作者：石川

本文以 CNE5 模型為例，解釋 Barra 的純因子模型。純因子模型在風(fēng)險(xiǎn)歸因、因子評(píng)價(jià)等方面具備優(yōu)勢(shì)。

1 引言

在（風(fēng)險(xiǎn)）多因子模型中，因子暴露（factor exposure）和因子收益率（factor return）是兩個(gè)核心的概念。不清楚它們的定義將影響對(duì)多因子模型的理解。所謂因子，就是一個(gè)可以描述股票某方面特征的因素，比如行業(yè)因子描述了股票是否屬于這個(gè)行業(yè)，P/E 因子描述股票 Price-to-Earnings ratio。因子暴露就是股票在因子所代表的特征上的取值，比如一個(gè)股票的 P/E 為 15.9，那么它對(duì) P/E 因子的因子暴露就是 15.9（實(shí)際使用中，需要將這個(gè)數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)化）。對(duì)于一個(gè)給定的因子，按照某種權(quán)重組合所有股票便形成了一個(gè)基于該因子構(gòu)建的投資組合，該投資組合的收益率就被定義為這個(gè)因子的收益率。

對(duì)于給定的因子，如何構(gòu)建因子投資組合呢？常見的做法是，將所有個(gè)股在該因子上的因子暴露在截面上標(biāo)準(zhǔn)化；之后所有股票會(huì)按照因子的業(yè)務(wù)邏輯、根據(jù)因子暴露的數(shù)值從好到壞排列；最后，假設(shè)做多前 10% 或者 20% 的股票，做空后 10% 或者 20% 的股票，以此來(lái)構(gòu)建一個(gè)零額投資的投資組合，它就是該因子的投資組合。這個(gè)做法在業(yè)界非常流行，但它也存在兩個(gè)缺陷：

第一個(gè)問(wèn)題造成在時(shí)間序列上評(píng)價(jià)一個(gè)因子的作用時(shí)，每期的投資組合對(duì)該因子的暴露程度都不一樣。舉個(gè)例子，假如相鄰兩個(gè)月中，某因子的投資組合對(duì)該因子的暴露為 1 和 2，而相應(yīng)的因子收益率為 1% 和 2%。如果我們忽視了因子暴露程度不同的話，就會(huì)得到本期因子收益率較前一期的數(shù)值有所提高的錯(cuò)誤結(jié)論。

第二個(gè)問(wèn)題更為嚴(yán)重。風(fēng)險(xiǎn)因子大多來(lái)源于股票的基本面數(shù)據(jù)，很多因子之間存在一定的線性相關(guān)性。為了正確的評(píng)價(jià)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子是否有效以及在什么程度上有效，必須保證圍繞該因子來(lái)構(gòu)建的投資組合可以最大程度的剝離因子之間的相關(guān)性。換句話說(shuō)，針對(duì)某因子構(gòu)建的投資組合應(yīng)該避免在其他因子上有任何暴露。

為此，Barra（如今已被 MSCI 收購(gòu)了）提出了純因子模型（pure factor model），它能夠保證在截面上構(gòu)建因子投資組合時(shí)，每個(gè)因子的投資組合對(duì)目標(biāo)因子有 1 個(gè)單位的暴露，而對(duì)其他因子的暴露為 0*。?

純因子投資組合是為了正確量化因子的收益和風(fēng)險(xiǎn)而從純數(shù)學(xué)的角度構(gòu)建的。建立時(shí)沒(méi)有考慮任何可投資性的要求，因此純因子投資組合的可投資性非常低。它滿足對(duì)目標(biāo)因子有?1?個(gè)單位的暴露，對(duì)其他因子沒(méi)有暴露，因此可以正確的衡量因子的有效性。

看到這里也許有的小伙伴會(huì)說(shuō)“沒(méi)有可投資性那有什么用？”。正確的解答是，Barra 的風(fēng)險(xiǎn)因子模型的核心是做風(fēng)險(xiǎn)分析。具體來(lái)說(shuō)有兩個(gè)目的：

為了上面兩個(gè)目標(biāo)，構(gòu)建因子的投資組合時(shí)必須能夠正確計(jì)算因子收益率，這就是純因子組合的價(jià)值所在。雖然純因子組合可投資性低，但它在風(fēng)險(xiǎn)管理和業(yè)績(jī)歸因中有著非常重要的作用。今天我們就來(lái)簡(jiǎn)單聊聊 Barra 的純因子模型。行文的重點(diǎn)將放在從定性層面理解這個(gè)模型的優(yōu)點(diǎn)。

