作者：石川

摘要：實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)已然進(jìn)入因子（協(xié)變量）的高維數(shù)時(shí)代。本文拋磚引玉，闡述我對此的四點(diǎn)思考。

0?引子

時(shí)至今日，實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)（以及因子投資）已然步入了因子（協(xié)變量）的高維數(shù)時(shí)代。大量發(fā)表在頂刊上的實(shí)證結(jié)果表明，多因子模型具有很大的不確定性且因子的稀疏性假設(shè)不成立。人們熟知的 ad-hoc 簡約模型無法指引未來的投資。在高維數(shù)時(shí)代，尋找真正能夠預(yù)測預(yù)期收益率的協(xié)變量是核心問題之一。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，需要考慮的問題包括：（1）多重假設(shè)假設(shè)檢驗(yàn)；（2）投資者（高維）學(xué)習(xí)問題 & 另類數(shù)據(jù)；（3）來自資產(chǎn)定價(jià)理論的指引：即解釋預(yù)期收益率的因子應(yīng)該也能解釋資產(chǎn)的共同波動。最后，一個(gè)最新的討論熱點(diǎn)是因子的個(gè)數(shù)是否越多越好（即模型復(fù)雜度是否越高越好）：復(fù)雜模型能更好地逼近真實(shí) DGP，但參數(shù)估計(jì)的方差更大；簡約模型的參數(shù)估計(jì)更準(zhǔn)確，但卻未必是 DGP 的合理近似。二者相比，如何權(quán)衡呢？

近日，我在某券商 2023 的年度策略會上做了題為《因子投資的高維數(shù)時(shí)代》的報(bào)告，闡述了我對上述四點(diǎn)的思考。本文借著報(bào)告的 slides 做簡要介紹。由于對于某些問題公眾號已經(jīng)做了大量的梳理（比如多重假設(shè)檢驗(yàn)），因此在本文的闡述中，在必要的地方會使用最少的文字（你馬上就會明白我的意思）。

1?多重假設(shè)檢驗(yàn)

這部分，一圖勝千言。需要相關(guān)知識的小伙伴，請查看公眾號的《出色不如走運(yùn)》系列。

Next.

2?投資者學(xué)習(xí)問題 & 另類數(shù)據(jù)

理性預(yù)期假設(shè)投資者知道真實(shí)的估值模型。然而，和進(jìn)行事后（ex post）因子分析的你我一樣，投資者在投資時(shí)同樣面臨協(xié)變量的高維數(shù)問題，因此不可能知道真實(shí)的估值模型，所以理性預(yù)期假設(shè)并不成立。這造成的結(jié)果是，均衡狀態(tài)下資產(chǎn)價(jià)格和理性預(yù)期情況下相比出現(xiàn)偏差。在事后分析中，已實(shí)現(xiàn)收益率中包含一部分因估計(jì)誤差導(dǎo)致的可預(yù)測成分。但對投資者來說，事前（ex ante）無法利用上述可預(yù)測性。因誤差導(dǎo)致的可預(yù)測性能夠在樣本內(nèi)（IS）產(chǎn)生虛假的可預(yù)測性（無論投資者是否使用了先驗(yàn)以及無論先驗(yàn)是否正確），而在樣本外（OOS）卻無法預(yù)測收益率。這就是投資者（高維）學(xué)習(xí)問題導(dǎo)致的虛假的可預(yù)測性（Martin and Nagel 2022）。具體闡述見《False In-Sample Predictability ?》。面對這個(gè)問題，需要通過 OOS 檢驗(yàn)才能規(guī)避。

投資者無法在事前投資中應(yīng)對高維數(shù)，這主要體現(xiàn)在他們使用較少的協(xié)變量（因子）作為估值的依據(jù)。另一方面，由于一些變量的獲取成本很高，投資者需要在該變量帶來的預(yù)測好處和其成本之間權(quán)衡。此外，有限理性中的有限注意力機(jī)制也為投資者對簡約性的渴望提供了微觀基礎(chǔ)。這兩方面作用合力導(dǎo)致投資者在為資產(chǎn)定價(jià)時(shí)使用過度稀疏的估值模型。這樣做的后果是，即便在樣本外，也會出現(xiàn)因投資者學(xué)習(xí)問題而造成的虛假的可預(yù)測性。

