作者：石川

摘要：基于?A?股的實(shí)證顯示，使用市場估值指標(biāo)后，發(fā)生市場下行的條件概率顯著高于非條件概率。市場整體估值對預(yù)測股災(zāi)有一定的作用。

1 引言

預(yù)測市場下行風(fēng)險不僅是量化投資中的一個熱門課題，對于高波動的?A?股市場有更重要的實(shí)踐意義。學(xué)術(shù)界的預(yù)測模型主要包括基本面模型、統(tǒng)計(jì)模型和行為模型三大類（下表）。

無論采用哪種模型，其目標(biāo)是給出未來一段時間市場發(fā)生給定程度以上跌幅的條件概率。如果預(yù)測準(zhǔn)確，它可以幫我們有效的規(guī)避下行風(fēng)險、降低投資損失。近三十年來，學(xué)術(shù)界使用以上模型針對海外股市進(jìn)行了大量的研究。然而由于?A?股的年頭較短，這方面的研究相對欠缺。近日，一篇發(fā)表在?Journal?of?Portfolio?Management?的文章對于?A?股進(jìn)行了相關(guān)研究（Lleo?and?Ziemba?2018）。該文使用基本面模型中的估值指標(biāo)?——?BSEYD、P/E、CAPE?——?對滬、深兩市的下行風(fēng)險構(gòu)建了預(yù)測模型和準(zhǔn)確性檢驗(yàn)。從結(jié)果來看，使用估值指標(biāo)可以顯著提高市場下行風(fēng)險的條件概率，對預(yù)測股災(zāi)有一定作用。本文簡要介紹?Lleo?and?Ziemba?(2018)。

2 下行樣本識別

研究的第一步是識別下行樣本。根據(jù)?Lleo?and?Ziemba?(2018)?的定義，一個下行樣本始于某局部高點(diǎn)（該交易日稱為?Peak?Date）、止于某局部低點(diǎn)（該交易日稱為?Trough?Date），且兩者之間的跌幅不小于?10%。此外，對于一個下行樣本，還有一個非常重要的概念?——?Crash Identification Date，即下行（或股災(zāi)）識別日。

從任意局部高點(diǎn)開始，如果在后續(xù)的某個交易日的收盤價滿足下行識別日條件，該交易日被選做下行識別日，從而確定了下行樣本，該下行樣本直到再后面的某個局部低點(diǎn)結(jié)束。Lleo and Ziemba (2018) 對于下行識別日需要滿足的條件限制十分苛刻，目的是為了保證算法找出的下行樣本相互獨(dú)立，否則在市場連續(xù)長時間陰跌的時期，挑出的下行樣本可能出現(xiàn)相互重疊的現(xiàn)象。

下行識別日在?Lleo?and?Ziemba?(2018)?的模型中的作用十分關(guān)鍵。本文第四節(jié)中我們會看到，在評價預(yù)測模型準(zhǔn)確性時也會用到它。下圖是上證指數(shù)上的一個下行樣本。根據(jù)Lleo?and?Ziemba?(2018)?的識別算法，它從?2002/07/08?開始（收盤價?1732.93），然而它并沒有在圖中第一個“深溝”即?2003/01/03?日結(jié)束。其原因是算法確認(rèn)的下行識別日是?2003/04/23，晚于第一個“深溝”的日期。最終，這段下行樣本止于?2003/11/18（收盤價?1316.56），跌幅超過?24%。

實(shí)證中，Lleo?and?Ziemba?(2018)?分別考慮了?1990?年到?2016?年的上證指數(shù)和深證綜指（399106）。按照上述說明，他們在滬、深兩市分別找到了?22?和?21?個下行區(qū)間，分別匯總于下表中。接下來就是針對這些下行樣本構(gòu)建預(yù)測模型。

3 預(yù)測模型

下行風(fēng)險預(yù)測模型使用選定的基本面估值指標(biāo)計(jì)算信號：信號等于?1?說明在未來有跌幅超過?10%?的下行風(fēng)險；信號為?0?說明沒有該風(fēng)險。此外，Lleo?and?Ziemba?(2018)?給出了評價該模型準(zhǔn)確性的算法。本節(jié)和下節(jié)分別介紹預(yù)測模型和評價模型準(zhǔn)確性的算法。預(yù)測模型的原理非常簡單。假設(shè)基本面指標(biāo)在交易日?t?的取值為?M_t，使用該指標(biāo)在過去一段長度為?d?的窗口內(nèi)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算出一個閾值?K_t；如果?M_t?>?K_t，則認(rèn)為市場估值過高，因而下行風(fēng)險信號?S_t?=?1、反之則認(rèn)為下行風(fēng)險信號?S_t?=?0。