2 CNE5 模型

CNE5 是 Barra 的最新一代面向中國(guó)股票市場(chǎng)的多因子模型。該模型考慮了一個(gè)國(guó)家因子、多個(gè)行業(yè)因子以及多個(gè)風(fēng)格因子。假設(shè)市場(chǎng)中共有 N 支股票，P 個(gè)行業(yè)，以及 Q 個(gè)風(fēng)格因子。在任意給定時(shí)間點(diǎn)，該模型使用因子暴露和個(gè)股收益率構(gòu)建截面回歸（cross-sectional regression）如下：

其中 r_n 是第 n 支股票的收益率，r_f 是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率。X_n^{I_p} 是股票 n 在行業(yè) I_p 的暴露，如果假設(shè)一個(gè)公司只能屬于一個(gè)行業(yè)，那么 X_n^{I_p} 的取值為 0（代表該股票不屬于這個(gè)行業(yè)）或者 1（代表該股票屬于這個(gè)行業(yè)）。X_n^{S_q} 是股票 n 在風(fēng)格因子 S_q 的暴露，它的取值經(jīng)過(guò)了某種標(biāo)準(zhǔn)化（標(biāo)準(zhǔn)化的方法會(huì)在下文說(shuō)明）。u_n 為股票 n 的超額收益中無(wú)法被因子解釋的部分，因此也被稱為該股票的特質(zhì)性性收益。f_C 為國(guó)家因子的因子收益率（所有股票在國(guó)家因子上的暴露都是1）；f_{I_p} 為行業(yè) I_p 因子的因子收益率；f_{S_q} 為風(fēng)格因子 S_q 的因子收益率。

對(duì)于給定某一期截面數(shù)據(jù)（記為 T 期），在截面回歸時(shí)，Barra 使用?T?期股票（超額）收益率對(duì)?T - 1?期因子暴露回歸。在 USE4 模型中，因子收益率是日頻的，因此截面回歸也應(yīng)該是日頻的。以下說(shuō)明來(lái)自 Barra Risk Model Handbook。

... the previous steps have defined the exposures of each asset to the factors?at the beginning of every period?in the estimation window. The factor excess returns?over the period?are then obtained via a cross-sectional regression of asset excess returns on their associated factor exposures ...? ??

上式就是 CNE5 多因子模型。在這個(gè)模型中，國(guó)家因子的因子暴露和 P 個(gè)行業(yè)的因子暴露之間存在共線性。具體來(lái)說(shuō)，國(guó)家因子的因子暴露向量可以表達(dá)為 P 個(gè)行業(yè)因子因子暴露向量的線性組合。這會(huì)造成上式的解不唯一。為此，對(duì)行業(yè)因子的因子收益率作如下限制：

其中 s_{I_p} 是所有屬于行業(yè) I_p 的股票的按流通市值計(jì)算出的權(quán)重之和。通過(guò)截面回歸，對(duì) CNE5 模型求解的對(duì)象是每個(gè)因子的投資組合中所有股票的配比權(quán)重。對(duì)于因子 k 和股票 n 來(lái)說(shuō)，用符號(hào) ω_{kn} 來(lái)表示。一旦得到所有的 ω_{kn}，便可通過(guò)下式求出當(dāng)期因子的收益率 f_k:

對(duì) CNE5 模型求解其實(shí)是一個(gè)多因子回歸的求解。把多個(gè)因子放在一起回歸同時(shí)求解就是為了考慮不同因子之間的相關(guān)性。這可以保證根據(jù)因子權(quán)重 ω_{kn} 來(lái)構(gòu)建的因子投資組合對(duì)于這個(gè)模型所涉及的所有因子都是純因子的投資組合。對(duì)于任何一個(gè)風(fēng)格因子 S_q，上述截面回歸保證了它的投資組合僅僅在這個(gè)因子上有 1 個(gè)單位的暴露，而在其他所有因子上均沒(méi)有任何暴露，即

對(duì)于國(guó)家因子和行業(yè)因子的投資組合，“純因子”組合的解釋略有不同，我們會(huì)在第 4 節(jié)中闡述。前面說(shuō)到，在使用截面回歸求解時(shí)，必須對(duì)風(fēng)格因子的因子暴露進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（國(guó)家和行業(yè)因子的因子暴露不需要標(biāo)準(zhǔn)化）。令 s_n 表示股票 n 的流通市值權(quán)重。對(duì)風(fēng)格因子的因子暴露進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的初衷是這樣的：按照股票的流通市值權(quán)重構(gòu)建的投資組合等同于整個(gè)市場(chǎng)，而市場(chǎng)對(duì)所有的風(fēng)格因子都應(yīng)該是中性的。因此，按流通市值權(quán)重構(gòu)建的股票投資組合在所有風(fēng)格因子上的暴露必須是 0。這意味著經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后的風(fēng)格因子暴露 X_n^{S_q} 必須滿足：

