作者：石川

摘要：從“拉斯維加斯”到“華爾街”，凱利公式家喻戶曉。本文揭示凱利公式背后的核心邏輯。

1 引言

今天我們來聊聊大名鼎鼎的凱利公式（英文叫 Kelly Formula 或 Kelly Criterion，所以中文也譯作凱利準(zhǔn)則）。

凱利公式由 John R. Kelly, Jr. 于 1956 年提出（Kelly 1956）。它指出在一個(gè)期望收益為正的重復(fù)性賭局或者重復(fù)性投資中，每一期應(yīng)該下注的最優(yōu)比例。凱利公式在“拉斯維加斯”和“華爾街”久負(fù)盛名。很多數(shù)學(xué)天才將它在賭場和投資中發(fā)揚(yáng)光大，取得了非凡的成就。這其中最著名的大概就是 Dr. Edward Thorp，他開辟了戰(zhàn)勝 Blackjack（21 點(diǎn)）的策略，并使用凱利公式計(jì)算出來的比例進(jìn)行下注（Thorp 1962）；玩轉(zhuǎn)賭場后，Thorp 博士將它在統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論上的天賦用在投資中，他創(chuàng)建的 PNP 對(duì)沖基金曾在近 30 年內(nèi)取得了年化 20% 以上的收益率（Thorp 2017）。此外，學(xué)術(shù)界也對(duì)凱利公式的各種數(shù)學(xué)性質(zhì)以及實(shí)踐應(yīng)用進(jìn)行了大量的研究，這些成果匯總于 MacLean 等人編輯的論文集 MacLean et al. Eds (2010) 中。

凱利公式的計(jì)算非常簡單，但它背后所傳達(dá)的數(shù)學(xué)含義至關(guān)重要。本文從一個(gè)扔硬幣游戲出發(fā)介紹凱利公式以及它的性質(zhì)，之后會(huì)揭示凱利公式背后的實(shí)質(zhì)。最后文章介紹如何把凱利公式推廣到量化投資中確定投資的最優(yōu)杠桿比例。鑒于凱利公式的知名度，網(wǎng)上介紹它的文章自不在少數(shù)。本文是我和另一位合伙人高老板思想碰撞的產(chǎn)物，雖不求另辟蹊徑，但也希望能給小伙伴們理解凱利公式提供一些新的思路。

2 從扔硬幣到凱利公式

讓我們從扔硬幣說起。

假設(shè)在一個(gè)賭局游戲中，我們一直不斷的扔硬幣。每局中，硬幣出現(xiàn)正面的概率為 p > 0.5（出現(xiàn)反面的概率為 q = 1 – p < 0.5）且局與局之間扔硬幣的結(jié)果獨(dú)立。每局中我們下注一定的金額，如果出現(xiàn)正面我們贏錢（假設(shè)賠率為 1，即不算本金，我們贏的錢和下注的金額相等），反之我們虧錢。由于 p > 0.5，這個(gè)游戲長期的期望收益為正，因此玩下去對(duì)我們是有利的。在這個(gè)游戲中，我們需要做的決策是決定每局下注的金額。令 B_i 表示第 i 局的下注金額；T_i = 1 表示在第 i 局中我們獲勝、T_i = -1 表示在第 i 局中我們失敗。假設(shè)我們的初始資金是 X_0，則第 n 局之后的資金量 X_n 滿足：

