作者：石川

摘要：Not Really!

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金融學(xué)會(huì)議的每篇論文通常都有一個(gè) discussant，負(fù)責(zé)對(duì)論文提出建設(shè)性意見。在金融學(xué)頂會(huì)上，discussant 的發(fā)言比原報(bào)告更加精彩的情況也并不罕見。而如果當(dāng) discussant 是 Bryan Kelly 時(shí)，上述情形就幾乎一定會(huì)出現(xiàn)。近日，Kelly 又“火力全開”了（對(duì)了，我老早之前又被 Kelly 圈粉了）。

在前不久的 NBER SI 2022 的 Asset Pricing Session 中，Lopez-Lira and Roussanov (2022) 匯報(bào)了一篇題為 Do common factors really explain the cross-section of stock returns? 的文章。文章的結(jié)論非常抓人眼球，他們拒絕了 APT：

他們是怎么得出這樣的結(jié)論呢？分三步：

1.?從 APT 出發(fā)，解釋預(yù)期收益的因子應(yīng)該和資產(chǎn)收益率的 COV 矩陣有關(guān)，因此 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 使用日收益率并通過 PCA 構(gòu)造了隱性風(fēng)險(xiǎn)因子；

2.?該文進(jìn)而基于大量公司特征并使用 Random Forest 構(gòu)造了 test assets；

3.?最后，該文利用 test assets 構(gòu)造了關(guān)于隱性因子中性（即無暴露）的投資組合，獲得了顯著的超額收益，因此他們拒絕了 APT。

上述邏輯似乎看上去沒有什么毛病。而如果這個(gè)結(jié)論成立，那就意味著“沒有??，都是??”。有意思的是，這并不是兩位作者第一次匯報(bào)這項(xiàng)研究。然而“不幸的是”，這回等待著他們的是 Bryan Kelly。

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本節(jié)我們就跟著 Kelly 的 slides 看看這篇論文的實(shí)證結(jié)果和結(jié)論到底有什么問題。Kelly 首先用三頁(yè) slides 總結(jié)了該文的結(jié)果（如下）。這部分沒啥可說的，我也不多做 comment。

接下來就是關(guān)鍵的，Kelly 開始討論該文的結(jié)論。首先，他指出所有人（尤其是研究資產(chǎn)定價(jià)的人）都知道，我們總能找到 benchmark model 無法解釋的 test assets 從而拒絕 benchmark model，所以這并不新鮮。但是，拒絕 APT 這個(gè)表述是不準(zhǔn)確的，可以說拒絕了某個(gè)多因子模型，但是不能說拒絕了 APT。此外，在 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 的實(shí)證結(jié)果中，最令他擔(dān)憂的并非 benchmark model 無法解釋 test assets 的預(yù)期收益率，而是通過 PCA 構(gòu)造的這個(gè) benchmark model 里面的因子的 risk premium 全都是零。

下表展示了?Lopez-Lira and Roussanov (2022) 中因子的 risk premium。

在 Kelly 看來，factor risk premium 都是零（if true）才是 real main result?？上У氖牵@個(gè) if 要打一個(gè)大大的問號(hào)。之前大量的實(shí)證結(jié)果已經(jīng)表明，很多能夠解釋資產(chǎn)共同運(yùn)動(dòng)的因子的 risk premium 都顯著不為零。難道是那些文章錯(cuò)了嗎？還是這篇文章的 PCA 實(shí)證有什么問題？對(duì)此，Kelly 認(rèn)為該文的因子存在?inconsistent conditioning information?問題（這絕對(duì)是 Kelly 這個(gè) discussion 的 WOW moment）。

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結(jié)合下面這張 slide 來理解一下 inconsistent conditioning。由資產(chǎn)定價(jià)理論可知，資產(chǎn)的條件預(yù)期收益率由資產(chǎn)和 SDF 的條件協(xié)方差決定（下圖中的公式）。而在 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 一文中，用來預(yù)測(cè)預(yù)期收益率（即構(gòu)造 test assets）的 information set 是大量的公司特征，反觀用來計(jì)算隱性因子的信息僅僅是日收益率。這就是不一致性所在。

單純利用日收益率并通過 PCA 來構(gòu)造隱性因子，這是得到 factor risk premium 為零這個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論的直接原因。具體而言，這里面存在兩個(gè)問題：（1）估計(jì)因子溢價(jià)時(shí)存在大量誤差；（2）公司特征中涵蓋了大量預(yù)測(cè)未來??（對(duì)，這里關(guān)注的是??，而不是預(yù)期收益率）的預(yù)測(cè)信息，如果僅僅使用日收益率則完全忽視了它們。