此外，我們還必須對(duì)風(fēng)格因子的因子暴露進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)差的標(biāo)準(zhǔn)化，即要求對(duì)每一個(gè)風(fēng)格因子 S_q，X_n^{S_q} 的標(biāo)準(zhǔn)差為 1。這樣便完成了對(duì)風(fēng)格因子的因子暴露的標(biāo)準(zhǔn)化。

3 國(guó)家因子

相比于早期的中國(guó)股票因子模型，CNE5 中的關(guān)鍵變化之一是加入了國(guó)家因子。（類似的，在針對(duì)美國(guó)市場(chǎng)的最新模型 USE4 中，Barra 也加入了這一因子。）那么，國(guó)家因子投資組合的本質(zhì)是什么呢？國(guó)家因子投資組合的實(shí)質(zhì)是按流通市值為權(quán)重的市場(chǎng)組合。有點(diǎn)繞？沒(méi)關(guān)系，一步一步來(lái)。對(duì)于國(guó)家因子，所有個(gè)股的暴露都是 1，這個(gè)組合的收益率為 f_C。而在市場(chǎng)組合中，個(gè)股是按流通市值權(quán)重配置的，我們用 r_M 表示市場(chǎng)組合的收益。那么，只有當(dāng) f_C 近似的等于 r_M 時(shí)，上面的結(jié)論才成立。下面就來(lái)看看 f_C 和 r_M 是否近似相等。

由前文所述，s_n 是股票 n 的流通市值權(quán)重。將 {s_n}, n = 1, …, N 這一組權(quán)重帶入到 CNE5 的因子模型中可以得到如下關(guān)系。其中左側(cè)就是市場(chǎng)收益 r_M，右側(cè)是使用國(guó)家因子、行業(yè)因子、風(fēng)格因子、以及個(gè)股特質(zhì)性收益率對(duì) r_M 的分解。

上式中最后一項(xiàng)是所有股票特質(zhì)性收益的和，由于它的值非常?。ń咏?0），因此在推導(dǎo)的最后一步被忽略了。推導(dǎo)中的核心在于倒數(shù)第三步中的中間兩項(xiàng)如何變?yōu)?0。對(duì)于第一個(gè) 0，它用到了行業(yè)因子收益率按行業(yè)市值加權(quán)為 0 以排除行業(yè)和國(guó)家因子之間的共線性這個(gè)約束條件。對(duì)于第二個(gè) 0，它是根據(jù)風(fēng)格因子是使用流通市值權(quán)重來(lái)標(biāo)準(zhǔn)化這個(gè)定義來(lái)的。由此可見，在 CNE5 模型的定義下，f_C 這個(gè)國(guó)家因子收益率確實(shí)近似的代表了市場(chǎng)組合的收益率，因此國(guó)家因子的組合就（近似地）是市場(chǎng)組合。在新版多因子模型中增加這一項(xiàng)是非常必要的。事實(shí)上，在對(duì) CNE5 進(jìn)行截面回歸求解后可以發(fā)現(xiàn)，國(guó)家因子的投資組合中，個(gè)股 n 的權(quán)重 ω_{Cn} 非常接近它的流通市值權(quán)重 s_n。

4 純因子投資組合的性質(zhì)

通過(guò)上面的介紹我們已經(jīng)知道，Barra 的截面回歸模型針對(duì)國(guó)家因子、行業(yè)因子以及風(fēng)格因子分別構(gòu)建了純因子投資組合。那么，這些組合有著怎樣的性質(zhì)呢？

4.1 國(guó)家純因子投資組合

由 f_C ≈ r_M 可知，國(guó)家純因子投資組合就是近似的市場(chǎng)組合，它是純多頭組合：

4.2 行業(yè)純因子投資組合

行業(yè)因子的純因子投資組合是一個(gè)多空組合，它滿足以下特征：

4.3 風(fēng)格純因子投資組合

風(fēng)格因子的純因子投資組合同樣是一個(gè)多空組合，它滿足下列特征：

暫時(shí)拋開純因子組合的可投資性，上面的結(jié)果對(duì)于因子投資有著非常重要的意義。它說(shuō)明，如果我們從整體上看好市場(chǎng)，那么只需要持有國(guó)家因子的純因子組合（即近似的市場(chǎng)組合）；如果我們看好了某些行業(yè)，那么只需要持有那些特定行業(yè)的行業(yè)純因子組合，從而賺取行業(yè)相對(duì)于市場(chǎng)的超額收益；如果我們看好了某個(gè)風(fēng)格因子（比如小市值、價(jià)值等），那么只需要持有這些因子的純因子組合，去賺取通過(guò)暴露于這些因子的超額收益。