假設(shè)我們的目標(biāo)是最大化 X_n 的期望 E[X_n]。由上面的關(guān)系時(shí)可知，E[X_n] 的表達(dá)式如下：

由于 p – q > 0，最大化 E[X_n] 相當(dāng)于在每一局都最大化當(dāng)期下注金額的期望 E[B_i]。這意味著，每一局中我們都應(yīng)該有多少押多少。舉例來說，在第一局中，我們應(yīng)該押注所有的初始資金，因此 B_1 = X_0；如果我們贏了則 X_1 = 2X_0，在第二局中下注 B_2 = X_1 = 2X_0，以此類推。這個(gè)游戲的期望收益雖然為正，但我們每局獲勝的概率 p 畢竟不等于 1，而是小于 1。也許我們能連贏幾次，但總有“運(yùn)氣用盡”的那一局。一旦在某一局中硬幣出現(xiàn)反面，由于押注了全部資金，我們將會(huì)輸?shù)羲小Ｓ捎?p < 1，隨著賭局?jǐn)?shù) n 的增加，“輸?shù)羧俊边@種結(jié)果一定會(huì)出現(xiàn)。所以，以最大化 E[X_n] 為目標(biāo)的下注策略（即每把都“滿倉干”）并不是最優(yōu)的。

下面讓我們看另一個(gè)策略 —— 固定比例投注（fixed fraction betting）。假設(shè)我們按照 B_i = f × X_{i-1}，0 < f < 1 的方式投注。每一局中，我們下注現(xiàn)有資金量的一個(gè)固定比例 f。用 S 和 F 分別表示在 n 局中獲勝和失敗的次數(shù)，S + F = n。n 局后的資金 X_n 為：

由于 0 < f < 1，那么我們永遠(yuǎn)不會(huì)輸光。但是，n 局之后的資金 X_n 顯然和 f 的取值有關(guān)。應(yīng)該如何決定最優(yōu)的 f 呢？因?yàn)槿佑矌庞须S機(jī)性，因此 S 和 F 的取值也是不確定的，那么這個(gè)最優(yōu)又是從什么意義上來說的呢？這就是凱利研究的問題。定義函數(shù) G_n(f) 如下：

這個(gè) (1/n)ln[X_n/X_0] 是什么呢？由 exp{n×(1/n)ln[X_n/X_0]} = X_n/X_0 可知，(1/n)ln[X_n/X_0] 就是單局資金的指數(shù)增長率（即單局的對(duì)數(shù)收益率）。在決定最優(yōu)的下注比例 f 時(shí)，凱利選擇最大化單局對(duì)數(shù)收益率的期望（下文會(huì)解釋為什么），記為 g(f)：

令 g(f) 的一階導(dǎo)數(shù)等于 0 可以求出最優(yōu)值 f* = p - q，此外不難驗(yàn)證在 (0,1) 區(qū)間上 g(f) 的二階導(dǎo)恒為負(fù)，因此 g(f) 在 f = f* 時(shí)有最大值。f* = p - q 就是最優(yōu)的下注比例，它就是凱利公式。在上面的例子中，我們假設(shè)每局的賠率等于 1。更一般的，如果用 b 表示每局賠率，則凱利公式的一般形式為：

如果我們一直將這個(gè)游戲玩下去，按 f* 比例下注將最大化對(duì)數(shù)收益率的期望。對(duì)于任何給定的局?jǐn)?shù) n（和初始資金 X_0），按此比例下注實(shí)際上就是在最大化 E[ln(X_n)]，即 n 局后資金量的對(duì)數(shù)的期望。按照凱利公式，我們?cè)诿烤窒伦r(shí)都在最大化 E[ln(X_n)]；而按照之前說的每局都全押，我們是在最大化 E[X_n]。由對(duì)數(shù)函數(shù)的特性可知，E[ln(X_n)] < E[X_n]，所以我們自然會(huì)問，為什么要最大化 E[ln(X_n)]？這么做如何就最優(yōu)了？按照 f* 比例而非其他比例下注有如下這兩點(diǎn)顛覆性的優(yōu)勢(shì)（在數(shù)學(xué)上都被證明了，我們只需要牢記就行了）：

