作者：石川

摘要：GRS 和 Mean-Variance Spanning 是常見的多因子模型檢驗(yàn)手段。本文介紹它們的直觀含義。

1 引言

所有的多因子模型都“不完美”—— 只要我們拿足夠多的 test assets 去“折磨”它，任何模型都會(huì)被拒絕。然而有些模型是“有用”的。如果一個(gè)模型中的因子都有可靠的經(jīng)濟(jì)學(xué)或金融學(xué)依據(jù)、代表了某種系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)或錯(cuò)誤定價(jià)的原因，且該多因子模型能夠解釋大量所謂的異象的話，那么這樣一個(gè)模型就是有用的。然而從不同的邏輯出發(fā)，人們總能提出不同的因子，并用它們組合出不同的多因子模型。如何評(píng)判哪個(gè)模型更好呢？

Barillas and Shanken (2017) 指出，評(píng)價(jià)一個(gè)多因子模型既要看它能否解釋 test assets 又要看它能否解釋其他模型的因子。這意味著我們往往用一籃子資產(chǎn)去檢驗(yàn)一個(gè)多因子模型。怎么檢驗(yàn)?zāi)兀客ǔ?lái)說(shuō)可以有兩個(gè)切入點(diǎn)。第一個(gè)切入點(diǎn)是聯(lián)合檢驗(yàn) N 個(gè)定價(jià)誤差是否為零；與之相反的，第二個(gè)切入點(diǎn)則是單獨(dú)考察每個(gè)資產(chǎn)的定價(jià)誤差是否為零。無(wú)論是哪種切入點(diǎn)，在學(xué)術(shù)界的實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)中都十分常見。對(duì)于前者，最常使用的方法當(dāng)屬 GRS 檢驗(yàn)和 Mean-Variance Spanning（均值-方差張成）檢驗(yàn)。解釋這兩種檢驗(yàn)的直觀含義就是本文的目標(biāo)。在接下來(lái)的文章中，假設(shè)待檢驗(yàn)的多因子模型包含 K 個(gè)因子，用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?test assets 有 N 個(gè)。

2?GRS 檢驗(yàn)

GRS 檢驗(yàn)由 Gibbons, Ross, Shanken (1989) 提出，并由此得名。關(guān)于它的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，前文《股票多因子模型的回歸檢驗(yàn)》的時(shí)序回歸已經(jīng)做過(guò)介紹，本文不再贅述。此外，[因子動(dòng)物園] 的《檢驗(yàn)因子模型：Alpha, GRS 與 GMM》一文也有過(guò)說(shuō)明，感興趣的小伙伴請(qǐng)參考。GRS 檢驗(yàn)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)。首先，它的 F-統(tǒng)計(jì)量是有限樣本（finite sample）下的統(tǒng)計(jì)量，即 GRS 檢驗(yàn)給出了給定樣本大小 T 下這些定價(jià)誤差應(yīng)滿足的聯(lián)合分布，該檢驗(yàn)是高度精確的。當(dāng)樣本量趨于無(wú)窮的時(shí)候，定價(jià)誤差的聯(lián)合分布漸進(jìn)趨于 χ2 分布，但在有限樣本下使用 χ2 分布并不可靠，這就凸顯了 GRS 檢驗(yàn)的價(jià)值。此外，GRS 檢驗(yàn)有非常高的檢驗(yàn)效力。當(dāng)然，任何事物都有兩面。GRS 統(tǒng)計(jì)量的精確性高度依賴正態(tài)分布假設(shè)，即資產(chǎn)收益率的殘差服從聯(lián)合正態(tài)分布。在現(xiàn)實(shí)中，該假設(shè)可能過(guò)于嚴(yán)格而無(wú)法滿足，這會(huì)降低 GRS 檢驗(yàn)在實(shí)踐中的可信度。