就著上述推論，我們自然地引出本小節(jié)的另一個(gè)相關(guān)話題：另類數(shù)據(jù)?；貞浺幌鹿娞栔暗奈恼?a target="_blank" textvalue="《科技關(guān)聯(lián)度II》" linktype="text" imgurl="" imgdata="null" data-itemshowtype="0" tab="innerlink" data-linktype="2" hasload="1" style="margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; color: rgb(87, 107, 149); text-decoration-line: none; -webkit-tap-highlight-color: rgba(0, 0, 0, 0); cursor: pointer; max-width: 100%; box-sizing: border-box !important; overflow-wrap: break-word !important;">《科技關(guān)聯(lián)度II》所介紹的 Bekkerman, Fich and Khimich (forthcoming)。相比于之前的基于專利類別的研究，該文對專利進(jìn)行文本分析，通過提取專業(yè)術(shù)語并計(jì)算其重合度來描述公司之間的相似程度，以此構(gòu)造了預(yù)期超額收益率更高的科技關(guān)聯(lián)度效應(yīng)。比起專利類別，投資者在獲得以及處理專利文本并計(jì)算科技關(guān)聯(lián)度時(shí)的成本更加昂貴。這會導(dǎo)致大多數(shù)投資者會在為公司估值時(shí)忽略這方面的信息，即使用過度稀疏的估值模型，造成樣本內(nèi)和樣本外收益率可預(yù)測性。該文基于文本分析的科技關(guān)聯(lián)度是近幾年大紅大紫的基于另類數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)和因子投資的一個(gè)典型例子。然而，Martin and Nagel (2022) 所勾勒出的非理性預(yù)期假設(shè)世界告訴我們，使用最新的方法和技術(shù)構(gòu)建預(yù)測變量并將其應(yīng)用于早期歷史時(shí)段時(shí)，它們在樣本內(nèi)和（偽）樣本外檢驗(yàn)中均能預(yù)測預(yù)期收益率。因此，我們在驚喜于另類數(shù)據(jù)的發(fā)現(xiàn)之余，恐怕也應(yīng)該多一分謹(jǐn)慎。

除此之外，既然談到另類數(shù)據(jù)，不妨再聊聊另一個(gè)相關(guān)話題。有相關(guān)研究表明，海外大量的另類數(shù)據(jù)供應(yīng)商提供的數(shù)據(jù)都只具備對公司基本面的短時(shí)間尺度的可預(yù)測性。Dessaint, Foucault and Fresard (2020) 的研究表明，如此另類數(shù)據(jù)可得性的提升降低了進(jìn)行短時(shí)間尺度的預(yù)測成本（從而提高了準(zhǔn)確性），但增加了進(jìn)行長時(shí)間尺度預(yù)測的成本（從而降低了準(zhǔn)確性）。對于公司基本面預(yù)測來說，二者的綜合效果是 mixed?？梢灶A(yù)見，未來在使用另類數(shù)據(jù)預(yù)測公司基本面時(shí)，會有更多的研究向這個(gè)方向傾斜。

3?和協(xié)方差矩陣有關(guān)

Ross (1976) 的 APT 指出，解釋資產(chǎn)預(yù)期收益率截面差異的因子應(yīng)該同時(shí)能夠解釋資產(chǎn)的共同運(yùn)動。在市場中不存在近似無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會這個(gè)假設(shè)下，Kozak, Nagel and Santosh (2018) 同樣論述了這一點(diǎn)（見《Which beta (III)?》）。以下展示了 BetaPlus 小組構(gòu)造并維護(hù)的 A 股常見七類風(fēng)格因子在 2000/01/01 到 2022/04/30 之間的表現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，在該實(shí)證區(qū)間內(nèi)，雖然它們的收益率均值高低有差異，但收益率的標(biāo)準(zhǔn)差同樣也有差異，因此并沒有哪個(gè)風(fēng)格因子的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后收益明顯高于其他的因子。

再來看一個(gè)美股的例子。Kozak, Nagel and Santosh (2018) 將實(shí)證區(qū)間分成前后兩半兒并考察了 15 個(gè)因子。下圖展示了每個(gè)因子在前后兩個(gè)區(qū)間內(nèi)夏普率的散點(diǎn)圖。如果能夠在獲得高收益的同時(shí)降低波動，那么樣本內(nèi)（前一半?yún)^(qū)間）夏普率高的因子在樣本外（后一半?yún)^(qū)間）的夏普率應(yīng)該仍然更高一些，我們將會看到這些點(diǎn)圍繞在 45 度直線上。然而事實(shí)并非如此。無論樣本內(nèi)的夏普率多高，這 15 個(gè)因子樣本外的夏普率幾乎是一條平行于橫坐標(biāo)的水平線，而非人們期望的 45 度斜線。（我用幾百個(gè)因子在 A 股做了同樣的實(shí)證，觀察到了類似的結(jié)果。）