上述兩點(diǎn)是按照凱利公式 f* 下注時(shí)，X_n 的重要性質(zhì)。尤其是第一條，用白話來說，它的意思是只要我們一直玩下去（n 足夠大），那么想贏得最多的錢（X_n 盡量大），那么就應(yīng)該按照 f* 下注。事實(shí)上，當(dāng) n 小的時(shí)候，X_n(f*) 很有可能小于 X_n(f) —— 即凱利公式策略的資金額比不過其他下注比例的資金額。但只要 n 足夠大，凱利公式一定會(huì)笑到最后，戰(zhàn)勝其他任何比例。下面我們就來解讀凱利公式背后的實(shí)質(zhì)。

3 理解凱利公式 —— 初探

從上一節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，凱利公式的推導(dǎo)中考慮的是當(dāng)局?jǐn)?shù) n 趨近于無窮時(shí)，資金量 X_n 逼近其極限情況的一些特性。X_n(f*) 一定超過其他 X_n(f) 也是以 n 足夠大為前提的。但是在現(xiàn)實(shí)中，足夠大是多大呢？畢竟無論是在賭場中還是在投資中，我們的局?jǐn)?shù)（投資期數(shù)）n 都是有限的。對(duì)于有限次數(shù)的賭局或者投資，無法保證按照凱利公式下注能產(chǎn)生最高的期末資金量 X_n；當(dāng) n 有限時(shí)，使用凱利公式最優(yōu)比例下注得到的 X_n 在多大概率上優(yōu)于其他下注比例？是否有比凱利公式更好的下注比例呢？

為了搞清楚這些問題，考慮下面這個(gè)實(shí)驗(yàn)。令 p = 0.6，q = 0.4，b = 1，初始資金為 1。由凱利公式易知 f* = 0.2。假設(shè)我們玩 20 局，即 n = 20。除了 f* 外，考慮另一個(gè)下注比例 f = 0.6。通過一百萬次蒙特卡羅仿真來比較這兩個(gè)策略。每次仿真中扔硬幣 20 局，并記錄 20 局后這兩個(gè)策略的資金額，最后對(duì)這一百萬次結(jié)果取均值。

結(jié)果顯示，按 0.6 比例下注的策略可以獲得比按照凱利公式下注更高的平均期末資金，即 E[X_n(f=0.6)] > E[X_n(f*=0.2)]。這其實(shí)不難理解，因?yàn)閯P利公式的目標(biāo)是最大化 E[ln(X_20)]，而不是為了最大化 E[X_20]。每次全押（即 f = 1）的策略最大化 E[X_20]，任何大于 f* 的下注比例的期末期望 E[X_20(f)] 都會(huì)大于凱利公式的 E[X_20(f*)]。然而有意思的是，在這一百萬次實(shí)驗(yàn)中，按照 0.6 比例下注的策略最終的 X_20(f) 取值僅僅在 12.6% 的情況中戰(zhàn)勝了按照凱利公式下注得到的 X_20(f*)。在現(xiàn)實(shí)中顯然無法將這 20 局的賭局進(jìn)行一百萬次，我們只能進(jìn)行一次。雖然按照 0.6 下注的期望更高，但就只進(jìn)行一次 20 盤的賭局最終能得到的資金 X_20 來看，使用凱利公式下注戰(zhàn)勝使用 0.6 的比例下注的概率高達(dá) 87.4%。

