作者：石川

摘要：本文解釋了異象、因子以及多因子模型的區(qū)別和聯(lián)系；梳理了從異象到因子再到模型背后的邏輯；介紹了學(xué)術(shù)界研究多因子模型的主流統(tǒng)計(jì)手段。

1 引言

在 empirical asset pricing 和 factor investing 中，anomalies（異象）、factors（因子）以及 multi-factor models（多因子模型）是三個(gè)常見(jiàn)的概念。從這些概念出發(fā)又能很自然的引發(fā)出一系列問(wèn)題：

在過(guò)去幾十年里，海外學(xué)術(shù)界對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行了大量的探索，留下了很多寶貴的實(shí)證結(jié)果和分析手段。而對(duì)于像你、我一樣進(jìn)行因子投資的投資者來(lái)說(shuō)，搞清楚這些問(wèn)題對(duì)于構(gòu)建系統(tǒng)和全面的因子投資分析體系至關(guān)重要。本文試圖回答上述五個(gè)問(wèn)題。

2 Anomalies

多因子模型是 empirical asset pricing 的一種常見(jiàn)方法；其研究的核心問(wèn)題是找到一組能夠解釋股票預(yù)期收益率截面差異的因子（見(jiàn)《股票多因子模型的回歸檢驗(yàn)》）。假使我們根據(jù)基本面特征或量?jī)r(jià)指標(biāo)（或 whatever，下面統(tǒng)稱為特征）挑選出一攬子股票并構(gòu)建多空投資組合；如果該組合的收益率無(wú)法被用于 asset pricing 的多因子模型解釋，則稱該特征為一個(gè)異象（anomaly）。在數(shù)學(xué)上，這意味著該組合有模型無(wú)法解釋的 α 收益率：以使用該特征構(gòu)建的多空組合收益率為被解釋變量放在回歸方程的左側(cè)，以多因子模型中因子收益率為解釋變量放在回歸方程的右邊，進(jìn)行時(shí)序回歸，回歸的截距項(xiàng)就是 α 收益率；如果 α 顯著不為零，則說(shuō)明該特征是一個(gè)異象。

舉個(gè)例子。《獲取 α 的新思路：科技關(guān)聯(lián)度》一文介紹了 Lee et al. (2018) 這篇文章；使用科技關(guān)聯(lián)度選股的多空對(duì)沖投資組合獲得了主流多因子模型無(wú)法解釋的 α 收益率（下圖），因此它是一個(gè)異象。

從有效市場(chǎng)假說(shuō)的觀點(diǎn)出發(fā)，市場(chǎng)中不應(yīng)該存在很多異象。當(dāng)然，有效市場(chǎng)假說(shuō)并不完美，再加上學(xué)術(shù)界幾十年來(lái)的“不懈努力”，針對(duì)美股挖掘出了 400+ 個(gè)異象，這些異象在樣本內(nèi)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中都獲得了很高的 t-statistics。產(chǎn)生如此多的異象主要有兩個(gè)原因：

談及對(duì)異象的研究，不能不提的一篇文章是 Hou, Xue and Zhang (2017)。這篇長(zhǎng)達(dá) 146 頁(yè)的文章驚人的復(fù)現(xiàn)了學(xué)術(shù)界提出的 447 個(gè)異象，涵蓋動(dòng)量（57個(gè)）、價(jià)值/成長(zhǎng)（68個(gè)）、投資（38個(gè)）、盈利（79個(gè)）、無(wú)形資產(chǎn)（103個(gè)）、以及交易摩擦（102個(gè)）六大類。下圖節(jié)選了少量動(dòng)量類異象說(shuō)明，感受一下。

對(duì)于這 447 個(gè)異象，當(dāng)排除了微小市值股票的影響后，其中 286 個(gè)（64%）不再顯著（在 5% 的顯著性水平下，下同）；如果按照 Harvey, Liu and Zhu (2016) 的建議把 t-statistic 閾值提升到 3.0，則其中 380 個(gè)（85%）異象不再顯著；最后，如果使用 Hou, Xue and Zhang (2015) 提出的 4 因子模型作為定價(jià)模型，那么其中 436 個(gè)（98%）異象不再顯著，剩余存活的僅有 11 個(gè)。好一個(gè)數(shù)據(jù)挖掘！

除此之外，Linnainmaa and Roberts (2018) 花費(fèi)了很大的經(jīng)歷構(gòu)建了全新的樣本外數(shù)據(jù)，研究了美股中源于會(huì)計(jì)數(shù)據(jù)的 36 個(gè)異象在樣本內(nèi)、外的表現(xiàn)的差異。分析表明，絕大部分異象在樣本外明顯失效，它們的失效說(shuō)明這些異象并非來(lái)自未知風(fēng)險(xiǎn)以及錯(cuò)誤定價(jià)這兩種解釋，而更有可能僅僅是數(shù)據(jù)挖掘的產(chǎn)物。