以上就是 Barra 這個(gè)模型的最大意義 —— 它可以針對(duì)我們喜歡的因子（無(wú)論是市場(chǎng)、行業(yè)或是風(fēng)格），構(gòu)建出純粹的僅僅針對(duì)于那些因子的投資組合，從而捕捉這些因子的風(fēng)險(xiǎn)收益。

5 理解風(fēng)險(xiǎn)因子收益率

經(jīng)過(guò)了上一節(jié)的解釋，我們更愿意把因子收益理解為一籃子股票（即圍繞該因子構(gòu)建的投資組合）的共性收益（系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)）。該投資組合如果賺錢，那么靠的是該投資組合在該風(fēng)險(xiǎn)因子上的單位暴露，靠的是該風(fēng)險(xiǎn)因子在時(shí)間維度上所帶來(lái)的有效而穩(wěn)定的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。從風(fēng)險(xiǎn)暴露的角度來(lái)說(shuō)，所有股票 —— 無(wú)論被做多還是被做空 —— 在該組合中的貢獻(xiàn)都是“一樣的”，都是必不可少的。這和精選個(gè)股（通過(guò)深度研究或者靠其他歪門邪道）來(lái)賺取個(gè)股的特質(zhì)性收益 u_n 是完全不同的，因?yàn)榧円蜃油顿Y組合中股票的特質(zhì)性收益幾乎為 0。

當(dāng)然，在現(xiàn)實(shí)中，我們不得不面對(duì)“可投資性”的問(wèn)題。當(dāng)我們無(wú)法按照純因子投資組合的權(quán)重來(lái)實(shí)際構(gòu)建投資組合（比如無(wú)法做空一些股票）時(shí)，我們就面臨兩個(gè)問(wèn)題：

以上兩點(diǎn)說(shuō)明，在種種限制下，如果構(gòu)建的投資組合的權(quán)重和純因子投資組合理論權(quán)重不一致時(shí)，該投資組合便沒(méi)有有效的暴露在該因子之下，也沒(méi)有對(duì)其他因子隔離。此外，該組合又引入了無(wú)法忽略的特質(zhì)性收益的風(fēng)險(xiǎn)。

美國(guó)的 AQR 基金寫過(guò)一篇文章來(lái)分析巴菲特的選股能力（Frazzini et al. 2013）。結(jié)果顯示，巴菲特選股的收益率幾乎可以完全被 1 個(gè)市場(chǎng)因子和 5 個(gè)風(fēng)格因子的收益率來(lái)解釋。它說(shuō)明巴菲特的投資組合能賺錢是因?yàn)樗砸欢ǖ臋?quán)重有效的暴露在了這 6 個(gè)因子之中，長(zhǎng)期穩(wěn)定地賺取了這 6 個(gè)因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。巴菲特有一個(gè)科學(xué)的價(jià)值投資框架來(lái)保證它的投資組合對(duì)最合理的風(fēng)險(xiǎn)因子有著最合理的風(fēng)險(xiǎn)暴露，這些風(fēng)險(xiǎn)因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為他帶來(lái)了年復(fù)一年的優(yōu)秀收益。

6 不是所有的風(fēng)險(xiǎn)因子都被定價(jià)

對(duì) CNE5 的求解僅僅用到了給定時(shí)間（比如某月或者某季度）的股票截面數(shù)據(jù)。因此，得到的因子收益率僅僅反映在該時(shí)刻因子能取得什么樣的收益。為了驗(yàn)證一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子是否可以有效的帶來(lái)超額收益，我們必須在時(shí)序上對(duì)該因子的收益率做統(tǒng)計(jì)分析。

上圖展示了 4 種典型的因子收益率在時(shí)間維度上的統(tǒng)計(jì)特征：

在評(píng)價(jià)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子時(shí)，應(yīng)按照正確的方法得到每個(gè)時(shí)間截面的純因子投資組合，進(jìn)而算出每一期的因子收益率。然后，通過(guò)對(duì)因子收益率的時(shí)間序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，最終判定該因子能否在長(zhǎng)期穩(wěn)定的貢獻(xiàn)超額收益。同時(shí)，對(duì)因子收益率的統(tǒng)計(jì)分析也可以得到因子收益率之間的協(xié)方差矩陣，它是推導(dǎo)個(gè)股之間的協(xié)方差矩陣的必要條件之一。

參考文獻(xiàn)

Frazzini, A., D. Kabiller, and L. H. Pedersen (2013). Buffett's alpha. Working paper 19681, National Bureau of Economic Research.

Barra Risk Model Handbook (2007). MSCI.

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