上述結(jié)果顯示，（樣本外）高收益往往對應(yīng)著高波動（對著樣本內(nèi)硬挖 —— data snooping —— 另說），這一實(shí)證結(jié)果和 APT 吻合。早在幾十年前，Eugene Fama 曾經(jīng)打趣到 APT 讓眾多挖因子的嘗試“合理化”，即 APT 只說了資產(chǎn)預(yù)期收益率和眾多因子有關(guān)，但卻沒有指出到底有哪些因子。因此，很多學(xué)者打著 APT 的旗號“肆無忌憚”地挖出了一茬又一茬因子（zoo of factors），F(xiàn)ama 把這個(gè)現(xiàn)象稱作 APT 給了這些研究“fishing license”（即 APT 讓這些研究合理化）。（Sorry，這里我實(shí)在忍不住吐槽一句，在一本著名的資產(chǎn)定價(jià)教材的中譯版中，中文作者竟然真的把 fishing license 翻譯成“釣魚許可證”……）如今，當(dāng)我們重新審視 APT 時(shí)，毫無疑問應(yīng)該將它作為挖掘真實(shí)因子的有效指引，正如本節(jié)一開頭說的那樣：解釋資產(chǎn)預(yù)期收益率截面差異的因子應(yīng)該也能解釋資產(chǎn)的共同運(yùn)動。在這個(gè)認(rèn)知下，以 PCA 為代表的一系列實(shí)證資產(chǎn)定價(jià)研究在這幾年取得了很多突破（Kelly, Pruitt and Su 2019 、Kozak, Nagel and Santosh 2020）。

4?越復(fù)雜越好 ?

在本節(jié)的討論中，我們以因子個(gè)數(shù)的多少代表模型復(fù)雜度。因子個(gè)數(shù)越多，模型越復(fù)雜。

2019 年，Belkin, et al. (2019) 一文提出了機(jī)器學(xué)習(xí)中樣本外誤差的“double descent”現(xiàn)象，引發(fā)了機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域和理論統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的廣泛討論。為了理解這一現(xiàn)象，我們先從熟知的 bias-variance trade-off 說起。對于模型來說，其樣本外表現(xiàn)和模型復(fù)雜度關(guān)系密切。當(dāng)模型復(fù)雜度很低時(shí)，模型的方差很?。ㄒ?yàn)樽兞繀?shù)估計(jì)的方差很小），但是偏差很高；當(dāng)模型復(fù)雜度高時(shí)，模型的方差變大，但是偏差降低。二者的共同作用就是人們熟悉的 U-Shape，即 bias-variance trade-off，因此存在某個(gè)最優(yōu)的超參數(shù)，使得樣本外的總誤差（風(fēng)險(xiǎn)）最低。

我們還可以換個(gè)角度來理解 bias-variance trade-off，而這個(gè)角度對理解 double descent 至關(guān)重要。當(dāng)模型很簡單時(shí)，它能夠有效規(guī)避過擬合，但卻很難想象如此簡單的模型是真實(shí)世界的好的近似；而當(dāng)模型復(fù)雜時(shí)，它更有可能逼近真實(shí)世界，但是也的確更容易過擬合。因此 bias-variance trade-off 也可以理解為 approximation-overfit trade-off。然而，上述結(jié)論有一個(gè)我們都習(xí)以為常的前提：變量個(gè)數(shù) < 樣本個(gè)數(shù)。那么，如果模型復(fù)雜到變量（因子）的個(gè)數(shù)超過了樣本的個(gè)數(shù)又會出現(xiàn)怎樣的情況呢？事實(shí)上，這一問題并非無緣無故的憑空想象。對于復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來說，模型參數(shù)的個(gè)數(shù)很容易超過樣本的個(gè)數(shù)，然而這些模型確在樣本外有著非凡的表現(xiàn)（哦，當(dāng)然不是資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域）。這個(gè)現(xiàn)象促使這人們搞清楚 what is behind the scene。