3 Factors

上一節(jié)介紹了異象，本節(jié)就來(lái)看看什么是因子（factors）。一個(gè)異象是可能成為一個(gè)優(yōu)秀因子的；然而由于異象之間的相關(guān)性，并不是所有異象都是因子。一個(gè)因子應(yīng)該能夠?qū)忉屬Y產(chǎn)（可以是個(gè)股也可以是個(gè)股組成的投資組合）預(yù)期收益率的截面差異有顯著的增量貢獻(xiàn)。如果異象滿足上述條件，它就可以被稱之為一個(gè)因子。在這個(gè)定義中，有兩個(gè)關(guān)鍵詞值得解讀，它們是“解釋”和“增量貢獻(xiàn)”：

舉個(gè)例子。我們知道價(jià)值因子是一個(gè)靠譜的選股因子。然而，很多指標(biāo) —— 比如 E/P 或 B/P 都可以用來(lái)構(gòu)建價(jià)值因子的 High-Minus-Low 組合。如果同時(shí)基于 E/P 和 B/P 構(gòu)建了 HML_EP 和 HML_BP 兩個(gè)因子，它們之間的相關(guān)性注定是非常高的。一旦選擇了其中之一作為價(jià)值因子，另一個(gè)對(duì)于資產(chǎn)預(yù)期收益率截面差異解釋能力的增量貢獻(xiàn)就不再顯著、無(wú)法成為因子。從資產(chǎn)定價(jià)的理論角度來(lái)說(shuō)，多因子模型中的因子之間應(yīng)盡可能獨(dú)立；但是從投資實(shí)踐來(lái)說(shuō)，上面例子中的 E/P 和 B/P 可以被同時(shí)使用構(gòu)建一個(gè) HML 價(jià)值因子，這有助于降低波動(dòng)且增加因子的魯棒性。

在從一攬子異象中篩選因子時(shí)，常見(jiàn)的做法是將它們同時(shí)作為回歸分析中的解釋變量，采用 Fama-MacBeth Regression（Fama and MacBeth 1973）來(lái)分析這些異象的收益率是否顯著。在這方面，Green, Hand and Zhang (2017) 是一個(gè)很好的例子。Green, Hand and Zhang (2017) 使用 Fama-MacBeth Regression 同時(shí)檢驗(yàn) 94 個(gè)異象，并考慮了 multiple testing 對(duì) t-statistic 以及 p-value 造成的影響，最終發(fā)現(xiàn)僅有 12 個(gè)異象可能成為潛在的因子：1. 賬面市值比；2. 現(xiàn)金；3. 分析師數(shù)量的變化；4. 盈余公告宣告收益；5. 一個(gè)月的動(dòng)量；6. 六個(gè)月動(dòng)量的變化；7. 盈利同比增長(zhǎng)的季度數(shù)量；8. 年度研發(fā)支出占市值的比重；9. 收益波動(dòng)性；10. 股票換手率；11. 股票換手率的波動(dòng)性；12. 零交易的天數(shù)。上述結(jié)果告訴我們：在修正 multiple testing 的數(shù)據(jù)挖掘、以及考察了不同異象的相關(guān)性之后，真正能夠解釋資產(chǎn)預(yù)期收益率截面差異的獨(dú)立因子少之又少。

4 Multi-Factor Models

現(xiàn)在我們已經(jīng)了解了異象，并通過(guò)回歸分析從異象中找出了因子，接下來(lái)就是挑選因子構(gòu)建多因子模型了。在構(gòu)建多因子模型時(shí)，兩個(gè)必須要回答的問(wèn)題是：（1）選擇多少個(gè)因子合適？（2）選擇哪些因子更好？學(xué)術(shù)界對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題的共識(shí)為主流因子模型奠定了基調(diào)；而第二個(gè)問(wèn)題則涉及不同多因子模型之間的比較。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我們總可以僅使用一個(gè)因子，比如 CAPM 模型僅使用了市場(chǎng)因子；又或者我們可以使用許多因子。一個(gè)極端的情況是把每個(gè)上市公司作為一個(gè)因子，每個(gè)公司的股票只在自己公司的因子上有暴露，在代表其他公司的因子上零暴露。這樣的模型顯然能完美解釋股票預(yù)期收益率的截面差異，但在現(xiàn)實(shí)中沒(méi)人會(huì)那么用。以樣本內(nèi)過(guò)擬合為代價(jià)，更多的因子總能更好的解釋收益率的截面差異。