在計(jì)算閾值?K_t?時，Lleo?and?Ziemba?(2018)?選擇的滾動窗口長度?d?為?252?個交易日，從而動態(tài)計(jì)算不同市場環(huán)境下估值的閾值。在具體計(jì)算?K_t?時，他們采用了兩種方法：（1）正態(tài)分布假設(shè)；（2）Cantelli?不等式。由于僅考慮估值過高風(fēng)險，故采用單邊?95%?的置信區(qū)間。在正態(tài)分布的假設(shè)下，該閾值?K_t?對應(yīng)均值加上?1.645?個標(biāo)準(zhǔn)差：

考慮到市場估值指標(biāo)在任意一段給定長度為?d?的窗口內(nèi)不一定很好的滿足正態(tài)分布假設(shè)，Lleo?and?Ziemba?(2018)?同時使用了Cantelli?不等式作為另外一種計(jì)算閾值?K_t?的方法。該不等式是我們熟悉的?Chebyshev’s?inequality（切比雪夫不等式）的單尾形式。對于未知分布的隨機(jī)變量?M，假設(shè)其均值和標(biāo)準(zhǔn)差為?μ?和?σ，由?Cantelli?不等式有：

上式中，另?β?=?1/(1+γ2)?可得：

在模型中，Lleo?and?Ziemba?(2018)?選擇?β?=?0.25，對應(yīng)?σ?的乘數(shù)為?1.732，比正態(tài)分布下的?1.645?略高。采用上述正態(tài)分布模型或?Cantelli?不等式即可計(jì)算出給定交易日?t?的估值閾值上限?K_t。通過比較當(dāng)日實(shí)際估值指標(biāo)?M_t?和?K_t?的關(guān)系，就能發(fā)出市場是否在未來出現(xiàn)下行風(fēng)險的信號?S_t。在這個判斷中，必須要回答的另一個問題就是：這個信號管多久?——?市場在未來多長時間窗口內(nèi)（記為?H）會出現(xiàn)?10%?以上的下行風(fēng)險。H?的選擇是預(yù)測模型設(shè)定問題，在?Lleo?and?Ziemba?(2018)?中其取值為?252?個交易日。

4 模型準(zhǔn)確性評價

接下來介紹如何評價預(yù)測模型的準(zhǔn)確性。當(dāng)模型給出?S_t?=?1?的信號后，如果在?t?之后的?H?個交易日內(nèi)包含了某個下行識別日（回想一下第二節(jié)的定義），那么則認(rèn)為發(fā)生了市場下行（記為?C_{t,?H}?=?1）、模型信號準(zhǔn)確。根據(jù)這個定義，預(yù)測模型的準(zhǔn)確性可以由下面這個條件概率度量：

因此，只需找出實(shí)證期內(nèi)所有獨(dú)立的?S_t?=?1?信號（為排除市場的自相關(guān)性，只有當(dāng)兩個下行風(fēng)險信號相差?30?個交易日時才被視作獨(dú)立信號），并考察每個信號之后的?H?個交易日是否包含下行識別日，即可計(jì)算出上述條件概率。數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知，使用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的條件概率也是模型準(zhǔn)確性的?maximum?likelihood?estimate（具體推導(dǎo)請見?Lleo?and?Ziemba?2018，這里不再贅述）。

由于?A?股牛短熊長、波動巨大的特點(diǎn)，從任何一個天往后看?252（H?的取值）個交易日，出現(xiàn)下行風(fēng)險（跌?10%?以上）的先驗(yàn)概率都很大（實(shí)證數(shù)據(jù)顯示，這個先驗(yàn)概率大概是?70%?左右）。只有當(dāng)預(yù)測模型給出的條件概率顯著高于這個非條件先驗(yàn)概率時，我們才能說使用估值指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測能帶來一定的價值。出于這個考慮，Lleo?and?Ziemba?(2018)?使用?Likelihood?Ratio?Test?對此進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)。該檢驗(yàn)的?null?hypothesis?是?p?=?p_0，這里?p_0?是下行先驗(yàn)概率?——?即在實(shí)證期內(nèi)任選一天，在其后?252?個交易日內(nèi)包含下行識別日的概率。該假設(shè)的?Likelihood?Ratio?Test?如下：

其中?L?為?likelihood?function，\hat?p?是預(yù)測模型給出的條件概率（p?=?\hat?p?為?alternative?hypothesis）。使用?Λ?定義?test?statistic：Y?=?-2logΛ，它滿足自由度為?1?的?chi-squared?分布，其?10%、5%、1%?顯著性水平下對應(yīng)的閾值分別為?2.71、3.83?和?6.63。如果實(shí)證數(shù)據(jù)給出的?Y?值超過上述某個閾值，則我們就可以在相應(yīng)的顯著性水平下拒絕原假設(shè)。

5 實(shí)證結(jié)果

下面來看實(shí)證結(jié)果。Lleo?and?Ziemba?(2018)?首先考察了?P/E?和?log(P/E)?兩個市場估值指標(biāo)。下表總結(jié)了模型的預(yù)測結(jié)果以及準(zhǔn)確性分析結(jié)果，其中對于滬、深兩市各有四行，這是因?yàn)閷τ诿總€指標(biāo)，都分別有兩種計(jì)算閾值的方法?——?正態(tài)分布和?Cantelli?不等式。