這是為什么呢？

下圖顯示了當(dāng) f 取 0.1，0.2，…，0.9 時(shí)，X_20(f) 的概率質(zhì)量函數(shù)（probability mass function）。扔硬幣 20 局，出現(xiàn)正面的次數(shù)取值是 0 到 20 這 21 個(gè)數(shù)，因此對(duì)于每一個(gè) f，X_20(f) 的取值只有 21 個(gè)。圖中橫坐標(biāo)是 X_20(f) 的可能取值，縱坐標(biāo)是取值對(duì)應(yīng)的概率。隨著 f 的增大，X_20(f) 的取值范圍隨指數(shù)增長，X_20(f) 的最大、最小值都按指數(shù)的速度在橫坐標(biāo)的左右兩端延伸。由于 X_20(f) 無論如何也不會(huì)低于 0，所以它能變小的范圍有限，而它可能變大的范圍則要大得多（比如 f = 0.2 時(shí)，X_20 的最大值為 38.34；而當(dāng) f = 0.6 時(shí)，X_20 的最大值為 12089.26）。因此，X_20(f) 的分布是非常右偏的。這種病態(tài)的右偏造成了 E[X_20(f=0.6)] > E[X_20(f*=0.2)]。由于嚴(yán)重的右偏，E[X_n] 在橫坐標(biāo)上的位置非?？坑?，但是在現(xiàn)實(shí)中根本無法實(shí)現(xiàn)。因此以最大化 E[X_n] 為目標(biāo)的下注一定不是最優(yōu)的。

隨著 f 的增大，X_20(f) 分布的右偏越來越嚴(yán)重，其越來越多的取值被壓縮在整體分布的左側(cè)，因此 X_20(f) 大于任何給定常數(shù) C 的概率 —— prob(X_n(f) > C) 隨 f 的增大而快速下降。舉例來說，當(dāng) f = 0.2 時(shí)，X_20 > 1 的概率為 0.416；而當(dāng) f = 0.6 時(shí)，X_20 > 1 的概率驟減到 0.126。這暗示著在 20 局結(jié)束后，X_20(f*=0.2) 比 X_20(f=0.6) 更高的概率很大。即便是對(duì)于有限局?jǐn)?shù)（本例中的 20），凱利公式計(jì)算出的下注比例仍然是非凡的。

我們將上面的結(jié)論推廣到更一般的情況。對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界中任意給定的 p、q 以及賠率 b（下面假設(shè) b = 1），我們都能利用凱利公式算出 f*，那么最少需要玩多少局我們就能拍著胸脯說使用 f* 下注一定比其他任何別的 f 所獲得的收益更高呢？下面這個(gè)熱圖為 f* 以 90% 的概率（足夠拍著胸脯說了）戰(zhàn)勝其他f所需要的最小局?jǐn)?shù)。其中每一行左邊的數(shù)值為出現(xiàn)正面概率 p 的取值，每一列最下方的數(shù)字代表下注比例 f。每個(gè) p 對(duì)應(yīng)的 f* 也相應(yīng)的標(biāo)注在圖中。舉個(gè)例子，如果我們看 p = 0.6 那一行，f* 的格子所在列為 f = 0.2，說明 f* = 0.2。該行的其他列中的數(shù)字說明了 X_n(f*) 以 90% 的概率打敗 X_n(f) 所需要的最小的局?jǐn)?shù) n。比如當(dāng) f = 0.6 時(shí)，對(duì)應(yīng)的格子里的數(shù)字是 28，說明僅僅需要 n = 28 局，X_n(f*=0.2) 就能以 90% 的概率戰(zhàn)勝 X_n(f=0.6)。

當(dāng) f 接近 f* 的時(shí)候，f* 打敗 f 所需要的最小局?jǐn)?shù)要高一些。但在現(xiàn)實(shí)中，如果 f* = 0.2，那么我們刻意去拿它和 f = 0.24 或者 f = 0.16 這些很接近它的比例去比也沒什么意義。f 越接近 f*，X_n(f) 也就越接近 X_n(f*)，所以我們會(huì)用一個(gè)和 f* 顯著不同的 f 來對(duì)比。從上面的熱圖可以看到，對(duì)于任意給定的 p，當(dāng) f 和 f* 顯著不同時(shí)，X_n(f*) 僅僅需要很少的局?jǐn)?shù)（一般不超過 50）就可以以 90% 的概率戰(zhàn)勝 X_n(f)了。50 是一個(gè)什么概念？如果我們?cè)谫€場待幾天，重復(fù)的玩一個(gè)賭局 50 次恐怕很容易。如果我們做投資，以周頻為單位的話，50 次只不過是短短一年，以月頻為單位的話，50 次也不過區(qū)區(qū) 4 年出頭。所以，50 次以內(nèi)在現(xiàn)實(shí)生活中是非常容易達(dá)到的次數(shù)。因此，對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的 n 有限的情況，凱利公式也能在很大的概率上保證是最優(yōu)的。