GRS 檢驗(yàn)被學(xué)術(shù)界廣泛使用。比如 Liu, Stambaugh, and Yuan (2019) 就用 GRS 檢驗(yàn)比較了他們提出的中國(guó)版三因子模型和按照 Fama and French (1993) 一文構(gòu)建的三因子模型。通過(guò)這兩個(gè)多因子模型之間的因子相互 PK，Liu, Stambaugh, and Yuan (2019) 發(fā)現(xiàn)他們的因子優(yōu)于Fama and French (1993) 中的因子。借助計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，我們?nèi)缃窨梢院苋菀椎挠?jì)算出 GRS 統(tǒng)計(jì)量并進(jìn)行檢驗(yàn)。但是計(jì)算歸計(jì)算，我們更希望搞清楚 GRS 檢驗(yàn)背后的本質(zhì)。好消息是，GRS 統(tǒng)計(jì)量還有另一種形式：

上式中，\hat θ_{N+K} 表示由全部 N 個(gè) test assets 和 K 個(gè)因子構(gòu)成的事后（ex post）最大夏普率投資組合的夏普率；\hat θ_K 表示由 K 個(gè)因子構(gòu)成的事后最大夏普率投資組合的夏普率。GRS 統(tǒng)計(jì)量可以直觀的理解為當(dāng) K 個(gè)因子之外加入 N 個(gè) test assets 之后，能夠獲得的最大夏普率是否顯著高于僅由 K 個(gè)因子實(shí)現(xiàn)的最大夏普率。如果夏普率顯著提高，那么該因子模型就不能解釋這 N 個(gè) test assets。

3?Mean-Variance Spanning 檢驗(yàn)

Huberman and Kandel (1987) 提出的 Mean-Variance Spanning（以下簡(jiǎn)稱 MV Spanning）檢驗(yàn)是另一種常見的聯(lián)合檢驗(yàn)手段。從名字就不難看出來(lái)，該方法和現(xiàn)代投資組合理論（Modern Portfolio Theory，下稱 MPT）以及均值-方差分析有著緊密的聯(lián)系。這種方法的核心無(wú)疑是 spanning 一詞。假如市場(chǎng)中有 K 個(gè)因子投資組合；通過(guò)按各種不同的權(quán)重配置它們又能得到許多新的組合。對(duì)于每個(gè)給定的預(yù)期收益率 \hat μ，都能找到它的最小方差投資組合。將不同 \hat μ的最小方差投資組合都繪制在橫坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)差、縱坐標(biāo)為預(yù)期收益的二維平面內(nèi)，就得到了人們熟悉的最小方差前沿（minimum-variance frontier），它的形狀是一個(gè)拋物線。

圖中的最小方差前沿就是由這 K 個(gè)因子 spanned 出來(lái)的，這就是這種方法得名的原因。而 MV Spanning 檢驗(yàn)所關(guān)注的問(wèn)題用一句話概括那就是：加入 N 個(gè) test assets 后，全部 N + K 個(gè)資產(chǎn)張成的新的最小方差前沿能否顯著“優(yōu)于”僅由 K 個(gè)因子張成的最小方差前沿。“優(yōu)于”意味著對(duì)于每一個(gè)給定的預(yù)期收益率，N + K 個(gè)資產(chǎn)張成的前沿上的點(diǎn)都比 K 個(gè)因子張成的前沿上的點(diǎn)有更低的方差。下面來(lái)看看數(shù)學(xué)上這種檢驗(yàn)的原假設(shè)是什么。令 R_{1t} 和 R_{2t} 分別為 K 個(gè)因子和 N 個(gè)test assets 的收益率向量。由多因子模型可知：

接下來(lái)，定義 δ = 1_N – β1_K（下標(biāo) N 和 K 代表向量中元素個(gè)數(shù)）。Huberman and Kandel (1987) 給出了 MV Spanning 檢驗(yàn)的原假設(shè)的充要條件：

當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，對(duì)于任何一個(gè) test asset（或這些 assets 的線性組合），我們總能使用 K 個(gè)因子來(lái)構(gòu)建一個(gè)投資組合，并使得該投資組合的預(yù)期收益率和 test assets 的預(yù)期收益率相同，但方差更低。這兩條關(guān)于預(yù)期收益率和方差的性質(zhì)說(shuō)明，這 N 個(gè) test assets 無(wú)法在 K 的基礎(chǔ)上張成更優(yōu)的最小方差前沿，因此可以接受原假設(shè)。

