的，如果我們?nèi)?s = 0，則我們關(guān)注的是兩個相鄰的 t1 長度內(nèi) FBM 增量的自相關(guān)性，它等于：

無論 s 是否為 0，以上兩式均與時間跨度的取值無關(guān)。這是非常重要的一個性質(zhì)，說明 FBM 增量的自相關(guān)性和求解增量的時間跨度 t1（或差分 FBM 的頻率）無關(guān)，僅由 s 和 H 刻畫。因此 Hurst 指數(shù)描述的是 FBM 增量的自相關(guān)性在不同頻率上的共性。在下一節(jié)介紹重標極差法計算 Hurst 指數(shù)時，我們會進一步解釋這一點。

4 重標極差法

Hurst 指數(shù)刻畫的是不同頻率下 FBM 增量的波動和頻率的關(guān)系。波動的含義是 FBM 在不同頻率下的增量的分布寬度。刻畫這個寬度可以使用重標極差或者別的指標，比如標準差。這就構(gòu)成了計算 Hurst 指數(shù)的不同方法。當使用重標極差來描述波動的分布寬度時，該方法便稱為重標極差分析（rescaled range analysis，記為 R/S 分析），這是由 Hurst 發(fā)明（Hurst 1951），也是業(yè)界最普遍的一種方法。在國內(nèi)很多投資研究報告中計算 Hurst 指數(shù)時，采用的正是這種方法。

理解這個方法對完全搞懂 Hurst 指數(shù)和 FBM 至關(guān)重要。比如，F(xiàn)BM 研究的是投資品價格序列，但是為什么我們卻說收益率的 Hurst 指數(shù)，而不說價格序列的 Hurst 指數(shù)？又比如，我們可以使用日收益率計算 Hurst 指數(shù)，也可以使用周收益率計算 Hurst 指數(shù)，它們之間到底有什么區(qū)別和聯(lián)系？以回答這些問題為目標，本節(jié)參考 Peters (1994) 的步驟介紹如何使用重標極差法計算 Hurst 指數(shù)。

首先必須明確的是，在金融市場投資領(lǐng)域，FBM 是用來對投資品的對數(shù)價格建模的，因此 FBM 的增量就是投資品的對數(shù)收益率。使用對數(shù)價格的目的是將價格標準化，使時間序列在不同絕對價格下的波動具有可比性。舉個例子，如果不進行標準化，那么顯然 100 點的波動對于 3000 點和 6000 點的上證指數(shù)是不一樣的，是不可比的。根據(jù) FBM 的性質(zhì)，其增量滿足平穩(wěn)性。因此，投資品的對數(shù)收益率滿足平穩(wěn)性。而長記憶性，即 Hurst 指數(shù)，是刻畫平穩(wěn)時間序列自相關(guān)性的一個指標（Beran 1994）。因此 Hurst 指數(shù)刻畫的就是對數(shù)收益率的自相關(guān)性。這就是為什么當我們說 Hurst 指數(shù)時，它的對象是收益率序列而非價格序列。

R/S 分析的步驟如下。

這里的關(guān)鍵點是累積離差是相對于該子集均值而言的，即這里有個去均值的過程，因此下一步計算出的波動范圍（range）也是去均值化后的。在 Hurst 的研究中，他使用的正是去均值化后的離差和波動范圍，這可以消除序列長期趨勢對增量之間相關(guān)性的影響（Hurst 1951，F(xiàn)eller 1951）。由于對數(shù)收益率序列的累加構(gòu)成對數(shù)價格，而對數(shù)價格由 FBM 描述，因此去均值也保證了收益率序列滿足 B_H(t) 在任意長度區(qū)間內(nèi)增量的期望為 0。如果沒有進行去均值處理，則對數(shù)收益率序列可能存在非零的漂移率（drift rate）常數(shù)項，這會造成 FBM 不滿足增量零均值性質(zhì)。

考慮下面的例子。假設(shè)對數(shù)收益率序列為：2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%。它們的均值為 0.5%，因此去均值化后的序列為：1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%。顯然，這兩個序列的累積離差序列完全不同（因此在下一步中計算出的波動范圍也不同）。