第二節(jié)直接給出了結(jié)論說明當(dāng) n 足夠大的時(shí)候，X_n(f*) 一定是最高的；本節(jié)通過實(shí)證說明即便在 n 有限的情況下，X_n(f*) 也大概率是最高的。那么，到底是什么保證了凱利公式的 f* 如此非凡呢？下一節(jié)就來給出答案。

4 理解凱利公式 —— 本質(zhì)

上一節(jié)的介紹讓我們對(duì)凱利公式已經(jīng)有一定的理解。本節(jié)就來揭示凱利公式背后的實(shí)質(zhì)。

前文說到，以最大化 E[X_n] 為目標(biāo)制定下注比例根本不靠譜。那么來看看靠譜的目標(biāo)。第二節(jié)指出，凱利最大化的是單期對(duì)數(shù)收益率的期望，對(duì)于任何給定的 n，這等價(jià)于最大化?E[ln(X_n)]，即 X_n 的對(duì)數(shù)的期望。在上一節(jié)中，我們給出了 n = 20 時(shí)，X_n 的概率質(zhì)量函數(shù)，并指出隨著f的增大它呈現(xiàn)出越來越顯著的病態(tài)右偏。但是，如果將上一節(jié)中 X_n 的概率質(zhì)量函數(shù)的橫坐標(biāo)變成以 e 為底的對(duì)數(shù)坐標(biāo)，那么它們就變成了下面這個(gè)樣子。由于進(jìn)行了坐標(biāo)變換，下面這個(gè)其實(shí)就是 ln(X_n) 的概率質(zhì)量函數(shù)。

怎么樣？ln(X_n)，n = 20 的概率分布不再右偏，而是呈現(xiàn)出幾乎左右對(duì)稱的鐘形（bell-shaped）形狀（當(dāng)然 ln(X_n) 的取值還是隨著 f 的增大越來越寬）。這個(gè)鐘形不太平滑是因?yàn)?n 的取值比較小。假如 n = 200，那么不同比例 f 下 ln(X_n) 的分布如下圖所示，分布更加平滑，鐘形左右更加對(duì)稱。

你一定已經(jīng)猜到了我為什么多次提到“鐘形”。因?yàn)檎龖B(tài)分布的形狀就是“鐘形”的。隨著 n 的增大，ln(X_n) 的分布越來越接近正態(tài)分布！此外，上面了兩張圖說明隨著 f 的增大，ln(X_n) 的眾數(shù)（即 ln(X_n) 的所有取值里面概率最高的那一個(gè)，就是圖中概率質(zhì)量函數(shù)的那個(gè)"尖兒"對(duì)應(yīng)的 ln(X_n) 的取值）先變大、后變小，在 f = f* 時(shí)達(dá)到峰值。對(duì)于正態(tài)分布來說，它的眾數(shù)就是它的期望。因此，分布上這個(gè)“尖兒”對(duì)應(yīng)的 ln(X_n) 的取值向右移動(dòng)的過程就是 E[ln(X_n)] 向右移動(dòng)的過程。這意味著 E[ln(X_n)] 在 f = f* 時(shí)最大，而這正是凱利求解 f* 時(shí)的初衷。對(duì)于初始資金 X_0（假設(shè)等于 1），ln(X_n) = ln(X_n/X_0) 就是整個(gè) n 局的對(duì)數(shù)收益率。對(duì)數(shù)收益率的最大好處是它的可加性，把單期的對(duì)數(shù)收益率相加就得到整體的對(duì)數(shù)收益率。