除了上述數(shù)學(xué)含義外，從由全部 N + K 個(gè)資產(chǎn)張成的最小方差前沿上也能夠找到上述原假設(shè)的直觀解釋。Kan and Zhou (2012) 指出，在這個(gè)最小方差前沿上存在兩個(gè)特殊的投資組合。其一是全局最小方差組合（global minimum-variance portfolio），其二是從均值-標(biāo)準(zhǔn)差二維平面的原點(diǎn)向最小方差前沿做切線的切點(diǎn)。如果原假設(shè)成立，條件 α = 0 則意味著全局最小方差投資組合中，N 個(gè) test assets 的權(quán)重都是零，即該組合完全由 K 個(gè)因子構(gòu)成；條件 δ = 0 意味著切點(diǎn)投資組合中也沒有 N 個(gè) test assets 的身影。換句話說(shuō)，這兩個(gè)特殊的投資組合均僅僅由 K 個(gè)因子構(gòu)成。

在投資組合理論中，有一個(gè)重要的定理是 two-fund separation theorem。它的含義是，使用最小方差前沿上的任意兩個(gè)組合就能構(gòu)造出整個(gè)前沿，即前沿上的其他組合都可以由這兩個(gè)投資組合的某種線性組合得到。利用 two-fund separation theorem，可以推斷出如果這兩個(gè)投資組合中均不包含 N 個(gè) test assets，那么整個(gè)由 N + K 個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成的最小方差前沿上的所有投資組合都不包含它們，這就解釋了為什么 α = 0 和 δ = 0 是原假設(shè)成立的充要條件。

雖然我們已經(jīng)從直觀上理解了 MV Spanning 檢驗(yàn)要干什么以及它的原假設(shè)是什么，但為了進(jìn)行檢驗(yàn)，還是要用到具體的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量。在這方面，Huberman and Kandel (1987) 一文最早提出了似然比（likelihood ratio）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；Kan and Zhou (2012) 在它的基礎(chǔ)上又通過(guò) Wald 檢驗(yàn)和拉格朗日乘數(shù)（Lagrange multiplier）檢驗(yàn)構(gòu)建了兩個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。這三個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在大樣本下都漸進(jìn)滿足自由度為 2N 的 χ2 分布。

這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式十分接近，且均和兩個(gè)重要參數(shù) λ_1 和 λ_2 有關(guān)。關(guān)于這兩個(gè)參數(shù)，Kan and Zhou (2012) 給出了一個(gè)非常直觀的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋。為了介紹它，首先需要一些鋪墊?？紤]下圖所示的均值-方差平面中由 K 個(gè)因子張成的最小方差前沿。在縱軸上取 (0,r) 點(diǎn)并從它向最小方差前沿做切線、找到切點(diǎn)組合 (\hat μ_{tp}, \hat σ_{tp})。

接下來(lái)，定義：

它表示圖中切線的斜率。由于不同的 (0,r) 點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生不同的切線，因此 \hat θ_K(r) 是 r 的函數(shù)。當(dāng) r 等于真正的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 R_f 時(shí)，\hat θ_K(R_f) 就是從 (0,R_f) 出發(fā)得到的切點(diǎn)組合的夏普率。類似的，當(dāng)把 N 個(gè) test assets 加入后，我們可以定義 \hat θ_{N+K}(r)。有了這兩個(gè) \hat θ 就可以寫出 λ_1 和 λ_2 的表達(dá)式了：

最后，通過(guò) λ_1 和 λ_2 就可以方便的求出似然比檢驗(yàn)、Wald 檢驗(yàn)以及拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量（分別記為 LR、W 和 LM）：

這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖然略有差異，但它們都是以某種形式將 λ_1 和 λ_2 湊在一起作為一個(gè)綜合的分?jǐn)?shù)來(lái)檢驗(yàn)原假設(shè)。由 λ_1 和 λ_2 的定義可知，我們實(shí)際上在縱軸上搜尋兩個(gè)特殊的 r：對(duì)于第一個(gè) r，由 K 和 N + K 個(gè)資產(chǎn)張成的最小方差前沿上的相應(yīng)的兩個(gè)切點(diǎn)的 \hat θ 值差異最大；對(duì)于第二個(gè) r，這兩個(gè)最小方差前沿上的相應(yīng)的兩個(gè)切點(diǎn)的 \hat θ 值差異最小。這三種統(tǒng)計(jì)量以這兩個(gè)特殊 r 下兩個(gè)前沿的綜合差異來(lái)檢驗(yàn)這兩個(gè)前沿是否在統(tǒng)計(jì)上有所不同。