當(dāng)變量個(gè)數(shù) > 樣本個(gè)數(shù)時(shí)，模型在樣本內(nèi)能夠完美的擬合全部樣本（在機(jī)器學(xué)習(xí)術(shù)語中，這個(gè)現(xiàn)象被稱為 interpolation）。對這樣一個(gè)模型來說，人們通常的認(rèn)知是，它在樣本外的表現(xiàn)一定會“爆炸”，即毫無作為。這是因?yàn)樗^度擬合了樣本內(nèi)數(shù)據(jù)中的全部噪聲。然而，Belkin, et al (2019) 指出，當(dāng)人們讓模型復(fù)雜度突破樣本個(gè)數(shù)這個(gè)“禁忌之地”后，神奇的事情發(fā)生了：樣本外總誤差并沒有“爆炸”，而是隨著復(fù)雜度的提升單調(diào)下降。正因?yàn)樵跇颖緜€(gè)數(shù)兩側(cè)都出現(xiàn)了誤差單調(diào)下降的情況，Belkin, et al (2019) 將這個(gè)現(xiàn)象稱為 double descent。

因?yàn)楸疚牡哪康牟⒎墙忉尡澈蟮慕y(tǒng)計(jì)學(xué)理論，所以我在此對該現(xiàn)象給一些直覺上的解釋。當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過樣本個(gè)數(shù)的時(shí)候，樣本內(nèi)的解是不唯一的，而最優(yōu)的解可以理解為滿足參數(shù)的方差最?。ㄕ齽t化或 implied 正則化在這個(gè)過程中發(fā)揮了非常重要的作用）。隨著變量越來越多，最優(yōu)解的方差總能單調(diào)下降。再來看偏差，通常來說，偏差確實(shí)會隨著復(fù)雜度的提升而增加。但是所有模型都是真實(shí) DGP 的某個(gè) mis-specified 版本。當(dāng)存在模型設(shè)定偏誤的時(shí)候，可以證明當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過樣本個(gè)數(shù)時(shí)，偏差也會在一定范圍內(nèi)隨著復(fù)雜度而下降。因此，二者的綜合結(jié)果就是模型在樣本外的誤差表現(xiàn)會隨復(fù)雜度的上升而下降。（在一些情況下，樣本外誤差的 global minimum 出現(xiàn)在當(dāng)變量個(gè)數(shù) > 樣本個(gè)數(shù)時(shí)。）以下兩張 slides 總結(jié)了上面的話（第二張 slide 里的表參考了 Bryan Kelly 的 talk，特此說明）。

對于資產(chǎn)定價(jià)和因子投資來說，如果你和我一樣認(rèn)同因子的高維數(shù)時(shí)代 —— 即收益率的 DGP 包含了非常多的因子，那么上述關(guān)于模型復(fù)雜度的探討也許會帶來全新而有益的啟發(fā)。在這方面，也有大佬已經(jīng)走在了前面。Bryan Kelly 和他的合作者以及學(xué)生一起寫了一系列“復(fù)雜度美德”的 working papers，在資產(chǎn)定價(jià)領(lǐng)域探索提升復(fù)雜度帶來的樣本外好處。例如，Kelly, Malamud and Zhou (2022) 一文使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對美股進(jìn)行了擇時(shí)（每次建模僅利用一年 12 期的數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)），并發(fā)現(xiàn)了類似的 double descent 現(xiàn)象。當(dāng)然，即便我們認(rèn)同了“越復(fù)雜越好”，也依然要回答更重要的問題，即如何估計(jì)參數(shù)，如何正則化，如何來利用成千上萬甚至更多的因子來形成關(guān)于預(yù)期收益率更好的預(yù)測。雖然 Kelly 等人的文章在擇時(shí)方面取得了讓人興奮的結(jié)果，但在 cross-section 是否有類似的實(shí)證結(jié)果依然需要時(shí)間來回答（Kelly 有一篇 working paper 研究 cross-section，但還沒有 publicly available）。但是無論如何，歡迎來到 over-parameterization 時(shí)代。

5?結(jié)束語

在本文的最后，仍然有必要指出，在協(xié)變量的高維數(shù)時(shí)代，如何 prepare 因子固然重要（小心多重假設(shè)檢驗(yàn)、小心投資者學(xué)習(xí)、利用 APT 的 implication），但是如何求解高維問題才更加核心（如何利用復(fù)雜度的好處 ?）?；蛟S，我們已經(jīng)到了從計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)到機(jī)器學(xué)習(xí)的必然轉(zhuǎn)型時(shí)刻。正如 Stefan Nagel 的《機(jī)器學(xué)習(xí)與資產(chǎn)定價(jià)》（Nagel 2021）所倡導(dǎo)的那樣，將經(jīng)濟(jì)學(xué)推理注入機(jī)器學(xué)習(xí)算法將成為高維數(shù)時(shí)代研究的必經(jīng)之路。

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