由于不同期之間是相互獨(dú)立的，n 期對(duì)數(shù)收益率相加相當(dāng)于 n 個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量相加。由中心極限定理（Central limit theorem）可知，它們的和 ln(X_n) 逼近正態(tài)分布，這解釋了為什么上面 ln(X_n) 的概率分布呈現(xiàn)出“鐘形”。由于 ln(X_n) 是整個(gè) n 期的對(duì)數(shù)收益，因此 (1/n) × ln(X_n) 就是每期對(duì)數(shù)收益率的均值。由大數(shù)定律（Law of Large Numbers）可知，(1/n) × ln(X_n)? 隨著 n 的增大一定會(huì)收斂于它的期望，即 E[(1/n) × ln(X_n)]；對(duì)于給定的 n，n 期的總收益會(huì)收斂于 E[ln(X_n)]。

我們玩一個(gè)賭局或者投資，最終是想讓 X_n 越大越好，但我們不知道 X_n 最終會(huì)變成什么樣，或者會(huì)收斂到什么值。但上面的分析說明只要 n 足夠大，大數(shù)定律保證了 X_n 的對(duì)數(shù)，即?ln(X_n)，一定會(huì)非常接近它的期望 E[ln(X_n)]，那么我們自然就想找到一個(gè)下注比例使得 E[ln(X_n)] 盡可能的大。而凱利公式的 f* 恰恰就是使 E[ln(X_n)] 最大的下注比例。這就是凱利公式為什么 NB 的原因。由于中心極限定理和大數(shù)定律的特性，我們并不要求單期的收益率滿足特定的分布。因此即便本文中使用扔硬幣這個(gè)例子 —— 它的單期收益率是個(gè)伯努利分布 —— 凱利公式的思想，即最大化單期對(duì)數(shù)收益率，可以應(yīng)用到任何不同的分布中。

最后想提一句的是，凱利當(dāng)初選擇使用對(duì)數(shù)收益率是受了伯努利對(duì)數(shù)效用函數(shù)的啟發(fā)。伯努利于 1738 年發(fā)表了一篇關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)下做決策的重要論文（原作不是英文版，后來為了推廣，于 1954 年被一個(gè)大牛教授翻譯成英文出版，見 Bernoulli 1954）。在那篇文章中，伯努利提出了對(duì)數(shù)效用函數(shù)以及著名的圣彼得堡悖論（St. Petersburg paradox）。

ln(X_n) 隨 X_n 的變化如上圖所示。由于對(duì)數(shù)函數(shù)的特性，它說明當(dāng) X_n > 1 時(shí)（即我們?cè)谄谀┶A錢了），我們掙得越多，感受到的邊際喜悅越低；當(dāng) X_n < 1 時(shí)（即我們?cè)谄谀┨濆X了），我們虧的越多，感受到的邊際痛苦越高，這十分符合人在投資時(shí)的主觀感受。所以，從最終收益 X_n 的效用的角度來說，最大化期望效用 E[ln(X_n)] 也是對(duì)凱利的初衷的一種解釋。當(dāng)然，對(duì)數(shù)收益率可以相加，這樣單期的收益率能和總體的收益率聯(lián)系起來。因此從業(yè)務(wù)實(shí)際出發(fā)，選擇對(duì)數(shù)收益率作為優(yōu)化目標(biāo)實(shí)屬必然。