以上就是大樣本下三種 MV Spanning 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量。有必要說(shuō)明的是，當(dāng)樣本量 T 較總資產(chǎn)數(shù) N + K 不足夠大時(shí)，使用這些統(tǒng)計(jì)量并不準(zhǔn)確，更好的方法是像 GRS 檢驗(yàn)一樣計(jì)算有限樣本下的統(tǒng)計(jì)量。悲催的是，從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)有限樣本下統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式十分繁瑣。不悲催的是，Kan and Zhou (2012) 給出了這些統(tǒng)計(jì)量的幾何含義，理解起來(lái)就一個(gè)字 —— 爽！本文第 4 節(jié)將會(huì)介紹。

關(guān)于 MV Spanning 檢驗(yàn)的應(yīng)用，一個(gè)很有代表性的例子是 Han, Zhou, and Zhu (2016)（見《美股上一個(gè)跨越時(shí)間尺度的趨勢(shì)因子》）。三位作者針對(duì)美股提出了一個(gè)趨勢(shì)因子，它不同于傳統(tǒng)的動(dòng)量或反轉(zhuǎn)，而是將不同時(shí)間尺度下收益率的動(dòng)量和反轉(zhuǎn)現(xiàn)象綜合到一起，構(gòu)建了一個(gè)綜合的趨勢(shì)因子。該文用新的趨勢(shì)因子作為 test asset，用傳統(tǒng)的短期反轉(zhuǎn)、中期動(dòng)量以及長(zhǎng)期反轉(zhuǎn)因子作為解釋變量，通過(guò) MV Spanning 檢驗(yàn)進(jìn)行了分析。結(jié)果顯示，這三個(gè)因子無(wú)法解釋新的趨勢(shì)因子，即加入新的趨勢(shì)因子后，最小方差前沿得到了顯著提升。

最后，對(duì)比 MV Spanning 中的統(tǒng)計(jì)量和 GRS 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量能夠發(fā)現(xiàn)這些表達(dá)式中都有“神秘的”\hat θ —— 只不過(guò) GRS 檢驗(yàn)中的 \hat θ 默認(rèn)的是用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 R_f 計(jì)算的夏普率，而 MV Spanning 中的 \hat θ 是使用一般的 r 計(jì)算。這意味著它們之間注定有一些關(guān)聯(lián)。

4?幾何含義

無(wú)論是 GRS 還是 MV Spanning 都是為了檢驗(yàn) N 個(gè) test assets 能否在原始 K 個(gè)因子基礎(chǔ)上提高投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特征。既然是“同一個(gè)目標(biāo)、同一個(gè)夢(mèng)想”，那么它們之間又有什么差異呢？最直觀的說(shuō)明無(wú)異于使用幾何方法解釋它們的含義。讓我們從有效前沿（efficient frontier）說(shuō)起。根據(jù)市場(chǎng)中是否存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率 R_f，有效前沿的定義是不同的。下圖左側(cè)展示了存在 R_f 的情況、右側(cè)展示了不存在 R_f 的情況。

先看市場(chǎng)中存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 R_f 的情況。MPT 指出有效前沿是圖中經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0, R_f) 和切點(diǎn)的直線。無(wú)論一個(gè)人容忍的最大風(fēng)險(xiǎn)是什么，他都應(yīng)該通過(guò)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和切點(diǎn)組合的某種線性組合實(shí)現(xiàn)最優(yōu)選擇，因?yàn)檫@條線的斜率最高，即夏普率最高。GRS 檢驗(yàn)假設(shè)市場(chǎng)中存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率 R_f?；仡櫼幌卤疚牡诙?jié)中 GRS 統(tǒng)計(jì)量，它關(guān)注的核心問(wèn)題就是加入 N 個(gè) test assets之后，使用全部 N + K 個(gè)資產(chǎn)得到的切點(diǎn)組合能否比僅僅使用 K 個(gè)因子得到的切點(diǎn)組合有更高的夏普率；除切點(diǎn)組合外，GRS 檢驗(yàn)不關(guān)心最小方差前沿上的其他點(diǎn)。下圖為 GRS 檢驗(yàn)的幾何意義。