Log((R/S)_n) 和 log(n) 之間的線性關(guān)系（斜率）就是 Hurst 指數(shù) H。我們來看看這條跨越不同 log(n)——對應(yīng)的是計算收益率的不同頻率——的直線到底意味著什么。在求解 Hurst 指數(shù) H 的過程中，隨著時間跨度 n 的增加，我們逐步考察更低頻率的對數(shù)收益率的累積變化。原始價格數(shù)據(jù)的粒度決定了我們在分析中涉及的最高頻率（因為 n 的取值最小為 1），而 Hurst 指數(shù)描述的是以這個最高頻率為上界的全頻率*范圍內(nèi)的收益率序列的相關(guān)性。

* 說全頻率不太確切。大量國內(nèi)外實證指出，當時間跨度 logn 太大之后，Hurst 指數(shù) H 刻畫的記憶性開始失效，即如果我們把 log((R/S)_n) 和 logn 畫出散點圖，那么當 logn 大于某個值，即頻率小于某個值的時候，log((R/S)_n) 和 logn 的線性關(guān)系開始失效（比如下圖來自使用 R/S 法分析上證指數(shù)從 2005 年起日收益率的 Hurst 指數(shù)，log((R/S)_n) 和 logn 的線性關(guān)系當 n 大于 244 個交易日——約 1 年——后失效）。因此，Hurst 指數(shù)刻畫的是從分析的最高頻率到線性關(guān)系失效對應(yīng)的最低頻率之間所有頻率的相關(guān)性。在這段頻率區(qū)間內(nèi)，無論我們看哪個頻率的收益率，其自相關(guān)性都由一個共同的 H 刻畫。

來看幾個例子。假設(shè)我們輸入的數(shù)據(jù)為 5 日收益率（即采樣頻率是 5 個交易日），而 log(R/S) 和 logn 的散點圖說明當 n = 250 個交易日線性關(guān)系時失效（相當于 1 年），這意味著我們考慮的頻率范圍是從 5 日收益率一直到 1 年的收益率。假設(shè) H = 0.6，這意味著在這個頻率范圍內(nèi)，無論我們考察 5 日收益率的自相關(guān)性，還是月收益率的自相關(guān)性，亦或是年收益率的自相關(guān)性，它們都由 H = 0.6 來刻畫。

而當我們將輸入數(shù)據(jù)的頻率提高到 1 日收益率數(shù)據(jù)會怎么樣呢？我們的分析范圍由之前的 5 日到 1 年擴大到 1 日到 1 年。因此，在這種情況下計算出來的 H 數(shù)值則刻畫這個更大頻率范圍內(nèi)收益率的自相似性。顯然，它涵蓋了之前的 5 日到 1 年這個頻率區(qū)間。那是否意味著這個新的 H 數(shù)值等于之前的 0.6 呢？答案是否定的。由于新的分析中用到了更高頻的數(shù)據(jù)（1 個交易日），而更高的頻率伴隨著更多的隨機擾動（所以高頻收益率之間的相關(guān)性更低），因此這個描繪從 1 日到 1 年頻域的新的 H 會比之前那個描繪從 5 日到 1 年頻域的 H 的取值低一些。Peters (1994) 在美股上的大量實證完美的證實了這一點。

5 Hurst 指數(shù)和 FBM 對投資實踐的意義

通過前面的介紹，我們已經(jīng)知道：

在文章的開篇，我提出國內(nèi)量化投資界過度夸大了這種自相關(guān)性在構(gòu)建可盈利的投資策略時的作用。這主要體現(xiàn)在以下兩個方面：

1. 它從本質(zhì)上錯誤的定義了“趨勢”；

2. 它過分夸大了 FBM 增量之間的正相關(guān)性在構(gòu)建投資策略時的作用。

下面我就來分別闡述這兩點。首先來看“錯誤的定義了趨勢”這點。在眾多的描述股價的隨機過程變種中，標準布朗運動和分數(shù)布朗運動都是假設(shè)該隨機過程是沒有長期漂移率項的，即投資品價格經(jīng)過任意時間跨度 T 的變化之后，其期望價格仍然等于它的初始價格。這顯然和現(xiàn)實不符。因此，更適合描述股價的布朗或分數(shù)布朗運動一定是含有代表長期趨勢的漂移率項的。

美股的標普 500 指數(shù)或者道瓊斯工業(yè)指數(shù)在百年歷程中呈現(xiàn)穩(wěn)健上行的慢牛行情（除幾次嚴重股災(zāi)外），是因為它們的收益率有一個正的（雖然很小）的漂移率；我國 A 股在 2007 年和 2015 年的兩波牛市盛宴中之所以能一路上行，是因為收益率有正的且相對于波動率來說很大的漂移率。收益率中的正漂移率才是趨勢，才是能夠被策略利用來賺錢的。