5 凱利公式與量化投資

最后就來看看如何將凱利公式應(yīng)用于量化投資中確定投資品的最佳杠桿比例（倉位）。

首先來看一種“生搬硬套”的方法。對(duì)于很多策略（特別是技術(shù)分析策略），一般都有勝率和盈虧比的概念。這里勝率就是每次交易賺錢的概率，即 p；盈虧比就相當(dāng)于賠率 b，即每單位虧損對(duì)應(yīng)的收益。所以，我們可以使用凱利公式計(jì)算每次交易的倉位 f* = (b × p – q) / b。當(dāng)然，考慮到投資者對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的訴求，還可以在這個(gè)倉位控制上加一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)，從而進(jìn)一步降低倉位。但這種方法并不是很好。這里的賠率的計(jì)算方法是所有盈利交易的平均收益除以所有虧損交易的平均虧損。由于每個(gè)交易的開倉、平倉時(shí)間并不固定，因此每次交易的持續(xù)時(shí)間都是不同的。這種方法在計(jì)算收益率時(shí)完全不考慮交易時(shí)間這個(gè)因素。比如兩次贏錢的交易，一次開倉時(shí)間為 2 天，收益 1%；而另一次開倉時(shí)間為 3 小時(shí)，收益為 1%。它們的平均收益為 1%，但是顯然這兩次交易的風(fēng)險(xiǎn)特性完全不同。所以，這個(gè)不考慮交易時(shí)間的賠率計(jì)算方式是有問題的，以此計(jì)算的 f* 并不合理。

下面就來看看更合理的應(yīng)用凱利公式的方法。我們并不是生搬硬套第二節(jié)中的那個(gè) f* 公式，而是利用凱利公式的思想，即最大化單期對(duì)數(shù)收益率。由于收益率都是相對(duì)一個(gè)給定的頻率而言的（如日收益率、周收益率等），因此這種方法更加合理。假設(shè)一個(gè)投資品的單期的百分比收益率（即期末價(jià)格 / 期初價(jià)格 - 1）滿足均值為 μ、標(biāo)準(zhǔn)差為 σ 的正態(tài)分布。可以證明，在這個(gè)假設(shè)下，該投資品的單期對(duì)數(shù)收益率的期望為 μ - 0.5σ^2。我們來看看最大化該對(duì)數(shù)收益率的杠桿率 L 是多少。當(dāng)我們使用 L 倍的杠桿時(shí)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別變?yōu)?μL 和 σL，因此對(duì)數(shù)收益率變?yōu)?μL - 0.5(σL)^2。以 L 為自變量來最大化 μL - 0.5(σL)^2。對(duì)其求一階導(dǎo)數(shù)并使它為 0，并檢查其二階導(dǎo)數(shù)有：

由一階導(dǎo)數(shù)等于 0 可得最優(yōu)的杠桿率為 L* = μ / σ^2，由于二階導(dǎo)數(shù)恒小于 0，因此對(duì)數(shù)收益率在 L = L* 有最大值。因此，凱利公式確定的最優(yōu)杠桿率就是：

在實(shí)際使用中，μ 和 σ 難以估計(jì)，此外不同期之間的收益率也很難保證絕對(duì)獨(dú)立，因此業(yè)界普遍的觀點(diǎn)是凱利公式的理論杠桿率風(fēng)險(xiǎn)較高。為此，普遍的做法是把 L* 看作是杠桿率的上限，而使用 L*/2 的杠桿率，這稱之為“half-Kelly”。投資者可根據(jù)自己愿意承擔(dān)的最大風(fēng)險(xiǎn)來決定是否進(jìn)一步降低杠桿率。

最后想說明的是，無論如何應(yīng)用凱利公式，重復(fù)性投資畢竟不是玩一個(gè)有固定且獨(dú)立收益特征的賭局。投資的收益參數(shù)隨時(shí)間不停的變化，這就給我們?cè)谕顿Y中應(yīng)用凱利公式帶來了更多的障礙。有人說凱利公式的核心是控制風(fēng)險(xiǎn)，我比較認(rèn)同這句話。畢竟，控制好風(fēng)險(xiǎn)才能在市場中活得長，活得長才有可能獲得更高的收益。

參考文獻(xiàn)

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Thorp, E. O. (2017). A Man for all Markets: from Las Vegas to Wall Street, How I beat the Dealer and the Market. Random House, New York.

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