為了方便解釋，圖中的縱坐標(biāo)采取了相對(duì) R_f 的超額收益。圖中兩條切線分別通過(guò)原點(diǎn)到由 K 個(gè)因子和全部 N + K 個(gè)資產(chǎn)張成的最小方差前沿的切點(diǎn)。如果多因子模型無(wú)法解釋 test assets，那么加入它們之后應(yīng)該顯著提升切點(diǎn)組合的夏普率。在圖中橫坐標(biāo)上的 \hat σ = 1 點(diǎn)出發(fā)做一條豎直線，它和兩條切線相較于 A、B。由夏普率定義可知，A、B 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的超額收益恰恰就等于夏普率 \hat θ_K 和 \hat θ_{N+K}，而它們也正是正兩條直線的斜率。由此可知 GRS 統(tǒng)計(jì)量中的

和

分別為線段 OA 和 OB 的長(zhǎng)度。因此 GRS 統(tǒng)計(jì)量的公式反應(yīng)了這兩個(gè)線段長(zhǎng)度之比，它的意思是檢驗(yàn) OB 的長(zhǎng)度是否顯著的大于線段 OA 的長(zhǎng)度。這正是 GRS 檢驗(yàn)的幾何意義。

再來(lái)說(shuō) MV Spanning。上一節(jié)介紹了大樣本下三種統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)性質(zhì)。下面的幾何解釋則給出了這些統(tǒng)計(jì)量在有限樣本中的含義。與 GRS 檢驗(yàn)不同，MV Spanning 并不假設(shè) R_f 的存在，因此適應(yīng)更廣泛的情況。當(dāng) R_f 不存在時(shí)，有效前沿是最小方差前沿的上半部分（本小節(jié)第一張圖的右側(cè)）。在這種情況下，仍然像 GRS 一樣僅僅關(guān)注切點(diǎn)組合就不夠了 —— 事實(shí)上，因?yàn)椴淮嬖?R_f，因此也沒有傳統(tǒng)意義上的切點(diǎn)組合。我們希望檢驗(yàn)兩個(gè)事后拋物線是不是在統(tǒng)計(jì)上“足夠遠(yuǎn)”—— 原假設(shè)是事前沒有差別。但既然僅使用一個(gè)點(diǎn)來(lái)評(píng)判不夠了，那么怎么辦呢？

對(duì)了，答案是“找兩個(gè)點(diǎn)”。從兩個(gè)最小方差前沿上找到兩個(gè)特殊的點(diǎn)進(jìn)行比較、評(píng)判這兩個(gè)前沿的差異，這就是 MV Spanning 檢驗(yàn)的幾何含義（下圖，出自 Kan and Zhou 2012，就是要通過(guò)特殊的點(diǎn)來(lái)評(píng)價(jià)紅、藍(lán)兩個(gè)前沿是不是在統(tǒng)計(jì)上足夠接近）。而 LR、W 和 LM 三種不同檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之間的差異僅僅因?yàn)樗鼈儽容^這兩個(gè)前沿的方式稍有區(qū)別。

圖中 g_1 和 g 分別為由 K 個(gè)因子和全部 N + K 個(gè)資產(chǎn)張成的事后最小方差投資組合，這兩個(gè)點(diǎn)代表的投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差的大小由圖中線段 OD 和 OC 的長(zhǎng)度表示。從 g 和 g_1 向縱軸做垂線，得到 A 和 B 兩個(gè)點(diǎn)。從 A 出發(fā)向 K 個(gè)因子的最小方差前沿做切線，切線和直線 \hat σ = 1 相交于點(diǎn) G、同樣從 A 出發(fā)做 N + K 個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的漸進(jìn)線，漸進(jìn)線和直線 \hat σ = 1 相交于點(diǎn) H。類似的，以點(diǎn) B 為起點(diǎn)，做 N + K 個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的切線、做 K 個(gè)因子的最小方差前沿的漸進(jìn)線，它們分別與直線 \hat σ = 1 相交于點(diǎn) E 和 F。使用 OC、OD、AG、AH、BE 和 BF 就可以解釋三種檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的幾何意義。先說(shuō)似然比檢驗(yàn)。在有限樣本下，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量滿足 F_{2N, 2(T-K-N)} 分布：