以上證指數(shù)為例，P/E?指標(biāo)在這使用這兩種計(jì)算閾值方法時，分別給出了?19?和?18?次下行風(fēng)險信號，其中正確的次數(shù)分別為?17?和?16?次，因此條件概率高達(dá)?89%?上下。另一方面，對于上證指數(shù)，出現(xiàn)下行風(fēng)險的非條件先驗(yàn)概率為?70%。通過假設(shè)檢驗(yàn)可知，test?statistic?Y?的取值在這兩種方法下分別為?4.31（5%?的顯著性水平）和?3.81（10%?的顯著性水平），因此可以說基于?P/E?估值指標(biāo)的預(yù)測模型對于鑒別市場下行風(fēng)險提供了顯著的增量信息。我們可以對上表中其他各行的結(jié)果做類似的解讀。

除了預(yù)測信號的準(zhǔn)確性外，我們也關(guān)注召回率。對于滬深兩市，在整段實(shí)證期內(nèi)分別由?22?和?21?次下行樣本。使用?P/E?及?log(P/E)，在上證指數(shù)上正確找到?17?個，召回率為?77%；而在深證綜指上正確找出?8?個，召回率僅有可憐的?38%。該模型的召回率在滬深兩市上的巨大差異值得進(jìn)一步的研究。除了?P/E?和?log(P/E)?之外，Lleo?and?Ziemba?(2018)?還考慮了其他估值指標(biāo)：BSEYD、log(BSEYD)、CAPE、log(CAPE)。由于計(jì)算?CAPE?需要用到十年的歷史數(shù)據(jù)，因此預(yù)測模型的實(shí)證期為?2005?年到?2016?年。下表給出了不同估值指標(biāo)的預(yù)測結(jié)果。

首先需要插一句的是，上表中特別用紅框標(biāo)出來的部分應(yīng)該是?typo。根據(jù)?Lleo?and?Ziemba?(2018)?上下文的描述，對于上證指數(shù)，CAPE?和?log(CAPE)?應(yīng)該各自發(fā)出了?3?次信號、而非?5?次，且?3?次全部正確，因此準(zhǔn)確率才有?100%。在此特別“鄙視”一下審稿人。

For the SHCOMP, none of the measures produced more than five signals. The CAPE, logCAPE, and BSEYD10 generated?three?signals each.

下面來討論結(jié)果。非常有意思的是，對于?2005?年之后的市場，該模型?——?無論使用什么指標(biāo)?——?在滬、深兩市上的效果較整段實(shí)證期來說發(fā)生了反轉(zhuǎn)。對于深證綜指，這些指標(biāo)的準(zhǔn)確率和召回率都更高，而對于上證指數(shù)，僅?CAPE?和?log(CAPE)?較非條件先驗(yàn)概率顯著的提升了準(zhǔn)確性。然而從召回率來看，自?2005?年到?2016?年之間，上證指數(shù)一共出現(xiàn)?6?次下行樣本，而上述兩個指標(biāo)僅找到三次，召回率僅有?50%。Lleo?and?Ziemba?(2018)?對于模型在滬、深兩市上的差異也做了思考。除了樣本量較少造成的誤差之外，二位作者認(rèn)為該分歧也和滬深兩市上市公司的屬性差異很大有關(guān)。上交所的上市公司多為國有企業(yè)，而深交所的上市公司多為民營企業(yè)。二位作者猜測，政府對國有企業(yè)支持而造成對市場的干預(yù)，有可能會推遲和減少下行風(fēng)險的出現(xiàn)，從而影響預(yù)測模型的效果。

6 結(jié)語

預(yù)測市場什么時候要?crash?從來就不容易。將市場的?P/E?或者?CAPE?這類估值指標(biāo)和未來收益率關(guān)聯(lián)起來的嘗試并也不是什么新鮮事物，但希望?Lleo?and?Ziemba?(2018)?在?A?股上的實(shí)證結(jié)果能給我們一些啟發(fā)。2014 年，Robert Shiller 教授紐約時報上撰文稱，提出 CAPE 的目的不是為了預(yù)測市場未來的漲跌，而是希望在市場估值過高時引發(fā)人們的思考。

The CAPE was never intended to indicate exactly when to buy and to sell.?The market could remain at these valuations for years. But we should recognize that we are in an unusual period, and that it’s time to ask some serious questions about it.

從?Lleo?and?Ziemba?(2018)?的結(jié)果以及其他針對?A?股的實(shí)證分析來看，過高估值和未來的下行風(fēng)險之間肯定存在著某種正相關(guān)性。然而，要想利用這種相關(guān)性、將其作為整套量化系統(tǒng)（特別是風(fēng)險管理）的一部分，或者使用它進(jìn)行市場或者其他風(fēng)格因子擇時，仍有很多的問題需要解答。

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