下圖是利用時間序列中刻畫短期自相關(guān)性的 ARMA 模型（來自《寫給你的金融時間序列：應(yīng)用篇》）分析上證指數(shù)收益率時，得到的漂移率隨時間的變化。可見在 2015 年上半年大牛市的時候漂移率顯著大于 0；在 2015 年下半年大熊市的時候，漂移率顯著小于 0。在這個顯著的漂移率面前，刻畫自相關(guān)性的 ARMA 系數(shù)對收益率的影響微乎其微。雖然這是一個從短期自相關(guān)性角度考察的例子，但它的結(jié)論對于 Hurst 指數(shù)這種全頻率的長期自相關(guān)性同樣適用：在真正代表趨勢的漂移率面前，無論短期還是長期的自相關(guān)性對于收益率的影響微乎其微。

再來看一個假想的例子。假設(shè)我們有一組對數(shù)收益率序列 {3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2% …}。從賺錢的角度來說，這個序列有明顯的趨勢（漂移率等于 2.5%），因此應(yīng)該一直持有該投資品。但如果我們對該收益率序列去掉長期均值并計算其 Hurst 指數(shù)，得到的 Hurst 指數(shù)沒有任何意義（因為這個例子中收益率序列呈周期性變化，因此 Hurst 指數(shù)覆蓋的頻域也是有周期性的，考慮不同頻率，Hurst 指數(shù)時正時負）。如果我們不考慮漂移率，那么我們會根據(jù) Hurst 指數(shù)認為當收益率序列在特定的頻率下有負相關(guān)，從而放棄收益率為 2% 的那些時間段，這顯然是錯誤的。

所以，真正能賺錢的行情是收益率序列中有正的漂移率項。而這壓根就不是 Hurst 指數(shù)刻畫的對象（它研究的是去漂移率項之后，收益率序列的自相關(guān)性）。券商報告中使用 Hurst 指數(shù)擇時出 A 股的牛熊市（漂移率為正和漂移率為負的周期），實在是貽笑大方。

再來看看第二點，即“夸大了（去漂移率后）收益率之間正相關(guān)性的作用”。FBM 的增量之間有相關(guān)性，那么當使用 FBM 描述股票對數(shù)價格的時候，這里隱含的意思就是如果股票價格在前期漲了且 Hurst 指數(shù)大于 0.5，則股票價格在后期也會漲。這個通俗的理解雖然和 FBM 的性質(zhì)不矛盾，但是細想起來，直接使用它構(gòu)建策略就有問題了。

假設(shè)收益率沒有漂移率，讓我們就考慮它的自相關(guān)性。那么我們關(guān)心的是 FBM 過程的增量在已知過去歷史的條件下的條件期望。如果條件期望為正，那么可以說收益率的期望為正（當然，對于實際的收益率取值，還受到隨機擾動的影響）。但是，由于 Hurst 指數(shù)描繪的是全頻率上的相似性，F(xiàn)BM 增量的條件期望在數(shù)學(xué)上極其復(fù)雜（Fink et.al. 2013）。這在投資中的體現(xiàn)是，一個投資品在上一個交易日的收益率可能是正的，而它在前一周的收益率卻是負的。Hurst 指數(shù)說明不同頻率的收益率在統(tǒng)計上滿足同分布，且有相同的相關(guān)性。那么這一正一負的不同頻率的收益率的實際取值對未來收益率的影響到底是多少呢？顯然，我們不能看了日收益率為正就說下一個交易日的收益率為正；而看了周收益率為負就說下一周的收益率為負。這就是 Hurst 指數(shù)作為全頻率上的性質(zhì)在對未來進行推測時帶來的復(fù)雜之處。所以，如果我們僅以 Hurst 指數(shù)大于 0.5 就說“之前漲了，之后還會漲”，這無疑錯誤解讀了 Hurst 指數(shù)的本意。