在學(xué)術(shù)界，“幾個(gè)因子合適”這個(gè)問(wèn)題所遵循的準(zhǔn)則是 The Law of Parsimony（簡(jiǎn)約法則），它還有一個(gè)更為人熟知的名字 —— Occam’s razor（奧卡姆剃刀）。如果從 ICAPM（Intertemporal CAPM）的角度來(lái)理解多因子模型，每個(gè)因子代表某種 state variable；而 state variable 是投資者想要對(duì)沖的某種風(fēng)險(xiǎn)。從這個(gè)意義上說(shuō)，因子的個(gè)數(shù)應(yīng)該是有限的。依據(jù)簡(jiǎn)約法則，學(xué)術(shù)界主流的多因子模型包括以下幾個(gè)（按時(shí)間順序、排名不分先后，不完整 list），它們的因子個(gè)數(shù)均在 3 到 5 個(gè)之間：

如何比較不同的多因子模型呢？學(xué)術(shù)界主要有以下三種方法：

GRS tests（Gibbons, Ross and Shanken 1989）檢驗(yàn) n 個(gè)資產(chǎn)在給定因子模型下的定價(jià)錯(cuò)誤（pricing error）—— 即 α —— 是否在統(tǒng)計(jì)上聯(lián)合為零（jointly equal to zero）。在比較兩個(gè)多因子模型時(shí)，使用兩個(gè)模型的因子互為資產(chǎn)和定價(jià)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。舉個(gè)例子。《中國(guó)版的 Fama-French 三因子模型，了解一下？》一文中比較了兩個(gè)不同版本的價(jià)值和市值因子的效果。結(jié)果（下表）顯示，當(dāng)使用 SMB 和 VMG 為因子模型時(shí)，F(xiàn)FSMB 和 FFHML 的定價(jià)錯(cuò)誤可以認(rèn)為是零（p-value = 0.41）；反過(guò)來(lái)，當(dāng)使用 FFSMB 和 FFHML 為定價(jià)模型時(shí)，SMB 和 VMG 依然存在顯著不為零的定價(jià)錯(cuò)誤（p-value 是 10 的 -13 次方這個(gè)量級(jí)）。這意味著 SMB 和 VMG 優(yōu)于 FFSMB 和 FFHML。

Mean-Variance Spanning tests 考察 n 個(gè)已知資產(chǎn)構(gòu)建的 mean-variance 有效前沿能否包含某個(gè)新資產(chǎn)（Huberman and Kandel 1987）。在比較兩個(gè)多因子模型時(shí)，使用每個(gè)模型的因子構(gòu)建有效前沿，并逐一檢驗(yàn)其能否包含另一個(gè)模型中的因子。舉個(gè)例子。《美股上一個(gè)跨越時(shí)間尺度的趨勢(shì)因子》介紹了一個(gè)新的趨勢(shì)因子?？紤]新的趨勢(shì)因子和三個(gè)已有因子（SREV、MOM 以及 LREV）的回歸模型如下：

該檢驗(yàn)的 null hypothesis 是：

檢驗(yàn)結(jié)果顯著的拒絕原假設(shè)，說(shuō)明已有三因子無(wú)法解釋新的趨勢(shì)因子。最后來(lái)看看 Bayesian approach。假設(shè)比較兩個(gè)多因子模型 M_1 和 M_2；相關(guān)數(shù)據(jù)集用 D 表示。令 prob(M_1) 和 prob(M_2) 為這兩個(gè)模型的先驗(yàn)概率，且有 prob(M_1) + prob(M_2) = 1（這里假設(shè)把多個(gè)模型兩兩比較）。根據(jù)貝葉斯定理有：

其中：

上式中，prob(θ_i) 是模型 i 參數(shù)的先驗(yàn)分布，prob(D|θ_i) 是模型 i 的似然函數(shù)。上述貝葉斯方法的核心在于確定 prob(θ_i)。根據(jù) Pastor and Stambaugh (2000) 以及 Barillas and Shanken (2018) 的理論，它和以兩個(gè)模型中的全部因子作為資產(chǎn)所構(gòu)成的投資組合的預(yù)期最大夏普率的平方與市場(chǎng)夏普率的比值有關(guān)。使用貝葉斯方法，Stambaugh and Yuan (2016) 比較了他們的四因子模型（記為 M-4）和 Fama-French 五因子模型（記為 FF-5）以及 Hou-Xue-Zhang 四因子模型（記為 q-4）。下圖中，左圖是 M-4 和 FF-5 模型的比較；右圖是 M-4 和 q-4 模型的比較。圖中，橫坐標(biāo)均為先驗(yàn)，即兩模型中全部因子能達(dá)到的最大預(yù)期夏普率平方和市場(chǎng)夏普率的比值；縱坐標(biāo)為不同模型的后驗(yàn)概率。