LR 的大小和兩個(gè)比值有關(guān)。第一個(gè)比值 OD/OC 比較兩個(gè)全局最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差。由于 K 個(gè)因子構(gòu)成的最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差一定不小于 N + K 個(gè)資產(chǎn)構(gòu)成的最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差，因此 OD/OC ≥ 1。第二個(gè)比值是 AH/BF。由于 N + K 個(gè)資產(chǎn)張成的事后最小方差前沿一定“優(yōu)于”僅由 K 個(gè)因子張成的事后最小方差前沿，因此 AH/BF ≥ 1。如果原假設(shè)成立，即事前（ex ante）兩個(gè)前沿一樣，那么我們可以期待 OD/OC 和 AH/BF 都不會(huì)顯著的偏離 1。如果它們其中之一或者二者全部顯著大于 1，那么原假設(shè)就會(huì)被拒絕。

對(duì)于 Wald 檢驗(yàn)和拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)，在有限樣本下，它們統(tǒng)計(jì)量并不滿足 F 分布，而是十分復(fù)雜的分布，但仍然可以寫出它們統(tǒng)計(jì)量的幾何含義：

怎么樣？W 和 LM 的表達(dá)式看上去那是“相當(dāng)對(duì)稱”。W 中的第一項(xiàng)是 (OD/OC)^2 - 1，它反映的仍然是兩個(gè)全局最小方差組合的標(biāo)準(zhǔn)差偏離程度，由于 OD ≥ OC 因此該項(xiàng)中用 (OD/OC)^2 減去 1；再看 LM，它的第一項(xiàng)是 1 - (OC/OD)^2，它和 (OD/OC)^2 - 1 如出一轍，只不過(guò)因?yàn)榉肿臃帜富Q了位置導(dǎo)致 (OC/OD)^2 ≤ 1 因此該項(xiàng)中是用 1 減去 (OC/OD)^2。再看第二項(xiàng)。W 的第二項(xiàng)用到了線段 BE 和 BF，它們都是從 B 出發(fā)，BE 是 B 到全部 N + K 個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的切線、BF 是 B 到 K 個(gè)因子的最小方差前沿的漸進(jìn)線。(BE/BF)^2 - 1 衡量了在 K 個(gè)因子的基礎(chǔ)上加入 N 個(gè) test assets 導(dǎo)致切線斜率平方的提升。反觀 LM 的第二項(xiàng)，它用到了線段 AG 和 AH，它們都是從點(diǎn) A 出發(fā)，AG 是 A 到 K 個(gè)因子的最小方差前沿的切線、AH 是 A 到 N + K 個(gè)資產(chǎn)的最小方差前沿的漸進(jìn)線。1 - (AG/AH)^2 體現(xiàn)了從 N + K 個(gè)資產(chǎn)中去除 N 個(gè) test assets（從而僅剩下 K 個(gè)因子）導(dǎo)致切線斜率平方的降低。不光是表達(dá)式，就連解釋起來(lái)都是那么“對(duì)稱”。這種“對(duì)稱”彰顯了幾何解釋之美，彰顯了數(shù)學(xué)之美。

5?結(jié)語(yǔ)

GRS 和 MV Spanning 是實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)中常見的檢驗(yàn)方法（尤其是 GRS）。本文花了一些筆墨從直觀上解釋了它們都在干什么。總結(jié)來(lái)說(shuō)，GRS 假設(shè) R_f 存在，因此它關(guān)注的是切點(diǎn)組合的夏普率能否因 N 個(gè) test assets 的加入而顯著提升。反觀 MV Spanning，它則直接比較兩個(gè)最小方差前沿的差異。這些統(tǒng)計(jì)手段經(jīng)過(guò)了幾十年的發(fā)展和應(yīng)用，而如今計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力也可以“秒出”檢驗(yàn)結(jié)果。然而，當(dāng)我們搞清楚了這些檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的直觀含義后，它們便不再只是冰冷的公式，而是一個(gè)個(gè)令人拍案的“原來(lái)如此”。

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