以上就是對上面兩個問題的論證。

那么，Hurst 指數(shù)刻畫的長記憶性在投資中到底意味著什么呢？我認為它可以從三方面解讀：

1. 波動率聚類

Mandelbrot (1963) 在研究投資品價格時觀測到波動率聚類。它的意思是價格的大幅變化往往伴隨著大幅變化（變化的符號都有可能），而價格的小幅變化往往伴隨著小幅變化。從數(shù)學(xué)上刻畫就意味著收益率的絕對值有很強的長記憶性，它的自相關(guān)性衰減的很慢。Taqqu (1975) 的研究也證明了 FBM 的增量（收益率）的絕對值的 Hurst 指數(shù)大于 0.5，即有長記憶性。Oh et. al. (2008) 研究了美國、德國、英國等八國主要股指收益率的絕對值并證實，這些時間序列的 Hurst 指數(shù)顯著高于 0.5。下圖為 2001 年到 2017 年上證指數(shù)日收益率的標準差，從中可以清晰的看到波動率聚類。

2. 收益率的尖峰肥尾分布

投資品收益率并不滿足正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)出尖峰肥尾的特征。這是市場上的共識。在數(shù)學(xué)上，這種分布可以使用 Levy 分布描述，而描述該分部時用到兩個重要的參數(shù) α（描述尖峰肥尾性）和 β（描述偏度）。（注：這里雖然用到了符號 α 和 β，但它們和我們常說的 α 和 β 收益率無關(guān)。）

當一個隨機變量的尾部分布滿足冪律衰減時，即 prob(X>x) ~ O(x^-α) 且 α < 2，該隨機變量的分布體現(xiàn)出肥尾。可以證明，α 和 Hurst 指數(shù) H 有如下關(guān)系：α = 1/H。對于有長記憶性的收益率，因為其 H > 0.5，所以 α = 1/H < 2，因此我們在收益率分布上觀測到尖峰肥尾特性。

3. 對投資者心理的影響

投資品價格的走勢都是被無數(shù)投資者交易出來的。從一定程度上說，長記憶性是投資者行為在投資品收益率上刻下的烙印。俗話說“一朝被蛇咬十年怕井繩”，那么一次大的股災(zāi)顯然很容易讓投資者變成驚弓之鳥，對大跌的恐懼和風(fēng)險厭惡顯然不是一朝一夕可以忘掉的。這種影響將會是深遠的，體現(xiàn)在啊投資者的行為上，便造就了收益率上的長記憶性。

以上便是 Hurst 指數(shù)和 FBM 對于投資實踐的意義。

6 結(jié)語

在研究量化投資之初，我從國內(nèi)的研究報告中接觸到了 Hurst 指數(shù)（可見它的流行度）。自己嘗試后發(fā)現(xiàn)效果并不好（尤其樣本外）。那時我就在想是自己沒用對，還是經(jīng)過這些研究報告“加工過”的二手資料對 Hurst 指數(shù)的理解有誤。于是追蹤溯源我認真學(xué)習(xí)了Hurst 指數(shù)和 FBM 的原始資料，得出的結(jié)論是二手資料對 Hurst 指數(shù)的理解有誤。終于，今天有機會把我自己對 Hurst 指數(shù)和 FBM 的理解寫下來，是為了對自己之前學(xué)習(xí)的總結(jié)；是為了讓希望真正理解它們的人少走些彎路；是為了抨擊那種張嘴就來說“Hurst 指數(shù)＞0.5 就有趨勢能賺錢”的不負責任的態(tài)度。

Hurst 指數(shù)的使用和錯用關(guān)鍵在于對能賺錢的“趨勢”的正確理解。對于什么是“趨勢”，很多種方法都能自圓其說，并無所謂誰對誰錯。如果我們想利用“趨勢”賺錢，那么能賺到錢的定義趨勢的方法就是好方法；如果我們是想通過嚴謹?shù)睦碚搧硌芯渴找媛实南嚓P(guān)性，那么一個符合收益率特性的數(shù)學(xué)模型就是好方法。Hurst 指數(shù)和 FBM 的提出顯然是為了后者。Hurst 指數(shù)刻畫的是去掉漂移率之后，收益率在頻域的自相關(guān)性，因此以它來判斷市場的價格趨勢（收益率中的漂移率項）是不合適的。這相當于我們用目標 a 的模型去搞目標 b，這是行不通的。

影響投資品價格的因素眾多。站在研究的角度，我們僅能做合理的簡化，并選出一些特征。當我們明確研究的目標后，便可以對這些特征數(shù)學(xué)建模以便更好的理解。但是，無論怎么建模，描述的都僅僅是很小的一部分特征，是我們研究中針對的那一部分的簡單抽象。如果認為這就是市場真理（并錯誤的解讀它），無異于刻舟求劍。

參考文獻

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