關(guān)于第一點(diǎn)，感興趣的小伙伴可以找一些 random matrix theory（RMT）的資料看看（比如 Lettau and Pelger 2020）。簡(jiǎn)單的說就是基于日收益率的 PCA 很難準(zhǔn)確估計(jì)因子的 risk premium。關(guān)于這點(diǎn)，我做過一個(gè)小實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中假設(shè)已知收益率的 data generating process 并利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì) 30 個(gè)資產(chǎn)的 COV 矩陣。由于 DGP 已知，因此 population COV 矩陣已知，這允許我們計(jì)算樣本 COV 矩陣和 population COV 矩陣的誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，對(duì)于僅僅 30 個(gè)資產(chǎn)的 COV 矩陣的估計(jì)，需要??這個(gè)量級(jí)的 sample size 才能準(zhǔn)確估計(jì)。

更關(guān)鍵的是，上面這個(gè)還僅僅是 COV 矩陣的估計(jì)誤差，而非基于樣本 COV 矩陣進(jìn)行 PCA 分析的誤差。RMT 的相關(guān)研究表明，當(dāng) sample size 有限的時(shí)候，基于樣本 COV 進(jìn)行 PCA 得到的特征向量和總體特征向量之間的夾角在 80 度以上（幾乎垂直了）。PCA 了個(gè)寂寞。

另外，Kelly 關(guān)于第一點(diǎn)的討論也讓我想起了 Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 的 Bayesian estimator，而估計(jì)誤差正是她們提出 Bayesian estimator 的動(dòng)機(jī)。感興趣的小伙伴請(qǐng)參考《Bayesian Two-Pass Regression》。

對(duì)于第二個(gè)問題，Kelly, Moskowitz, and Pruitt (2021) 指出，公司特征能夠有效預(yù)測(cè)未來的??，因此僅僅基于日收益率會(huì)丟失掉大量的信息。關(guān)于如何解決 inconsistent conditioning 問題，Kelly 建議參考他和合作者提出的 IPCA 方法（Kelly, Pruitt, and Su 2019）。

最后，Kelly 對(duì)該文的結(jié)論進(jìn)行了總結(jié)。在他看來，聲稱拒絕了 APT 為時(shí)尚早（且是錯(cuò)誤的），而該文最大的問題 —— 正如上面所述 —— 是 risk factor 的 risk premium 為零。對(duì)于任何一篇實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究來說，這樣的結(jié)果應(yīng)該是一個(gè) red flag，它表明 latent factor estimator 并沒有想象的那么美好。

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如果 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 的實(shí)證結(jié)果沒問題，那么它意味著人們可以找到并利用解釋預(yù)期收益而和資產(chǎn)波動(dòng)無關(guān)的因子，即“全是??，沒有??”，這將和?Kozak, Nagel, and Santosh (2018)?基于“市場(chǎng)中不存在近似無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)”這一假設(shè)得出的結(jié)論相左，也和過去幾十年大量的實(shí)證結(jié)果相矛盾。

最后，Kelly 以“Extremely thought provoking paper! I learned a lot.” 結(jié)束了他的討論。和 Lopez-Lira and Roussanov (2022) 這篇文章相比，Kelly 的觀點(diǎn)無疑更加精彩，而大佬之間思維的碰撞和毫不敷衍的深刻討論也正是推動(dòng)金融學(xué)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力。

Kelly rocks!

參考文獻(xiàn)

Bryzgalova, S., J. Huang, and C. Julliard (2020). Bayesian solutions for the factor zoo: We just run two quadrillion models. Working paper.

Kelly, T. B., T. J. Moskowitz, and S. Pruitt (2021). Understanding momentum and reversal.?Journal of Financial Economics?140(3), 726 – 743.

Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su (2019). Characteristics are covariances: A unified model of risk and return.?Journal of Financial Economics?134(3), 501 – 524.

Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models.?Journal of Finance?73(3), 1183 – 1223.

Lopez-Lira, A. and N. Roussanov (2022). Do common factors really explain the cross-section of stock returns? Working paper.

Lettau, M. and M. Pelger (2020). Estimating latent asset-pricing factors.?Journal of Econometrics?218(1), 1 – 31.

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