結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)先驗(yàn)這個(gè)比值分別大于 1.05 和 1.2 的時(shí)候，M-4 因子模型就分別強(qiáng)于 FF-5 和 q-4 模型。顯然，使用多個(gè)因子得到的最大夏普率很容易是市場(chǎng)夏普率的 1.05 或 1.2 倍，意味著數(shù)據(jù)更加傾向于支持 M-4 模型。需要特別強(qiáng)調(diào)的是，無(wú)論采用哪種方法，比較多因子模型的目的是為了得到新的啟發(fā)，而非一定要排個(gè)一二三四。這些因子模型之間孰優(yōu)孰劣并無(wú)定論，它們的提出豐富了我們對(duì)于 empirical asset pricing 的理解并指導(dǎo)著因子投資。

5 模型復(fù)雜度討論

在結(jié)束本文之前，再來(lái)簡(jiǎn)單討論下構(gòu)建因子模型時(shí)遵循的 The Law of Parsimony。在美國(guó)金融協(xié)會(huì) 2018 年的年會(huì)上，Daniel, Hirshleifer and Sun (2018) 報(bào)告了他們的復(fù)合因子模型，并對(duì)模型復(fù)雜度和模型的解釋效果做了探討，頗有新意。具體的，他們提出了兩個(gè) Parsimony Index，通過(guò)懲罰因子和用于構(gòu)建因子的指標(biāo)個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算模型復(fù)雜度。

按照上述定義，本文第四節(jié)介紹的主流因子模型的兩個(gè) Parsimony Index 取值分別為：

使用上述 7 個(gè)因子模型來(lái)檢驗(yàn) 34 個(gè)異象，根據(jù) 5% 顯著性水平下顯著的異象的個(gè)數(shù)以及所有異象的平均 α 收益率的絕對(duì)值分別作為模型解釋力度，最后將模型解釋力度和這兩個(gè) Parsimony Index 分別做回歸以觀察解釋度和模型復(fù)雜度之間的關(guān)系。結(jié)果如下。以 5% 顯著性水平的異象個(gè)數(shù)作為解釋力度：

以全部異象平均 |α| 為解釋力度：

隨著模型復(fù)雜度的提升（表現(xiàn)為 Parsimony Index 的取值更?。?，模型的解釋力度上升（體現(xiàn)為 5% 顯著性下的異象變少和異象平均 |α| 降低）。這個(gè)結(jié)論符合預(yù)期，它也再次強(qiáng)調(diào)了不同因子模型之間的好壞并無(wú)定論 —— 我們總能通過(guò)增加模型復(fù)雜度來(lái)提升模型（樣本內(nèi)）的解釋效果，因此需要在模型復(fù)雜度和樣本內(nèi)的解釋力度之間取舍。在 The Law of Parsimony 的指導(dǎo)思想下，一個(gè)優(yōu)秀的因子模型通常有較少的因子或者基本面或量?jī)r(jià)特征；而作為使用者，我們應(yīng)該盡量搞清楚每一個(gè)因子背后代表的風(fēng)險(xiǎn)。

6 結(jié)語(yǔ)

這篇文章沒(méi)有告訴你哪個(gè)異象能賺取 α。這篇文章沒(méi)有告訴你哪個(gè)因子能賺取高性價(jià)比的 β。這篇文章也沒(méi)有告訴你哪家的多因子模型更勝一籌。

OK, enough for “自我否定”。既然如此，為什么要寫(xiě)這篇文章呢？如今，學(xué)術(shù)論文和賣方報(bào)告中開(kāi)發(fā)出新“因子”的速度已遠(yuǎn)超我能理解、消化的速度。以學(xué)術(shù)界的 447 個(gè)異象為例，如果每周寫(xiě)一篇介紹一個(gè)，要寫(xiě) 9 年。異象被當(dāng)作“因子”來(lái)使用，但它背后往往沒(méi)有合理的金融學(xué)解釋（即無(wú)法代表合理的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)），或者沒(méi)有用已有因子對(duì)其分析從而評(píng)判它對(duì)解釋股票預(yù)期收益率截面差異的增量貢獻(xiàn)，僅僅是數(shù)據(jù)挖掘的產(chǎn)物。它們中大多數(shù)根本不是因子，甚至連異象都談不上。出于這個(gè)原因，我希望能介紹一些方法，幫助因子投資的踐行者去偽存真。這就是寫(xiě)作本文的初衷。

這篇文章回答了開(kāi)篇提出的五個(gè)問(wèn)題；解釋了異象、因子以及多因子模型的區(qū)別和聯(lián)系；梳理了從異象到因子再到模型，一步步使用多因子模型背后的邏輯；介紹了學(xué)術(shù)界在研究多因子時(shí)使用的主流統(tǒng)計(jì)手段。希望它能夠作為一個(gè)完善的工具箱，為你的多因子研究和投資添一分助力。

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